Powszechnie wiadomo, że liczby można podzielić na pewne zbiory. Np. liczby naturalne, wymierne, rzeczywiste. Powszechnie wiadomo też, że niektóre z tych zbiorów mogą zawierać inne. Np. liczby rzeczywiste zawierają liczby naturalne, pierwsze, wymierne... Liczby są dziedzinami równań algebraicznych, są również ich przeciwdziedzinami. Wydawać by się mogło, że zbiorem nadrzędnym wszystkich liczb jest zbiór liczb rzeczywistych. Jednak liczby rzeczywiste zawierają się w innym zbiorze, zbiorze liczb zespolonych. W dzisiejszych czasach liczby zespolone jako dział algebry, są szeroko wykorzystywane w elektrotechnice, elektronice, informatyce i innych naukach technicznych. Są połączeniem piękna i użyteczności wśród liczb. Wielomian kwadratowy o ujemnej delcie ma rozwiązanie w ciele liczb zespolonych, nie posiada go natomiast w ciele liczb rzeczywistych. Liczby zespolone posiadają inną definicję mnożenia, dzielenia. Można je przedstawić w kilku postaciach... Lecz zacznijmy od samego początku.
Liczba zespolona to "połączenie" liczby rzeczywistej i urojonej. Liczbę zespoloną można przedstawić w postaci algebraicznej jako z=(a, b). Gdzie Re(z) oznacza część rzeczywistą tej liczby, a Im(z) część urojoną. Niech z=(2, 5), wtedy Re(z)=2, Im(z)=5. W ciele liczb zespolych określone są następujące działania:
-równość: (a, b) = (c, d) <=> a=c i b=d;
-dodawanie: (a, b) + (c, d) = (a+c, b+d), np. (2, 3) + (9, 7) = (11, 10);
-mnożenie: (a, b) * (c, d) = (ac-bd, ad+bc), np. (1, 3) * (3, 4) = (-9, 13).
Na liczbach zespolych można też wykonywać oczywiście operacje dzielenia i odejmowania:
-odejmowanie: (a, b) - (c, d) = (a-c, b-d), np. (3, 2) - (1, 0) = (2, 2);
-dzielenie: (a, b) : (c, d) = ((ac+bd)/(c2+d2), -(ad-bc)/(c2+d2), np. (2, 3) : (4, 2) = (14/20, 2/5).
Liczba zespolona może być utożsamiona z liczbą rzeczywistą (a, 0) = a, wtedy gdy część urojona wynosi zero. W liczbach zespolych elementem neutralnym dodawania jest liczba (0, 0), a elementem neutralnym mnożenia (1, 0).
Liczbę zespoloną możemy przedstawić także w postaci kanonicznej:
(a, b) = a+ib;
gdzie a i b to odpowiednio część rzeczywista i urojona, a i oznacza jednostkę urojoną. Co to takiego jednostka urojona i dlaczego się tak nazywa? Jak za chwilę zobaczymy nazwę, jest aż nader trafna. Wiemy już, że w liczbie zespolonej (a, b) a oznacza liczbę rzeczywistą, b oznacza liczbę urojoną. Obierzmy sobie liczbę (0, 1) i oznaczmy ją jako i (czasami w literaturze jest ona oznaczana jako j). Podnieśmy i do kwadratu, mamy:
i2 = i * i = (0, 1) * (0, 1) = (-1, 0) = -1;
Liczba i podniesiona do kwadratu daje nam liczbę rzeczywistą ujemną! Oznacza to także, że w liczbach zespolonych istnieje pierwiatek z liczb ujemnych! Dlatego liczby te są nazywane urojonymi. Mówi o tym Zasadnicze Twierdzenie Algebry:
Wielomian f(z) ma pierwiastek w ciele liczb zespolonych.
Oznacza to, nie mniej, nie więcej, że teraz, możemy podać rozwiazanie np. równania x2-x+1=0. Delta tego równania wynosi: 1-4=-3. W liczbach rzeczywistych jest to koniec, bo jak mamy spierwiastkować -3? Lecz jeśli rozwiązujemy to równanie w ciele liczb zespolonych mamy:
√delta=√(-3) = √(i2*3) = i*√ 3
x1 = -1/2 + i*32/2
x2 = -1/2 - i*32/2;
Przyszła pora, aby powiedzieć sobie co to takiego jest liczba sprzężona z liczbą zespoloną i do czego może się nam to przydać. Niech dana będzie liczba zespolona z1=a+ib, liczbe z2 nazywamy liczbą zespoloną sprzężoną z liczbą z1, wtedy gdy z2=a-ib. Liczba zespolona pomnożona przez liczbę sprzężona daje w wyniku liczbę rzeczywistą:
(a+ib)(a-ib) = a2 + b2.
Liczbę sprzężoną wygodnie jest wykorzystać przy dzieleniu dwóch liczb zespolonych, np:
1+i : 2-3i = (1+i)(2+3i) : (2-3i)(2+3i) = (-1+5i) : (2*2 + 3*3) = -1/13 + 5/13i.
W przykładzie tym wykorzastaliśmy moduł liczby zespolonej. Co to takiego moduł? Jest to liczba rzeczywista nieujemna, która jest pierwiastkiem sumy kwadratów części rzeczywistej i urojonej:
|z|=(a2+b2)2.
Inerpretacja geometryczna (wraz ze znaczeniem modułu) liczby zespolonej jest przedstawiona poniżej:
Płaszczyzna zespolona ma dwie osie: rzeczywistą i urojoną. Liczba z=x+iy to wektor o początku (0, 0) i końcu (x, y). Moduł |z| to długość tego wektora. Dodawanie czy odejmowanie geometryczne liczb zespolonych to po prostu odpowiednie działania na wektorach.