ÿþ5 . R E G U L A C J A I M P U L S O W A
5 . 1 . W S T P
W t e c h n i c e s t e r o w a n i a c z s t o o b o k s y g n a Bó w c i g By c h m o |n a s p o t k a s y g n a By
d y s k r e t n e . D y s k r e t y z a c j a s y g n a Bó w w o g ó l n o [c i m o |e p o l e g a n a d y s k r e t y z a c j i w a r t o [c i
s y g n a Bu l u b n a d y s k r e t y z a c j i c z a s u .
S y g n a By d y s k r e t n e , w y s t p u j c e j e d y n i e w o k r e [l o n y c h c h w i l a c h c z a s u , n a z y w a m y
i m p u l s o w y m i . S t o s o w a n i e t e c h n i k i i m p u l s o w e j w y n i k a z e w z g l d ó w t e c h n i c z n y c h ,
p o n i e w a | p o z w a l a n a :
·ð U p r o s z c z e n i e k o n s t r u k c j i u r z d z e D
·ð U z y s k a n i e w i k s z e j o d p o r n o [c i n a z a k Bó c e n i a
·ð W i k s z e w y k o r z y s t a n i e m o c y o b l i c z e n i o w e j u r z d z e D
I s t n i e j u k Ba d y , z k t ó r y c h z a s a d y d z i a Ba n i a w y n i k a k o n i e c z n o [ s t o s o w a n i a u k Ba d ó w
i m p u l s o w y c h j a k n a p r z y k Ba d :
·ð U r z d z e n i a r e a l i z o w a n e w t e c h n i c e c y f r o w e j
·ð M a t e m a t y c z n e u k Ba d y c y f r o w e
W t e o r i i s t e r o w a n i a r o z p a t r y w a n i e u k Ba d ó w i m p u l s o w y c h w y n i k a z z a s t o s o w a D t a n i c h
u r z d z e D c y f r o w y c h t a k i c h j a k s t e r o w n i k i p r o g r a m o w a l n e i i n n y c h u r z d z e D s w o b o d n i e
p r o g r a m o w a l n y c h s t e r u j c y c h p r o c e s a m i p r z e m y s Bo w y m i . Z a s t o s o w a n i e t e c h n i k i
c y f r o w e j w w i e l u p r z y p a d k a c h p o z a w a l a n a p o l e p s z e n i e j a k o [c i r e g u l a c j i w s t o s u n k u d o
u k Ba d ó w c i g By c h .
5 . 2 . P O D S T A W Y T E O R I I U K AA D Ó W I M P U L S O W Y C H
P r z e z u k Ba d i m p u l s o w y r o z u m i e s i u k Ba d , w k t ó r y m w y s t p u j s y g n a By i m p u l s o w e
N i e z a w s z e w u k Ba d a c h i m p u l s o w y c h w y s t p u j t y l k o i w y Bc z n i e s y g n a By i m p u l s o w e ,
m o g w y s t p o w a t a k |e s y g n a By c i g Be .
P r z e k s z t a Bc e n i e s y g n a Bu c i g Be g o w s y g n a B i m p u l s o w y n a z y w a s i m o d u l a c j
i m p u l s o w , a u r z d z e n i e d o k o n u j c e m o d u l a c j i i m p u l s o w e j n a z y w a m y - i m p u l s a t o r e m .
P o d s t a w o w e r o d z a j e m o d u l a c j i i m p u l s o w e j s p r z e d s t a w i o n e n a r y s u n k u 5 . 1 .
W t e c h n i c e s t e r o w a n i a s y g n a By i m p u l s o w e c z s t o o d z i a By w u j n a c i g Be o b i e k t y ,
d l a t e g o t e | n a j c z [c i e j s t o s o w a n j e s t m o d u l a c j a p o l a i m p u l s u t z n . m o d u l a c j a
a m p l i t u d y ( p r z y s t a Be j s z e r o k o [c i i m p u l s u - s t a By m c z a s i e i m p u l s o w a n i a ) l u b m o d u l a c j a
s z e r o k o [c i ( p r z y s t a Be j a m p l i t u d z i e ) .
U [r e d n i e n i e c i g u i m p u l s ó w o d b y w a s i w o b i e k c i e d y n a m i c z n y m o w Ba [c i w o [c i a c h
f i l t r u d o l n o p r z e p u s t o w e g o . P r z y k Ba d e m o b i e k t u b d c e g o f i l t r e m d o l n o p r z e p u s t o w y m
j e s t o b i e k t o c h a r a k t e r z e i n e r c y j n y m .
5 . 2 . 1 . I m p u l s a t o r y
P r z e z i m p u l s a t o r i d e a l n y r o z u m i e s i c z Bo n f u n k c j o n a l n y z a m i e n i a j c y s y g n a B c i g By
y ( t ) n a s y g n a B i m p u l s o w y y p * ( t ) , b d c y c i g i e m i m p u l s ó w D i r a c a o p o l u m a j c y m
w a r t o [ r ó w n w a r t o [c i s y g n a Bu c i g Be g o y ( t ) w d a n e j c h w i l i c z a s u ( t ) . O p e r a c j a
i m p u l s o w a n i a o b r a z o w a n a j e s t n a s c h e m a c i e p r z e z k l u c z i d e a l n y .
a )
n T p
b )
c )
)
d )
n T p
R y s . 5 . 1 . R ó |n o r o d n e s p o s o b y z a m i a n y s y g n a Bu c i g Be g o w i m p u l s o w y
a ) s y g n a B c i g By ,
b ) s y g n a B i m p u l s o w y z m o d u l a c j a m p l i t u d y ,
c ) s y g n a B i m p u l s o w y z m o d u l a c j s z e r o k o [c i i m p u l s u ,
d ) s y g n a B i m p u l s o w y o k s z t a Bc i e t r ó j k t n y m z m o d u l a c j a m p l i t u d y i
k w a n t o w a n i e m .
O p r ó c z p r z e d s t a w i o n y c h n a R y s . 5 . 1 . m o d u l a c j i w y s t p u j e j e s z c z e : m o d u l a c j a c z s t o t l i w o [c i
i m o d u l a c j a f a z y .
I d e a l n y s y g n a B i m p u l s o w y m o |n a z a p i s a w p o s t a c i w z o r u :
2
¥ð
*
( 5 . 1 )
y (ðt )ð=ð y (ðn T p )ð×ðdð(ðt -ð n T p )ð
p åð
n =ð0
g d z i e :
y ( n · T p ) - j e s t s z e r e g i e m w a r t o [c i s y g n a Bu c i g Be g o w c h w i l a c h t = n T p ,
w s k a zn i k n = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , . . . . j e s t k o l e j n y m n u m e r e m o k r e s u
i m p u l s o w a n i a T p ( p r ó b k o w a n i e ) b d z t z w . c h w i l i p r ó b k o w a n i a .
dð( t - n T p ) - i m p u l s o w a f u n k c j a D i r a c a .
I m p u l s a t o r i d e a l n y l i n i o w y t o t a k i , k t ó r e g o e f e k t d a s i p r z e d s t a w i j a k o s z e r e g o w e
p o Bc z e n i e i m p u l s a t o r a i d e a l n e g o o r a z l i n i o w e g o c z Bo n u d y n a m i c z n e g o .
W p r a k t y c z n y m z a s t o s o w a n i u n a j c z [c i e j m a m y d o c z y n i e n i a z l i n i o w y m
r z e c z y w i s t y m i m p u l s a t o r e m . W y t w a r z a o n , c o o k r e s T p , i m p u l s y o o k r e [l o n y m k s z t a Bc i e .
A m p l i t u d y i p o l a k o l e j n y c h i m p u l s ó w s p r o p o r c j o n a l n e d o w a r t o [c i s y g n a Bu c i g Be g o w
c h w i l a c h p r ó b k o w a n i a t = n · T p .
I m p u l s a t o r r z e c z y w i s t y w y t w a r z a n a s w o i m w y j [c i u c i g i m p u l s ó w , k t ó r y c h k s z t a Bt
w e w n t r z o k r e s ó w i m p u l s o w a n i a m o |e b y r ó |n y n p . : l i n i o w y , w y k Ba d n i c z y , i t p .
W p r z y p a d k u , g d y i m p u l s a t o r g e n e r u j e s y g n a B s c h o d k o w y ( s z e r o k o [ i m p u l s ó w r ó w n a T p )
c z Bo n f o r m u j c y j e s t t z w . e k s t r a p o l a t o r e m z e r o w e g o r z d u . S t r u k t u r o r a z p r z e b i e g i
s y g n a Bu z t a k i e g o i m p u l s a t o r a p r z e d s t a w i o n o n a R y s . 5 . 2 .
n T p
R y s . 5 . 2 . S c h e m a t b l o k o w y s y g n a Bu s c h o d k o w e g o z i m p u l s a t o r a r z e c z y w i s t e g o z
e k s t r a p o l a t o r e m z e r o w e g o r z d u
T r a n s m i t a n c j a e k s t r a p o l a t o r a z e r o w e g o r z d u ( c z Bo n u f o r m u j c e g o z p a m i c i ) j e s t p o s t a c i :
3
1
P
G p (ðs )ð=ð (ð1 -ð e -ðs T )ð
( 5 . 2 )
s
p o j e d y n c z y k - t y i m p u l s n a w y j [c i u m o |n a z a p i s a j a k o :
y p k (ðt )ð=ð y (ðk T p )ð{ð1 (ðt -ð k T p )ð-ð1 (ðt -ð k T p -ðT p )ð}ð
( 5 . 3 )
Z e w z g l d u n a f a k t , |e w m i k r o p r o c e s o r o w y c h u r z d z e n i a c h s t e r u j c y c h c y f r o w e d o
s t e r o w a n i a , z o s t a n k r ó t k o o m ó w i o n e i m p u l s a t o r y k w a n t o w e . U k Ba d y m i k r o p r o c e s o r o w e
m o g p r z e p r o w a d z a o b l i c z e n i a t y l k o n a d y s k r e t n y c h w c z a s i e i k w a n t o w a n y c h
w a r t o [c i a c h s y g n a Bó w , d o d a t k o w o r e a l i z o w a n e j e s t m o d e l o w a n i e .
I m p u l s a t o r e m k w a n t o w y m n a z y w a m y t a k i i m p u l s a t o r , w k t ó r y m p a r a m e t r y i m p u l s ó w
w y j [c i o w y c h n i e m o g p r z y b i e r a w a r t o [c i d o w o l n y c h , a j e d y n i e c a Bk o w i t w i e l o k r o t n o [
p e w n e j j e d n o s t k i t z w . k w a n t u . I m p u l s a t o r k w a n t o w y p o w s t a j e z p o Bc z e n i a i m p u l s a t o r a
i d e a l n e g o z n i e l i n i o w y m c z Bo n e m b e z i n e r c y j n y m o c h a r a k t e r y s t y c e k w a n t o w e j ( R y s . 5 . 3 . ) .
n T p
R y s . 5 . 3 . I m p u l s a t o r k w a n t o w y i d e a l n y ; s c h e m a t o r a z i m p u l s y w y j [c i o w e
5 . 2 . 2 . M e t o d y a n a l i z y u k Ba d ó w i m p u l s o w y c h
4
T e o r i a u k Ba d ó w i m p u l s o w y c h , s t o s o w a n a j e s t d o a n a l i z y i s y n t e z y u k Ba d ó w r e g u l a c j i
c y f r o w e j , p o n i e w a | u k Ba d y i m p u l s o w e z a z w y c z a j b e z p o [r e d n i o w s p ó Bp r a c u j
z m i k r o k o n t r o l e r e m l u b k o m p u t e r e m t w o r z c r e g u l a t o r c y f r o w y . M i k r o k o n t r o l e r l u b
k o m p u t e r n i e m o |e d o k o n y w a a n a l i z y s y g n a Bu w s p o s ó b c i g By , l e c z j e d y n i e w d y s k r e t n y c h
c h w i l a c h c z a s u , c z y l i d o k o n u j e p r ó b k o w a n i a o o d p o w i e d n i m , z g ó r y o k r e [l o n y m o k r e s i e .
R y s . 5 . 3 a . S c h e m a t b l o k o w y u k Ba d u s t e r o w a n i a k o m p u t e r o w e g o z p r z e t w o r n i k i e m A / C i C / A
R y s . 5 . 3 b . S c h e m a t r ó w n o w a |n y ( R y s . 5 . 3 a ) . p r z y p o m i n i c i u e f e k t u k w a n t o w a n i a c y f r o w e g o
i w p r o w a d z e n i u e k s t r a p o l a t o r a
C e c h c h a r a k t e r y s t y c z n a n a l i z y u k Ba d ó w i m p u l s o w y c h j e s t r o z p a t r y w a n i e s y g n a Bó w
w d y s k r e t n y c h c h w i l a c h c z a s o w y c h n a r z u c o n y c h p r z e z i m p u l s a t o r . P o n i e w a | w u k Ba d a c h
i m p u l s o w y c h w y s t p u j r ó w n i e | s y g n a By c i g Be , w c e l u u j e d n o l i c e n i a p o d e j [c i a w a n a l i z i e ,
w p r o w a d z a s i t z w . i m p u l s a t o r y f i k c y j n e . W t e d y a n a l i z a p o l e g a b d z i e n a r o z p a t r y w a n i u
z w i z k ó w p o m i d z y r z e c z y w i s t y m i i f i k c y j n y m i s y g n a Ba m i i m p u l s o w y m i .
W p r z y p a d k u u k Ba d ó w i m p u l s o w y c h l i n i o w y c h i s t n i e j e k i l k a m a t e m a t y c z n y c h m e t o d
a n a l i z y , k t ó r e p r o w a d z d o t y c h s a m y c h w y n i k ó w .
M e t o d a p i e r w s z a p o l e g a n a b a d a n i u z a l e |n o [c i p o m i d z y i d e a l n y m i s y g n a Ba m i
i m p u l s o w y m i , k t ó r e s c i g a m i f u n k c j i D i r a c a . U j c i e t o p o z w a l a n a z a s t o s o w a n i e c i g Be g o
p r z e k s z t a Bc e n i a L a p l a c e a i p r z e p r o w a d z e n i e a n a l i z y l i n i o w y c h u k Ba d ó w i m p u l s o w y c h
a n a l o g i c z n i e , j a k l i n i o w y c h u k Ba d ó w c i g By c h .
M e t o d a d r u g a p o l e g a n a b a d a n i u z a l e |n o [c i m i d z y w a r t o [c i a m i s y g n a Bó w c i g By c h
w d y s k r e t n y c h c h w i l a c h c z a s u n T p n i e z a l e |n i e c z y m a m i e j s c e d y s k r e t y z a c j a c z y t e | n i e . D o
c i g ó w w a r t o [c i s y g n a Bó w w d y s k r e t n y c h c h w i l a c h c z a s u z w a n y c h f u n k c j a m i d y s k r e t n y m i ,
g d y u k Ba d i i m p u l s a t o r y s l i n i o w e , m o |n a z a s t o s o w a s p e c j a l n e p r z e k s z t a Bc e n i e L a p l a c e a
z w a n e p r z e k s z t a Bc e n i e m Z . P r z e k s z t a Bc e n i e Z j e s t d y s k r e t n w e r s j c a Bk o w e j
t r a n s f o r m a c j i L a p l a c e a .
M e t o d a t r z e c i a j e s t n a j b a r d z i e j o g ó l n a i p o l e g a n a u j c i u z a l e |n o [c i p o m i d z y c i g a m i
w a r t o [c i s y g n a Bó w w p o s t a c i r ó w n a D r ó |n i c o w y c h i i c h r o z w i z a n i u .
5 . 2 . 2 . 1 . D y s k r e t n e p r z e k s z t a Bc e n i e L a p l a c e a T r a n s f o r m a t a Z
5
T r a n s f o r m a t a Z ( 5 . 4 ) ( n a z y w a n a j e s t r ó w n i e | d y s k r e t n t r a n s f o r m a t p r z e k s z t a Bc e n i e m
L a p l a c e a l u b t r a n s f o r m a t D i r i c h l e t a a l b o L a u r e n t a ) j e s t s z e r e g i e m p o t g o w y m , w z g l d e m
z m i e n n e j z e s p o l o n e j z o k r e [l o n y m w z o r e m :
¥ð
d f
Z {ðf (ðn )ð}ð=ð f (ðn )ð×ð z -ðn =ð F (ðz )ð ( 5 . 4 )
åð
n =ð0
g d z i e :
f ( n ) - f u n k c j a d y s k r e t n a p r z y z r e d u k o w a n e j s k a l i c z a s u tð = t / T p
z - z m i e n n a n i e z a l e |n a z e s p o l o n a , d z i e d z i n a t r a n s f o r m a t y Z s y g n a Bu .
P r z e k s z t a Bc e n i e Z t r a n s f o r m u j e z d z i e d z i n y c z a s u d o d z i e d z i n y o p e r a t o r o w e j c z y l i w z a j e m n i e
j e d n o z n a c z n i e p r z y p o r z d k o w u j e f u n k c j i f ( n ) z m i e n n e j n f u n k c j o p e r a t o r o w F ( z ) z m i e n n e j
z w e d Bu g r e g u By 5 . 4 .
P r z e k s z t a Bc e n i e o d w r o t n e w y r a |a s i w z o r e m :
k
1
k -ð1 k -ð1
f (ðn )ð =ð [ðF ( z ) ]ð
( 5 . 5 )
åðr e s * Z
òðZ * F ( z ) d z =ð
2 pðj
i =ð1
W p r a k t y c e d o o b l i c z e D t r a n s f o r m a t o d w r o t n y c h ( o r y g i n a Bó w f ( n ) ) u |y w a s i t a b l i c w p r o s t ,
b d z w p r z y p a d k u f u n k c j i z Bo |o n y c h s t o s u j e s i r o z k Ba d n a u Ba m k i p r o s t e o p o s t a c i
z
( z i b i e g u n t r a n s f o r m a t y ) i n a s t p n i e u |y w a s i t a b l i c .
z -ð z i
5 . 2 . 2 . 2 . R ó w n a n i a r ó |n i c o w e
J e |e l i u k Ba d l i n i o w y o p i s a n y j e s t r ó w n a n i e m r ó |n i c o w y m o s y g n a l e w e j [c i o w y m u ( t )
o r a z s y g n a l e w y j [c i o w y m y ( t ) t o w d y s k r e t n y c h c h w i l a c h c z a s u o d p o w i a d a t o b a d a n i u ,
z a l e |n o [c i p o m i d z y s y g n a Ba m i u ( n ) i y ( n ) i w t e d y u k Ba d t a k i j e s t t r a k t o w a n y j a k o
i m p u l s o w y .
R ó w n a n i e m r ó |n i c o w y m k - t e g o r z d u n a z y w a m y z w i z e k p o m i d z y w a r t o [c i a m i
c i g u y ( n ) a j e g o r ó |n i c a m i a | d o k - t e j w Bc z n i e , a l b o r ó w n o w a |n i e z w i z e k p o m i d z y ( k + 1 )
k o l e j n y m i w a r t o [c i a m i c i g u y ( n ) . L i n i o w e r ó w n a n i e r ó |n i c o w e o s t a By c h w s p ó Bc z y n n i k a c h
m a p o s t a :
Dðk y ( n ) + a k - 1 Dðk - 1 y ( n ) + a k - 2 Dðk - 2 y ( n ) + . . . . + a 1 Dðy ( n ) + a 0 y ( n ) = u ( n ) ( 5 . 6 )
l u b
y ( k + n ) + a k - 1 y ( k + n - 1 ) + & . + a 1 y ( n + 1 ) + a 0 y ( n ) = u ( n ) ( 5 . 7 )
W c e l u r o z w i z a n i a r ó w n a n i a r ó |n i c o w e g o k o n i e c z n a j e s t z n a j o m o [ f u n k c j i w y m u s z a j c e j
U ( n ) o r a z k w a r u n k ó w p o c z t k o w y c h f u n k c j i y ( 0 ) . . . y ( k - 1 ) . W t e d y m o |n a m e t o d
r e k u r e n c y j n o b l i c z y w a r t o [c i l i c z b o w e y ( n ) w k o l e j n y c h c h w i l a c h n . I n n y m i m e t o d a m i
r o z w i z y w a n i a r ó w n a n i a r ó |n i c o w e g o j e s t m e t o d a k l a s y c z n a l u b m e t o d a o p e r a t o r o w a .
5 . 2 . 2 . 3 . T r a n s m i t a n c j a i m p u l s o w a
6
P o d o b n i e j a k d l a u k Ba d ó w c i g By c h , l i n i o w y c h i s t a c j o n a r n y c h w p r z y p a d k u a n a l i z y u k Ba d ó w
i m p u l s o w y c h , l i n i o w y c h i s t a c j o n a r n y c h d o g o d n e j e s t p o s Bu g i w a n i e s i m e t o d a m i
o p e r a t o r o w y m i w t y m p r z y p a d k u p r z e k s z t a Bc e n i e m Z .
J e |e l i u k Ba d i m p u l s o w y o p i s a n y j e s t p r z e z r ó w n a n i e r ó |n i c o w e n - t e g o r z d u , d l a j e d n e g o
s y g n a Bu w y j [c i o w e g o y i j e d n e g o s y g n a Bu s t e r o w a n i a u t o p r z y z e r o w y c h w a r u n k a c h
p o c z t k o w y c h r ó w n a n i e t o j e s t n a s t p u j c e :
y [ k + n ] + . . . + a 0 y [ n ] = b m u [ k + m ] + . . . + b 0 u [ m ] ( 5 . 8 )
P o s t r a n s f o r m o w a n i u o b u s t r o n p o w y |s z e g o r ó w n a n i a m o |n a z n i e g o w y d z i e l i w y r a |e n i e :
Y [ z ] b m z m +ð . . . +ð b 0
G [ðz ]ð=ð =ð ( 5 . 9 )
U [ z ] z k +ð . . . +ð a 0
W y r a |e n i e t o n a z y w a m y t r a n s m i t a n c j d y s k r e t n ( t r a n s m i t a n c j i m p u l s o w ) u k Ba d u
o p i s a n e g o r ó w n a n i e m ( 5 . 8 ) , z a [ m i a n o w n i k t r a n s m i t a n c j i d y s k r e t n e j w i e l o m i a n e m
c h a r a k t e r y s t y c z n y m . T r a n s m i t a n c j a d y s k r e t n a G [ z ] j e s t t r a n s f o r m a t Z d y s k r e t n e j
c h a r a k t e r y s t y k i i m p u l s o w e j g ( n ) p o w s t a Be j z d y s k r e t y z a c j i c i g Be j c h a r a k t e r y s t y k i i m p u l s o w e j
g ( t ) . O d p o w i e d z u k Ba d u n a d o w o l n e w y m u s z e n i e m o |n a w d z i e d z i n i e t r a n s f o r m a t w y r a z i
j a k o :
Y [ z ] = G [ z ] · U [ z ] ( 5 . 1 0 )
z a [ w d z i e d z i n i e c z a s u d y s k r e t n e g o j a k o s p l o t ( d y s k r e t n y ) s y g n a Bu w y m u s z e n i a i o d p o w i e d z i
i m p u l s o w e j g ( n ) c z y l i :
k
y [ n ] =ð ( 5 . 1 1 )
åðu [ i ] * g [ n -ð i ]
i =ð0
P r z y a n a l i z i e u k Ba d ó w i m p u l s o w y c h b a r d z o p r z y d a t n e s t a b l i c e t r a n s f o r m a t L a p l a c e a
i o d p o w i a d a j c y c h i m t r a n s f o r m a t Z .
5 . 2 . 2 . 4 . S t a b i l n o [ l i n i o w y c h u k Ba d ó w i m p u l s o w y c h
S t a b i l n o [ u k Ba d u o p i s a n e g o r ó w n a n i e m r ó |n i c o w y m m o |n a o k r e [l i n a p o d s t a w i e
p o s t a c i s k Ba d o w e j s w o b o d n e j y p ( n ) r o z w i z a n i a j e g o r ó w n a n i a , c z y l i n a p o d s t a w i e
r o z w i z a n i a o g ó l n e g o , r ó w n a n i a j e d n o r o d n e g o ( b e z w y m u s z e n i a ) . P o s t a t e j s k Ba d o w e j z a l e |y
o d w a r u n k ó w p o c z t k o w y c h i p r z e d s t a w i a s i n a s t p u j c o :
k
y p [ðn ]ð=ð ×ð z i n ( 5 . 1 2 )
åðC i
i =ð1
p r z y c z y m z i ( i = 1 , 2 , 3 , . . . , k ) s p i e r w i a s t k a m i j e d n o k r o t n y m i r ó w n a n i a c h a r a k t e r y s t y c z n e g o
z k + a k - 1 · z k - 1 + . . . + a 1 · z 1 + a 0 · z 0 = 0 ( 5 . 1 3 )
S t a Be C i w y z n a c z a n e s z w a r u n k ó w p o c z t k o w y c h . D l a p i e r w i a s t k ó w w i e l o k r o t n y c h w z ó r
( 5 . 1 2 ) p r z y j m u j e p o s t a :
l i -ð1
k
j
y [ðn ]ð=ð C i j ×ð z i n * n ( 5 . 1 4 )
p åðåð
i =ð1 j =ð0
7
g d z i e l i - k r o t n o [ i - t e g o p i e r w i a s t k a r ó w n a n i a ( 7 . 1 3 ) .
W a r u n k i e m s t a b i l n o [c i a s y m p t o t y c z n e j u k Ba d u j e s t , a b y s k Ba d o w a p r z e j [c i o w a z a n i k a Ba d o
z e r a p r z y n àð ¥ð c o j e s t r ó w n o w a |n e w a r u n k o w i , a b y w s z y s t k i e p i e r w i a s t k i r ó w n a n i a
c h a r a k t e r y s t y c z n e g o l e |a By w e w n t r z k o Ba j e d n o s t k o w e g o c z y l i :
| z i | < 1 ( 5 . 1 5 )
W p r z y p a d k u p i e r w i a s t k ó w j e d n o k r o t n y c h m o |n a d o p u [c i d o r ó w n i e | w a r u n e k | z i | = 1 , w t e d y
u k Ba d j e s t s t a b i l n y a l e n i e a s y m p t o t y c z n i e . W p r a k t y c e d o o c e n y s t a b i l n o [c i u k Ba d ó w
i m p u l s o w y c h s t o s u j e s i k r y t e r i u m H u r w i t z a p o u p r z e d n i m o d w z o r o w a n i u k o Ba
j e d n o s t k o w e g o z p Ba s z c z y z n y z n a l e w p ó Bp Ba s z c z y z n z m i e n n e j w p o p r z e z
z -ð1
p o d s t a w i e n i e w =ð .
z +ð1
P o w p r o w a d z e n i u z m i e n n e j w m o |n a j e j c z [ u r o j o n t r a k t o w a j a k o z a s t p c z
c z s t o t l i w o [ i s t o s o w a d z i k i t e m u c z s t o t l i w o [c i o w e m e t o d y a n a l i z y i s y n t e z y .
5 . 3 . U K AA D Y R E G U L A C J I I M P U L S O W E J
S c h e m a t b l o k o w y t y p o w e g o u k Ba d u r e g u l a c j i i m p u l s o w e j j e d n e j z m i e n n e j j e s t
p o k a z a n y n a R y s . 5 . 4 .
R y s . 5 . 4 . S c h e m a t b l o k o w y t y p o w e g o u k Ba d u r e g u l a c j i i m p u l s o w e j
O b i e k t r e g u l a c j i G o b ( s ) j e s t c i g By , n a t o m i a s t r e g u l a t o r j e s t r e g u l a t o r e m i m p u l s o w y m .
U k Ba d r e g u l a t o r a i m p u l s o w e g o o b o k w Ba [c i w e g o r e g u l a t o r a o t r a n s m i t a n c j i G r ( s ) s k Ba d a s i z
i m p u l s a t o r ó w o r a z c z Bo n u f o r m u j c e g o ( e k s t r a p o l a t o r a ) o t r a n s m i t a n c j i G E P ( s ) .
W c e l u p r z e d s t a w i e n i a s c h e m a t u w s p o s ó b a n a l o g i c z n y j a k d l a u k Ba d ó w c i g By c h ,
n a l e |y z n a l e z o d p o w i e d n i e t r a n s m i t a n c j e d y s k r e t n e . P o n i e w a | i s t n i e j e j e d n o z n a c z n e
p r z y p o r z d k o w a n i e t r a n s f o r m a t o m L a p l a c e a o d p o w i e d n i c h t r a n s f o r m a t d y s k r e t n y c h
( t r a n s f o r m a t Z ) m o |n a w p r o w a d z i t z w . p r z e k s z t a Bc e n i e D , k t ó r e f o r m a l n i e d e f i n i u j e s i j a k o :
+ð¥ð
æð öð
1
D {ðF (ðs )ð}ð=ð =ð ( 5 . 1 6 )
åðF çðs +ð j 2 pð r ÷ð +ð f (ð0 )ð F [ðz ]ð
T p r =ð¥ð çð T p ÷ð 2
èð øð
W t e d y o d p o w i e d n i e t r a n s m i t a n c j e d y s k r e t n e b d r ó w n e :
T r a n s m i t a n c j a d y s k r e t n a w z g l d e m e k s t r a p o l a t o r a :
8
G r [ðz ]ð=ð D {ðG r (ðs )ð×ðG E P (ðs )ð}ð
( 5 . 1 7 )
T r a n s m i t a n c j a d y s k r e t n a u k Ba d u o t w a r t e g o :
G 0 [ðz ]ð=ð G r [ðz ]ð×ð D {ðG o b (ðs )ð}ð=ð G r [ðz ]ð×ðG o b [ðz ]ð
( 5 . 1 8 )
T r a n s m i t a n c j a d y s k r e t n a w z g l d e m s y g n a Bu z a k Bó c a j c e g o :
G z a k l (ðs )ð=ð D {ðG z a k l (ðs )ð}ð=ð G z a k l (ðz )ð
( 5 . 1 9 )
U w a g a : S y g n a By z ( t ) o r a z y ( t ) t r a k t u j e m y s z t u c z n i e j a k o s y g n a By d y s k r e t n e , c z y l i t a k
j a k b y w p r o w a d z a n o i m p u l s a t o r y i d e a l n e ( f i k c y j n e p r ó b k o w a n i e ) .
T r a n s m i t a n c j a d y s k r e t n e g o o b i e k t u ( o b i e k t u c i g Be g o w i d z i a n e g o p r z e z r e g u l a t o r d y s k r e t n y )
p r z e d s t a w i a s i w z o r e m :
G d o b (ðz )ð=ð D {ðG E P (ðs )ð×ðG o b (ðs )ð}ð
( 5 . 2 0 )
A n a l o g i c z n i e j a k d l a u k Ba d u c i g Be g o U A R m o |n a p r z e d s t a w i p o j c i e t r a n s m i t a n c j i u k Ba d u
z a m k n i t e g o :
G 0 [ðz ]ð Y [ðz ]ð
G z [ðz ]ð=ð =ð
( 5 . 2 1 )
1 +ð G 0 [ðz ]ð Y 0 [ðz ]ð
T r a n s m i t a n c j i u c h y b o w e j o d w y m u s z e n i a :
1 E [ðz ]ð
G U [ðz ]ð=ð =ð
( 5 . 2 2 )
1 +ð G 0 [ðz ]ð Y 0 [ðz ]ð
T r a n s m i t a n c j i u c h y b o w e j o d z a k Bó c e n i a w u k Ba d z i e z a m k n i t y m :
G z a k [ðz ]ð
E [ðz ]ð
G z [ðz ]ð=ð =ð
( 5 . 2 3 )
1 +ð G 0 [ðz ]ð Z [ðz ]ð
S c h e m a t b l o k o w y u k Ba d u r e g u l a c j i i m p u l s o w e j a n a l o g i c z n y d o u k Ba d u c i g Be g o j e s t
p r z e d s t a w i o n y n a R y s . 5 . 5 .
9
R y s . 5 . 5 . S c h e m a t b l o k o w y u k Ba d u r e g u l a c j i i m p u l s o w e j .
5 . 3 . 1 . A n a l i z a i s y n t e z a u k Ba d ó w r e g u l a c j i i m p u l s o w e j
S y n t e z a u k Ba d u r e g u l a c j i i m p u l s o w e j , t z n . d o b ó r t y p u r e g u l a t o r a , s t r u k t u r y u k Ba d u p r z y
o k r e [l o n y c h w y m a g a n i a c h c o d o p a r a m e t r ó w s t a t y c z n y c h i n a s t a w o r a z p a r a m e t r ó w
d y n a m i c z n y c h r e g u l a c j i , p r z e b i e g a p o d o b n i e j a k d l a u k Ba d ó w c i g By c h . I s t o t n c e c h
j a k o [c i o w u k Ba d u i m p u l s o w e g o j e s t , o b o k s t a b i l n o [c i d o k Ba d n o [ s t a t y c z n a .
O c e n a d o k Ba d n o [c i s t a t y c z n e j ( u c h y b u u s t a l o n e g o ) u k Ba d u r e g u l a c j i i m p u l s o w e j j e s t z w i z a n a
z p o j c i e m a s t a t y z m u . U k Ba d r e g u l a c j i i m p u l s o w e j n a z y w a m y a s t a t y c z n y m ( w z g l d e m
w y m u s z e n i a l u b z a k Bó c e n i a ) j e [l i p r z y p r a c y n àð ¥ð u c h y b r e g u l a c j i z a n i k a d o z e r a p r z y
s k o k o w y m w y m u s z e n i u l u b z a k Bó c e n i u . W a r u n k i e m a s t a t y z m u u k Ba d u j e s t , a b y t r a n s m i t a n c j a
1
u k Ba d u o t w a r t e g o G 0 ( z ) z a w i e r a Ba c z y n n i k , z a [ t r a n s m i t a n c j a z a k Bó c e n i o w a n i e
z -ð1
1
z a w i e r a Ba t e g o c z y n n i k a . I s t n i e n i e c z y n n i k a w t r a n s m i t a n c j i G 0 ( z ) o z n a c z a , |e w
z -ð1
u k Ba d z i e w y s t p u j e s u m o w a n i e l u b w o d p o w i e d n i k u c i g By m c a Bk o w a n i e . U k Ba d r e g u l a c j i
i m p u l s o w e j n a z y w a m y s t a t y c z n y m , j e |e l i w o d p o w i e d z i s k o k o w e j w y s t p u j e u c h y b u s t a l o n y
1
( u c h y b s t a t y c z n y ) t z n . t r a n s m i t a n c j a d y s k r e t n a G 0 ( z ) n i e z a w i e r a c z y n n i k a .
z -ð1
U c h y b s t a t y c z n y w y n o s i m o |n a w y z n a c z y z z a l e |n o [c i :
1
e u =ð l i m e [ðn ]ð=ð A 0
( 5 . 2 4 )
n -ð>ð¥ð
1 +ð k 0
G d z i e : A 0 a m p l i t u d a s k o k u w y m u s z e n i a l u b z a k Bó c e n i a
k 0 w s p ó Bc z y n n i k w z m o c n i e n i a s t a t y c z n e g o , o b l i c z o n y j a k o l i m G 0 [ðz ]ð l u b
z -ð>ð1
z t w i e r d z e n i a g r a n i c z n e g o n a p o d s t a w i e t r a n s f o r m a t y E ( z ) .
W u k Ba d a c h r e g u l a c j i i m p u l s o w e j u r z d z e n i a m i r e g u l u j c y m i s r e g u l a t o r y
i m p u l s o w e , b d c e o d p o w i e d n i k a m i r e g u l a t o r ó w c i g By c h P I D . W s p ó Bc z e [n i e r o l r e g u l a t o r a
i m p u l s o w e g o p e Bn i u k Ba d r e g u l a t o r c y f r o w y - k o m p u t e r p r a c u j c y w c z a s i e r z e c z y w i s t y m
( o n - l i n e ) i r e a l i z u j c y p r o g r a m o w o a l g o r y t m r e g u l a c j i .
W a r u n k i e m s t o s o w a n i a t a k i e g o t y p u r e g u l a t o r a j e s t t o , a b y o k r e s p r ó b k o w a n i a b y B
d o s t a t e c z n i e m a By w p o r ó w n a n i u z e s t a By m i c z a s o w y m i o b i e k t u r e g u l a c j i .
5 . 3 . 2 R e a l i z a c j a t e c h n i c z n a r e g u l a t o r ó w i m p u l s o w y c h ( c y f r o w y c h )
O d p o w i e d n i k a m i r e g u l a t o r ó w c i g By c h P , P I , P D , P I D s s t a n d a r d o w e t y p y r e g u l a t o r ó w
i m p u l s o w y c h o t r a n s m i t a n c j a c h z e s t a w i o n y c h w t a b l i c y T a b . 5 . 1 .
T a b e l a 5 . 1 . Z e s t a w i e n i e p o d s t a w o w y c h a l g o r y t m ó w r e g u l a c j i i m p u l s o w e j P I D
T y p
P I P I P D P I D
r e g u l a t o r a
1 0
ìðT d
k p ïð Dðe ( n T p ) +ð e [ n T p ] +ð
íð
T p n
ïð
n îðT p
ìð
ìð
[ði T p ]ð ïð
R ó w n a n i e
åðe k p íðe [ n T p ] +ð T p åðe [ði T p ]ðüð k p ïðe [ n T p ] +ð T d Dðe [ðn T p ]ðüð
k p {ðe ( n T p ) }ð T i i =ð0
ýð íð ýð
T p n
r ó |n i c o w e
T i i =ð0 þð T p þð
ïð ïð
îð +ð [ði T p ]ðüð
îð
ýð
åðe
T i i =ð0 þð
ìð T p z T d z -ð1 üð
ïð
T r a n s m i t a n c j a
T p z T p z ìð
ìð üð
T d z -ð1 üð ïð1 +ð
ïð1 +ð ïð k p íð +ð
ýð
k
d y s k r e t n a k p íð1 +ð
p ýð k p íð ýð T i z -ð1 T p z
ïð ïð
îð þð
T i z -ð1 T i z -ð1 þð T p z
ïð ïð
G [ z ] îð
îð þð
P a r a m e t r y
T i c z a s k p ; T d c z a s
k p w s p .
k p ; T i k p ; T i ; T d
( T p - o k r e s
w z m o c z d r o j e n i a w y p r z e d z e n i a
i m p u l s o w a n i a )
D z i a Ba n i e r e g u l a t o r a D ( r ó |n i c o w a n i e ) m o |n a z r e a l i z o w a t y l k o n a z a s a d z i e r ó |n i c y w s t e c z n e j t z n .
Dðe = e [ n ] - e [ n - 1 ] d l a t e g o t e | w t a b l i c y 5 . 1 z a m i a s t n i e r e a l i z o w a n e g o s k Ba d n i k a z - 1 j e s t s k Ba d n i k
z -ð1
.
z
n n -ð1
D z i a Ba n i e I ( s u m o w a n i e ) r e a l i z o w a n e j a k o , a n i e j a k w p r z y p a d k u i d e a l n y m t z n . w
åðe [ i ] åðe [ i ]
i =ð0 i =ð1
z 1
t r a n s m i t a n c j a c h t a b l i c y 5 . 1 p o j a w i a s i s k Ba d n i k a n i e . N i e j e s t t o o g r a n i c z e n i e w y n i k a j c e
z -ð1 z -ð1
z r e a l i z a c j i t e c h n i c z n e j , z o s t a Bo p r z y j t e z e w z g l d u n a k o r z y s t n e d z i a Ba n i e p r z y s p i e s z e n i a s u m y .
5 . 3 . 3 R e a l i z a c j a t e c h n i c z n a e k s t r a p o l a t o r a
R z e c z y w i s t y e k s t r a p o l a t o r z e r o w e g o r z d u z a p a m i t u j e n a o k r e s T p n i e w a r t o [
y [ n T p ] , l e c z w a r t o [ w c z e [n i e j s z o T p ] . J e |e l i w s z e r e g z t a k i m e k s t r a p o l a t o r e m w Bc z o n y
j e s t k o l e j n y e k s t r a p o l a t o r z a p o [r e d n i c t w e m c z Bo n u b e z i n e r c y j n e g o , t o o t r z y m u j e s i e f e k t
o p ó zn i e n i a o j e d e n o k r e s i m p u l s o w a n i a . T e n s a m e f e k t w y s t p u j e , g d y e k s t r a p o l a t o r
r z e c z y w i s t y p o Bc z o n y j e s t w u k Ba d z i e b e z i n e r c y j n e g o s p r z |e n i a z w r o t n e g o . T r a n s m i t a n c j a
d y s k r e t n a e k s t r a p o l a t o r a i d e a l n e g o z e r o w e g o r z d u j e s t r ó w n a 1 , z a [ r z e c z y w i s t e g o ( w
p o Bc z e n i u z i n n y m e k s t r a p o l a t o r e m l u b z w r o t n i e z s a m y m s o b ) z - 1 .
W p r a k t y c e m o |n a t r a k t o w a c z Bo n y u k Ba d u i m p u l s o w e g o w s p o s ó b i d e a l i z o w a n y .
S z c z e g ó l n i e m a t o m i e j s c e w c y f r o w y m U A R , g d y o k r e s p r ó b k o w a n i a j e s t m a By a o b i e k t m a
w Ba [c i w o [c i f i l t r u j c e w y |s z e c z s t o t l i w o [c i . W t e d y o b i e k t w r a z z e k s t r a p o l a t o r e m t r a k t u j e
p
1 -ðe -ðs T
G o b (ðs )ð=ð G o b (ðs )ð
s i j a k f u n k c j o n a l n c a Bo [ o t r a n s m i t a n c j i c i g Be j .
s
J e d y n y m p r z y p a d k i e m , w k t ó r y m k o n i e c z n e j e s t u w z g l d n i e n i e n i e i d e a l n o [c i e k s t r a p o l a t o r a
j e s t p r z y p a d e k G o b ( s ) = k o b , c z y l i g d y o b i e k t j e s t b e z i n e r c y j n y .
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