ÿþM e c h a n i k a k w a n t o w a
S t a n u k Ba d u z Bo \o n e g o z N c z s t e k o k r e [l a f u n k c j a
f a l o w a Q ( x 1 , y 1 , z 1 , x 2 , y 2 , z 2 , . . . . . . x N , y N , z N , t )
g d z i e x k , y k , z k w s p ó Br z d n e k - t e j c z s t k i
W s t a n i e s t a c j o n a r n y m :
Q ( x 1 , y 1 , z 1 , x 2 , y 2 , z 2 , . . . . . . x N , y N , z N , t ) =
Q ( x 1 , y 1 , z 1 , x 2 , y 2 , z 2 , . . . . . . x N , y N , z N ) @ f ( t )
S e n s f i z y c z n y f u n k c j i f a l o w e j
* Q ( x 1 , y 1 , z 1 , x 2 , y 2 , z 2 , . . . . . . x N , y N , z N ) * 2 = D ( . . . . )
W
Á =
d x 1 Å"d y 1 Å"d z 1 Å". . . . . . . Å"d x N Å"d y N Å"d z N
W - p r a w d o p o d o b i e Ds t w o , \e w s p ó Br z d n e z n a j d u j
s i p o m i d z y x 1 a x 1 + d x 1 , y 1 a y 1 + d y 1 , z 1 a z 1 + d z 1 , . . . . . ,
x N a x N + d x N , y N a y N + d y N , z N a z N + d z N
d x 1 @ d y 1 @ d z 1 , . . . . . , d x N @ d y N @ d z N = o b j t o [" w
p r z e s t r z e n i 3 N w y m i a r o w e j
D l a j e d n e j c z s t k i w p r z e s t r z e n i
t r ó j w y m i a r o w e j
D = * Q ( x , y , z ) * 2 d V
z
2
¨( x , y , z ) d V = 1
+"
V x
y
F u n k c j a f a l o w a a f a l a d e B r o g l i e a
* Q ( x 1 , y 1 , z 1 , * 2 d l a j e d n e j c z s t k i
j e s t k w a d r a t e m a m p l i t u d y f a l i d e B r o g l i e a
Q ( x 1 , y 1 , z 1 )
j e s t a m p l i t u d f a l i d l a j e d n e j c z s t k i
F u n k c j a f a l o w a ( 1 )
J a k a t o m a b y f u n k c j a ?
M u s i p o z w o l i n a o k r e [l e n i e p r a w d o p o d o b i e Ds t w a ,
z a t e m m u s i b y :
T a k i e f u n k c j e n a z y w a j
- c i g Ba ;
s i f u n k c j a m i k l a s y Q ,
- j e d n o z n a c z n a ;
a l b o
- z n i k a j c a w f u n k c j a m i p o r z d n y m i
n i e s k o Dc z o n o [c i
F u n k c j a f a l o w a ( 2 )
S k d w z i f u n k c j f a l o w ?
P r z e p i s u d o s t a r c z a m e c h a n i k a k w a n t o w a . . .
P o z w a l a o n a n a z n a l e z i e n i e f u n k c j i f a l o w e j
o p i s u j c e j z a c h o w a n i e d o w o l n e g o u k Ba d u . . .
N i e w i e l e w i e m y o f u n k c j a c h . . . W s z y s t k o w i e m y o f u n k c j a c h . . .
P r z e p i s n a f u n k c j f a l o w ( 1 )
1 . N a p i s a k l a s y c z n y w z ó r n a e n e r g i u k Ba d u :
E = E k i n + E p o t = T + V
2 . P r z e k s z t a Bc i w z ó r n a e n e r g i t a k , b y z a w i e r a B
t y l k o w s p ó Br z d n e i p d y o r a z s t a Be
( n p . w y e l i m i n o w a p r d k o [)
3 . Z a m i e n i w s p ó Br z d n e i p d y n a o d p o w i e d n i e
o p e r a t o r y i u t w o r z y o p e r a t o r e n e r g i i c a Bk o w i t e j
C o t o j e s t o p e r a t o r ?
l i c z b a A çøf u n k c j a ’! l i c z b a B
çøçø
f u n k c j a A çøo p e r a t o r ’! f u n k c j a B
çøçø
m n o \e n i e p r z e z s t a B a · a · f ( x )
m n o \e n i e p r z e z z m i e n n x · x · f ( x )
p o d n o s z e n i e d o k w a d r a t u [ ] 2 [ f ( x ) ] 2
r ó \n i c z k o w a n i e d / d x d f ( x ) / d x
O p e r a t o r y m e c h a n i k i k w a n t o w e j
K a \d e j w i e l k o [c i o d p o w i a d a o p e r a t o r :
$
x x x Å"
"
$
p x p x - i h
i - j e d n o s t k a u r o j o n a
"x
"
i = - 1
$
p y p y - i h
"y
"
$
p z p z - i h
"z
2 2 2
" " "
$
p 2 p 2 h 2 "x 2 + +
( )
"y 2 "z 2
P r z e p i s n a f u n k c j f a l o w ( 2 )
4 . R o z w i z a z a g a d n i e n i e w Ba s n e e n e r g i i :
$
H ¨ = E ¨
E = T + V
$ $ $
H = T + V
E n e r g i a c a Bk o w i t a
O p e r a t o r e n e r g i i
u k Ba d u ( l i c z b a )
c a Bk o w i t e j
P r z e p i s n a f u n k c j f a l o w ( 3 )
R ó w n a n i e t o n o s i n a z w r ó w n a n i a S c h r ö d i n g e r a
E r w i n S c h r ö d i n g e r , 1 8 8 7 - 1 9 6 1 , N o b e l 1 9 3 3
J e s t t o r ó w n a n i e p o d o b n e d o r ó w n a n i a
a m p l i t u d y f a l i w a k u s t y c e . . .
F u n k c j e w i e l u z m i e n n y c h . . .
F u n k c j a j e d n e j z m i e n n e j y = f ( x ) ,
W y k r e s n a p Ba s z c z y zn i e
2
d y
d y d d y
ëø öø
y ' = f ' ( x ) = y " = f " ( x ) = = ìø ÷ø
D r u g a p o c h o d n a
P o c h o d n a
íø
d x 2 d x d x øø
d x
P o c h o d n e r ó \n y c h f u n k c j i :
F u n k c j a P o c h o d n a F u n k c j a P o c h o d n a
( u + v ) u ' + v '
a x n n a x n - 1
u Å" v u ' Å" v + u Å" v '
s i n x c o s x
u u ' Å"v - u Å"v '
c o s x - s i n x
v
v 2
1
l o g x
d d ( f ( u ) d u
x
f ( u ( x ) Å"
. . . . .
d x d u d x
F u n k c j a w i e l u z m i e n n y c h . . .
F u n k c j a d w ó c h l u b t r z e c h z m i e n n y c h
F u n k c j a d w ó c h z m i e n n y c h z = f ( x , y )
W y k r e s w p r z e s t r z e n i . . .
F u n k c j a t r z e c h z m i e n n y c h t = f ( x , y , z )
W y k r e s w p r z e s t r z e n i c z t e r o w y m i a r o w e j . . .
J a k o b l i c z a s i p o c h o d n e f u n k c j i w i e l u z m i e n n y c h ?
T r a k t u j c w s z y s t k i e p o z o s t a Be z m i e n n e j a k s t a Be . . .
P o c h o d n a f u n k c j i t r z e c h z m i e n n y c h
P i e r w s z e p o c h o d n e
F u n k c j a
f ( x , y , z ) = 4 x 3 y + 3 x y z - 3 x 2 y 2 z + 5 z 2
P i e r w s z e p o c h o d n e ( 3 ) :
"f ( x , y , z )
= 1 2 x 2 y + 3 y z - 6 x y 2 z
"x
"f ( x , y , z )
= 4 x 3 + 3 x z - 6 x 2 y z
"y
"f ( x , y , z )
= 3 x y - 3 x 2 y 2 + 1 0 z
"z
P o c h o d n a f u n k c j i t r z e c h z m i e n n y c h
D r u g i e p o c h o d n e
D r u g i e p o c h o d n e ( p i e r w s z a p o x - 3 ) : D r u g i e p o c h o d n e ( p i e r w s z a p o y - 3 ) :
2 2
" f ( x , y , z ) " f ( x , y , z )
= 2 4 x y - 6 y 2 z = - 6 x 2 z
"x 2 "y 2
2
2
" f ( x , y , z )
" f ( x , y , z )
= 1 2 x 2 + 3 z - 1 2 x y z
= 1 2 x 2 + 3 z - 1 2 x y z
"y "x
"x "y
2
2
" f ( x , y , z )
" f ( x , y , z )
= 3 y - 6 x y 2
= 3 x - 6 x 2 y
"z "x
"z "y
D r u g i e p o c h o d n e ( p i e r w s z a p o z - 3 ) :
2
" f ( x , y , z )
= 1 0
"z 2
2
" f ( x , y , z )
= 3 y - 6 x y 2
"x "z
2
" f ( x , y , z )
= 3 x - 6 x 2 y
"y "z
R ó w n a n i e r ó \n i c z k o w e . . .
R ó w n a n i e a l g e b r a i c z n e :
z a w i e r a j e d n l u b w i c e j n i e w i a d o m y c h o r a z
s t a Be ( p a r a m e t r y ) ;
w z a l e \n o [c i o d l i c z b y z m i e n n y c h j e s t r ó w n a n i e m
j e d n e j , d w ó c h l u b n z m i e n n y c h ;
w z a l e \n o [c i o d p o t g , w k t ó r y c h w y s t p u j
z m i e n n e m o \e b y 1 , 2 , 3 , n - t e g o s t o p n i a ;
r o z w i z a n i e m s o d p o w i e d n i e l i c z b y l u b
z b i o r y l i c z b
R ó w n a n i e r ó \n i c z k o w e
z a w i e r a f u n k c j e , i c h p o c h o d n e , o r a z z m i e n n e
m o \e b y r ó w n a n i e m r ó \n i c z k o w y m f u n k c j i j e d n e j
l u b w i e l u z m i e n n y c h ;
w z a l e \n o [c i o d r z d u p o c h o d n y c h m o \e b y
r ó w n a n i e m p i e r w s z e g o l u b w y \s z y c h r z d ó w ;
r o z w i z a n i e m s f u n k c j e o d p o w i e d n i e j l i c z b y
z m i e n n y c h
J u \
w s z y s t k o w i e m y o f u n k c j a c h . . .
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
podstawy chemii wyklad14podstawy chemii wyklad04podstawy chemii wyklad13podstawy chemii wyklad01Wykład 1 podstawy chemii nieorganicznejpodstawy chemii ogolnej temat 4spis literatury podstawy chemiipodstawy chemii ogolnej temat 2PODSTAWY REKREACJI wykładićwiczenia 10 09x8 Podstawy chemii organicznej Profesor BoduszekPodstawy metrologii Wykład 1więcej podobnych podstron