53218

ran- ^aln 1

postaci tablicy — ^a™ * lub oznaczamy w skrócie (°^£AZbiór macierzy nad dałem K o wymiarach

m*n oznaczać będziemy przez    zbiór wszystkich macierzy oznaczać będziemy przez

M(K).Zbiór ^Wpix"^) ma naturalną stRikturę przestrzeni wektorowej nad K.

Śladem macierzy A=(aij)eMm*n(K) nazywamy liczby tr(A) =^*^ł°^ (tr(A) jest funkcją liniową) Rzędem macierzy nazywamy ilość liniowo niezależnych wierszy bądź kolumn.

Endomorfizmem nazywamy homomorfizm grupy w siebie samą.

Niech (G,$),(H,#) będą grupami. Odwzorowanie f:G->H nazywamy homomorfizmem grup jeżeli dla każdego gi.g?eG f(gi#g^)=f(gi)$f(g^)

Twierdzenie Kroneckera-Capellego

Sprawę rozwiązalności układu równań wyjaśnia podstawowe twierdzenie Kroneckera-Capellego:Układ równań liniowych ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy rząd maderzy głównej jest równy rzędowi maderzy rozszerzonej.

Układ w któtym jest mniej równań niż niewadomych można rozwązać pod warunkiem, że wystąpią zmienne linowo zależne (wynika to z twierdzenia Kroneckera-Capellego)

Układ n równań z n niewiadomymi ma rowiązanie jeżeli det(A) jest różny od 0 i X,=det(A,ydet(A) gdzie det (A,) otrzymujemy podstawiając w miejsce i-tej kolumny wyrazy wolne.

Zdaniem jest to odpowiedź od razu na pytanie pierwsze (twierdzenie Croneckera) i na część drugą kiedy ma niezerowe rozwiązanie

Wymiar przestrzeni

Moc dowolnej bazy przestrzeni V nazywamy wymiarem przestrzeni liniowej i oznaczamy symbolem dim(V).

Przestrzeń, która ma bazę skończoną nazywamy skończenie wymiarową, w przeciwnym wypadku mówimy o przestrzeni nieskończenie wymiarowej.

Baza przestrzeni liniowej to maksymalny zbiór wektorów liniowo niezależnych w tej przestrzeni. Przykład

Dany jest zbiór A = {(0,1), (1,1), (1, 0)} wektorów w przestrzeni euklidesowo R2. Zauważmy, że wektor (2,1) można przedstawić jako:

(2.1)    = 2 (1, 0) + 1 (0,1) oraz

(2.1)    = 2(1,1) + (-1)(0, 1).

Wynika stąd. że A nie jest bazą przestrzeni R2.

Z drugiej strony, niech B = {(1,1), (1, 0)} i niech (x, y) będzie dowolnym wektorem R2. Szukając przedstawienia wektora (x, y) jako kombinacji liniowej wektorów zbioru B mamy:

(x, y) = ?-(l, 1) + ? (1, 0) = (? + ?, ?) skąd ? = yj? = x-y.

Zatem przedstawienie wektora (x, y) jako kombinacji liniowej ełemetnów zbioru B jest jednoznaczne, co oznacza, że zbiór B jest bazą przestrzeni R2.

Definicja wyznacznika (indukcyjna):

Wyznacznikiem macierzy kwadratowej nazywamy funkcję, która każdej macierzy A=(a,j przypisuje liczbę rzeczywistą (zespoloną) det(A). Funkcja ta jest określona wzorem indukcyjnym:

1    Jeżeli macierz A ma stopień równy 1 to det(A)=au

2    Jeżeli macierz A ma stopień n>=2 to det(A)=(-l)^,*^;’aiidet(Aii)⁺...⁺(-l)ⁿ''^,a_ł«det(A_łin)

( Rozwinięcie Laplace'a)

własności wyznacznika: