��Mechanika kwantowa Stan ukB
adu zB
o\
onego z N cz
stek okre[
la funkcja falowa Q (x1, y1, z1, x2, y2, z2, ......xN, yN, zN,t) gdzie xk, yk, zk wsp�B
rz
dne k-tej cz
stki W stanie stacjonarnym: Q (x1, y1, z1, x2, y2, z2, ......xN, yN, zN,t) = Q (x1, y1, z1, x2, y2, z2, ......xN, yN, zN)@f(t) Sens fizyczny funkcji falowej *Q (x1, y1, z1, x2, y2, z2, ......xN, yN, zN)*2 = D (....) W � = dx1�"dy1�"dz1�".......�"dxN �"dyN �"dzN W - prawdopodobieD
stwo, \
e wsp�B
rz
dne znajduj
si
pomi
dzy x1 a x1+dx1, y1 a y1+dy1, z1 a z1+dz1,....., xN a xN+dxN, yN a yN+dyN,zN a zN+dzN dx1@dy1@dz1,....., dxN@dyN@dzN = obj
to[

" w przestrzeni 3N wymiarowej Dla jednej cz
stki w przestrzeni tr�jwymiarowej D = *Q(x ,y, z)*2 dV z 2 �(x, y,z) dV = 1 +" V x y Funkcja falowa a fala de Broglie a *Q (x1, y1, z1,*2 dla jednej cz
stki jest kwadratem amplitudy fali de Broglie a Q (x1, y1, z1) jest amplitud
fali dla jednej cz
stki Funkcja falowa (1) Jaka to ma by
funkcja ? Musi pozwoli
na okre[
lenie prawdopodobieD
stwa, zatem musi by
: Takie funkcje nazywaj
- ci
gB
a; si
funkcjami klasy Q, - jednoznaczna; albo - znikaj
ca w funkcjami porz
dnymi nieskoD
czono[
ci Funkcja falowa (2) Sk
d wzi

funkcj
falow
? Przepisu dostarcza mechanika kwantowa ... Pozwala ona na znalezienie funkcji falowej opisuj
cej zachowanie dowolnego ukB
adu ... Niewiele wiemy o funkcjach ... Wszystko wiemy o funkcjach ... Przepis na funkcj
falow
(1) 1. Napisa
klasyczny wz�r na energi
ukB
adu: E = Ekin + Epot = T + V 2. PrzeksztaB
ci
wz�r na energi
tak, by zawieraB
tylko wsp�B
rz
dne i p
dy oraz staB
e (np. wyeliminowa
pr
dko[

) 3. Zamieni
wsp�B
rz
dne i p
dy na odpowiednie operatory i utworzy
operator energii caB
kowitej Co to jest operator ? liczba A ��funkcja�! liczba B ���� funkcja A ��operator�! funkcja B ���� mno\
enie przez staB

a� a�f(x) mno\
enie przez zmienn
x� x�f(x) podnoszenie do kwadratu [ ]2 [f(x) ]2 r�\
niczkowanie d/dx df(x)/dx Operatory mechaniki kwantowej Ka\
dej wielko[
ci odpowiada operator: $ x x x �" " $ px px - ih i - jednostka urojona "x " i = -1 $ py py - ih "y " $ pz pz - ih "z 2 2 2 " " " $ p2 p2 h2 "x2 + + ( ) "y2 "z2 Przepis na funkcj
falow
(2) 4. Rozwi
za
zagadnienie wB
asne energii : $ H� = E� E = T +V $ $ $ H = T + V Energia caB
kowita Operator energii ukB
adu (liczba) caB
kowitej Przepis na funkcj
falow
(3) R�wnanie to nosi nazw
r�wnania Schr�dingera Erwin Schr�dinger, 1887-1961, Nobel 1933 Jest to r�wnanie podobne do r�wnania amplitudy fali w akustyce ... Funkcje wielu zmiennych ... Funkcja jednej zmiennej y = f (x), Wykres na pB
aszczyz
nie 2 dy d y d dy �� �� y' = f '(x) = y"= f "(x) = = �� �� Druga pochodna Pochodna �� dx2 dx dx�� dx Pochodne r�\
nych funkcji: Funkcja Pochodna Funkcja Pochodna (u + v) u'+ v' axn naxn-1 u�" v u' �" v+u�" v' sin x cos x u u'�"v-u�"v' cos x - sin x v v2 1 log x d d(f(u) du x f (u(x) �" ..... dx du dx Funkcja wielu zmiennych ... Funkcja dw�ch lub trzech zmiennych Funkcja dw�ch zmiennych z = f (x, y) Wykres w przestrzeni ... Funkcja trzech zmiennych t = f (x, y, z) Wykres w przestrzeni czterowymiarowej ... Jak oblicza si
pochodne funkcji wielu zmiennych ? Traktuj
c wszystkie pozostaB
e zmienne jak staB
e ... Pochodna funkcji trzech zmiennych Pierwsze pochodne Funkcja f(x,y,z)=4x3y + 3xyz - 3x2 y2z + 5z2 Pierwsze pochodne (3): "f (x, y, z) =12x2 y + 3yz - 6xy2z "x "f (x, y, z) =4x3 + 3xz - 6x2 yz "y "f (x, y, z) =3xy - 3x2 y2 + 10z "z Pochodna funkcji trzech zmiennych Drugie pochodne Drugie pochodne (pierwsza po x - 3): Drugie pochodne (pierwsza po y - 3): 2 2 " f (x, y, z) " f (x, y, z) =24xy - 6y2z = - 6x2z "x2 "y2 2 2 " f (x, y, z) " f (x, y, z) =12x2 + 3z - 12xyz =12x2 + 3z - 12xyz "y"x "x"y 2 2 " f (x, y, z) " f (x, y, z) =3y - 6xy2 =3x - 6x2 y "z"x "z"y Drugie pochodne (pierwsza po z - 3): 2 " f (x, y, z) =10 "z2 2 " f (x, y, z) =3y - 6xy2 "x"z 2 " f (x, y, z) =3x - 6x2 y "y"z R�wnanie r�\
niczkowe ... R�wnanie algebraiczne:  zawiera jedn
lub wi
cej niewiadomych oraz staB
e (parametry);  w zale\
no[
ci od liczby zmiennych jest r�wnaniem jednej, dw�ch lub n zmiennych;  w zale\
no[
ci od pot
g, w kt�rych wyst
puj
zmienne mo\
e by
1, 2, 3, n-tego stopnia;  rozwi
zaniem s
odpowiednie liczby lub zbiory liczb R�wnanie r�\
niczkowe  zawiera funkcje, ich pochodne, oraz zmienne  mo\
e by
r�wnaniem r�\
niczkowym funkcji jednej lub wielu zmiennych;  w zale\
no[
ci od rz
du pochodnych mo\
e by
r�wnaniem pierwszego lub wy\
szych rz
d�w;  rozwi
zaniem s
funkcje odpowiedniej liczby zmiennych Ju\
wszystko wiemy o funkcjach ...