ĆWICZENIE 9

Sprawdzanie równania ruchu obrotowego brył

1.Wielkości charakteryzujące ruch obrotowy można przedstawić w analogiczny sposób jak wielkości charakterystyczne dla ruchu postępowego i tak :

chwilowa prędkość liniowa chwilowa prędkość kątowa

przyśpieszenie chwilowe dla obu ruchów ma postać :

Droga w ruchu postępowym i obrotowym :

znak + dla ruchu przyśpieszonego,

- dla ruchu opóźnionego.

Zasady dynamiki dla ruchu:

a) postępowego

Jeżeli ciało o masie m porusza się z przyśpieszeniem
, to na ciało działa siła

b) obrotowego

Moment bezwładności I ciała względem osi O określamy następująco

Jeżeli ciało o momencie bezwładności I porusza się z przyśpieszeniem kątowym
, to na ciało działa moment siły

Część teoretyczna ćwiczenia.

Równanie ruchu obrotowego bryły ma postać
(1)

gdzie:
- moment siły,

I - moment bezwładności,

- przyśpieszenie kątowe.

Równanie dynamiki dla ciała o masie m przedstawia zależność

(2a)

gdzie:
- przyśpieszenie z jakim porusza się ciężarek o masie m,

- przyśpieszenie ziemskie

- siła naciągu nici.

W omawianym przypadku moment siły wyraża się wzorem:

(2b)

gdzie: r - ramię siły, czyli promień tej części walca na której nawija się nić.

Obliczamy
z równania (2a) i podstawiamy do równania (2b), co daje

(3)

Moment bezwładności układu I równy jest sumie momentów stałej części
i walców
.

Moment bezwładności walców I , zgodnie z prawem Steinera wynosi:

gdzie: I - moment bezwładności walca W względem osi przechodzącej przez środek ciężkości i równoległej do osi obrotu przyrządu,

M - masa walca W,

R - odległość środka ciężkości walca od osi obrotu.

Ze względów praktycznych odległość R zastępujemy odległością przeciwległych walców d (d = 2R).

Zatem całkowity moment bezwładności wyraża się wzorem:

(3a)

Pierwsze dwa wyrazy po prawej stronie tego wyrażenia są wielkościami stałymi. Wprowadzamy więc oznaczenie:
i otrzymujemy:

(3b)

Łącząc równanie (1), (3), (3b) otrzymujemy

(4)

Ze względu na to, że wektory
i
są prostopadle do osi obrotu, a wektor
jest do niej równoległy, w równaniu (4), możemy zaniedbać znaki wektorów.

Pamiętając że,
oraz
,

gdzie:
- wysokość spadania ciężarka o masie m,

t - czas spadania

i wykonując ponadto przekształcenia algebraiczne otrzymujemy: (5)

W układzie współrzędnych, w którym na osi y odkładamy
, a na osi x,
, równanie (5) jest równaniem prostej typu:

(6)

(7)

daje wartość rzędnej w punkcie, w którym prosta przecina oś rzędnych. Stromość otrzymanej prostej wyraża się poprzez:

(8)

Prostoliniowy przebieg zależności
jest dowodem słuszności równania ruchu obrotowego bryły. Zależność tę należy wyznaczyć doświadczalnie.

Wykonanie ćwiczenia.

W niniejszym ćwiczeniu posługujemy się wahadłem Oberbecka. Walec metalowy może obracać się wokół osi prostopadłej do osi przyrządu. Z walcem tym połączone są cztery pręty stalowe na których nasadzone są walce. Położenie tych walców na prętach można dowolnie zmieniać. Na walcu osadzone są szpulki na które nawija się nić. Na końcu nici przerzuconej przez bloczek zawiesza się ciężarki.

Tabela pomiarowa:

Ponieważ :

z wykresu możemy odczytać te wartości, a mając dane A i B możemy wyznaczyć M i Ic.

A =42,1 [s2/m2]

B =1.1 [s2]

Wyniki :

Ic = 4,54752 [gm2]

I = Ic + Md2

I

Wnioski :

Masa M która została wyznaczona z wykresu tylko nieznacznie odbiega od masy wyznaczonej doświadczalnie (tzn. masy wybitej na ciężarku). Różnica ta wynikła zapewne dla tego gdyż przy wykonywaniu ćwiczenia popełnione zostały błędy związane z pomiarem czasu i długości.

Poprzez oszacowanie nachylenia prostej można wyznaczyć wartość współczynnika kierunkowego tej prostej. Mając tą wartość można wyznaczyć masę M walca. Prostoliniowy przebieg zależności t2=f(d2) świadczy o słuszności równania ruchu obrotowego.

M	m	r	d	d2	t	t2	I	Ic
193	215	4,5	48	2304	7,174	51,4662
					6,925	47,9556
					6,589	43,4149
					6,535	42,7062
			32	1024	6,247	39,025
					4,645	21,576
					4,378	19,1668
					4,201	17,6484
					4,5	20,25
			18	324	4,518	20,4123
					3,112	9,6845
					3,27	10,6929
					3,231	10,4393
					3,22	10,3684
					3,245	10,53

---