plik

��Dr hab. in|. WBadysBaw Artur Wozniak WykBad FIZYKA I 4. Nieinercjalne ukBady odniesienia Dr hab. in|. WBadysBaw Artur Wozniak Instytut Fizyki Politechniki WrocBawskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html Dr hab. in|. WBadysBaw Artur Wozniak INERCJALNE UKAADY ODNIESIENIA �� UkBady inercjalne (inercyjne) - ukBady, do kt�rych odnosi si I zasada dynamiki Newtona: przyspieszenie odosobnionego punktu materialnego r�wne jest 0 gdy nie dziaBa na nie |adna siBa. �� Wniosek: Dwa inercjalne ukBady odniesienia mog si porusza wzgldem siebie tylko ruchem postpowym jednostajnym prostoliniowym (na razie bez dowodu). �� Rozpatrzymy dwa ukBady odniesienia, z kt�rych jeden (x,y,z) uwa|amy za nieruchomy, podczas gdy drugi (x ,y ,z ) porusza si ruchem postpowym z prdko[ci v. ZaBo|enie: W chwili t=0 pocztki obu ukBad�w oraz ich osie si pokrywaj. Dr hab. in|. WBadysBaw Artur Wozniak TRANSFORMACJE GALILEUSZA �� Zwizek midzy poBo|eniem punktu materialnego w obu ukBadach: r� r� r� r =� r'+�ut (w ukBadzie kartezjaDskim: ukBad trzech r�wnaD) S to tzw. transformacje (przeksztaBcenia) Galileusza. t =� t' UzupeBniamy je jeszcze r�wnaniem: �� Zwizki midzy prdko[ciami i przyspieszeniami: r� r� r� r� r� v =� v'+�u a =� a' r� r� Std r�wnie|: F =� F' R�wnania Newtona dla punktu materialnego (i ukBad�w punkt�w materialnych) s jednakowe we wszystkich inercjalnych ukBadach odniesienia s to tzw. niezmienniki przeksztaBcenia Galileusza. �� Mechaniczna zasada wzgldno[ci (zasada wzgldno[ci Galileusza): Jednostajny prostoliniowy ruch ukBadu jako caBo[ci nie ma wpBywu na bieg zachodzcych proces�w mechanicznych. Dr hab. in|. WBadysBaw Artur Wozniak NIEINERCJALNE UKAADY ODNIESIENIA �� Ziemia nie jest ukBadem inercjalnym. Wykonuje ruch obrotowy wok�B swej osi a ponadto obiega SBoDce po elipsie. �� W pewnych przypadkach mo|na zaniedba efekty nieinercjalno[ci ukBadu odniesienia, zwizanego z Ziemi (np. ze wzgldu na du|y okres obiegu wok�B SBoDca, mo|na traktowa ruch Ziemi po orbicie wok�BsBonecznej jako postpowy, jednostajny). �� Istniej jednak zjawiska, kt�re mo|na wytBumaczy tylko wtedy, gdy przestanie si zaniedbywa odstpstwa od inercjalno[ci ukBadu: " obr�t pBaszczyzny wahaD wahadBa (wahadBo Foucault); " odchylanie si na wsch�d ciaB swobodnie spadajcych; " podmywanie jednego z brzeg�w rzek pByncych wzdBu| poBudnik�w; " skrcenie kierunku wiatr�w w ni|ach i wy|ach na obu p�Bkulach. Dr hab. in|. WBadysBaw Artur Wozniak KINEMATYKA RUCHU WZGLDNEGO �� Rozpatrzmy ruch punktu materialnego M wzgldem dw�ch kartezjaDskich ukBad�w wsp�Brzdnych: " x, y, z inercjalny; przyjmiemy, |e jest nieruchomy; ruch ciaBa wzgldem tego ukBadu nazwiemy ruchem bezwzgldnym; " x , y , z nieinercjalny, porusza si dowolnie wzgldem pierwszego ukBadu; ruch ciaBa wzgldem tego ukBadu nazywamy ruchem wzgldnym. �� PoBo|enie punktu M w ukBadzie inercjalnym wyra|one przez poBo|enie w ukBadzie nieinercjalnym: r� r� r� r� � r =� r0 +� r'=� r0 +� x'� '+� y' 5'+�z'k' Dr hab. in|. WBadysBaw Artur Wozniak KINEMATYKA RUCHU WZGLDNEGO �� Prdko[ punktu M wzgldem nieruchomego (inercyjnego) ukBadu wsp�Brzdnych nazywamy prdko[ci bezwzgldn: r� dr dx dy dz r� � v �� =� � +� 5 +� k dt dt dt dt r� r� r� r� r� �� Biorc pod uwag zale|no[ midzy wektorami i : r r ' r =� r0 +� r' mo|emy napisa: r� r� r�' r�' dr dr0 dr dr r� r� v �� =� +� =� v0 +� dt dt dt dt r� gdzie to prdko[ ruchu postpowego ruchomego ukBadu wsp�Brzdnych. v0 Dr hab. in|. WBadysBaw Artur Wozniak KINEMATYKA RUCHU WZGLDNEGO �� UkBad nieinercjalny mo|e si porusza zar�wno z prdko[ci postpow (zmiany w warto[ciach x , y i z ) jak i obrotow (zmiany poBo|enia wersor�w � �', w czasie), wic: i 5',k' � �� dx' dy' dz' d� ' d5' dk'�� r� r� �� v =� v0 +� � '+� 5'+� k'�� +� x' +� y' +� z' �� dt dt dt dt dt dt �� Prdko[ punktu M wzgldem ruchomego ukBadu wsp�Brzdnych prdko[ wzgldna punktu M: dx' dy' dz' r� � vw =� � '+� 5'+� k' dt dt dt �� Ostatni czBon w r�wnaniu, wi|cym prdko[ci w obu ukBadach, jest r�wny: � �� d� ' d5' dk'�� r� r�' �� x' +� y' +� z' =� w� �� r �� dt dt dt �� r� w� gdzie oznacza prdko[ ktow. Dr hab. in|. WBadysBaw Artur Wozniak KINEMATYKA RUCHU WZGLDNEGO �� Mo|emy wic ostatecznie napisa r�wnanie, wi|ce ruch punktu w obu ukBadach jako: r� r� r� r� r� r� r� v =� v0 +�w� �� r'+�vw �� vu +� vw r� vu gdzie nazywana jest prdko[ci unoszenia punktu M wyra|a bowiem prdko[ bezwzgldn tego punktu ukBadu ruchomego, przez kt�ry w danym momencie przechodzi rozpatrywany punkt M. Dr hab. in|. WBadysBaw Artur Wozniak KINEMATYKA RUCHU WZGLDNEGO �� Podobnie jak w przypadku prdko[ci, nale|y znalez zale|no[ci pomidzy przyspieszeniami w obu ukBadach. �� Przyspieszenie bezwzgldne punktu M to przyspieszenie wzgldem r� (nieruchomego) inercjalnego ukBadu odniesienia xyz: dv r� a �� dt �� R�|niczkujc wyra|enie na prdko[, otrzymujemy: r� r� r�' r� dv0 dw� r� dr dvw r�'+�w� �� v� a =� +� �� r +� dt dt dt dt gdzie r� dv0 r� �� a0 - to przyspieszenie ruchu postpowego ukBadu nieinercjalnego; dt r� dw� r� - to przyspieszenie ktowe ruchu obrotowego tego ukBadu. �� e� dt Dr hab. in|. WBadysBaw Artur Wozniak KINEMATYKA RUCHU WZGLDNEGO r�' r� dr r�'+�v r� �� Pamitajc, |e: =� w� �� r w dt r� dvw r� r� r� oraz uwzgldniajc, |e: =� w� �� vw +� aw dt gdzie: r� aw - to przyspieszenie wzgldne punktu M (czyli w ukBadzie x y z ) mo|emy ostatecznie otrzyma: r� r� r� r� r� r� r� r� r� r� a =� a0 +� e� �� r'+�w� ��(�w� �� r')�+� 2w� ��vw +� aw albo inaczej: r� r� r� r� a =� au +� aC +� aw gdzie: r� r� r� r� r� r� r� au =� a0 +� e� �� r'+�w� ��(�w� �� r')� to przyspieszenie unoszenia (analogicznie jak prdko[c); r� r� r� to przyspieszenie Coriolisa aC =� 2w� ��vw Dr hab. in|. WBadysBaw Artur Wozniak KINEMATYKA RUCHU WZGLDNEGO �� W przypadku ukBad�w inercjalnych, mamy: r� r� r� w� =� 0 e� =� 0 a0 =� 0 a wic r�wnie|: r� r� r� r� vu =� v0 au =� 0 aC =� 0 i ostatecznie zwizki midzy wielko[ciami w obu ukBadach upraszczaj si do: r� r� r� r� r� oraz v =� v0 +� vw a =� aw czyli transformacji Galileusza. �� W przypadku, gdy ukBad ruchomy porusza si tylko ruchem postpowym (a wic nie jest inercjalny, ale si nie obraca!), mamy: r� r� r� r� dvw r� r� r� r� oraz a =� a0 +� aw =� a0 +� v =� v0 +� vw dt Dr hab. in|. WBadysBaw Artur Wozniak DYNAMIKA RUCHU WZGLDNEGO �� Zasady Newtona nie speBniaj si w nieinercjalnych ukBadach odniesienia! Przyspieszenie punktu materialnego wzgldem nieinercjalnego ukBadu odniesienia nie jest bowiem r�wne stosunkowi wypadkowej wszystkich siB, jakimi inne ciaBa dziaBaj na ten punkt, do masy tego punktu: r� F r� aw �� m Zasady Newtona speBnione s bowiem dla przyspieszenia w ukBadzie inercjalnym: r� F r� a =� m Dr hab. in|. WBadysBaw Artur Wozniak DYNAMIKA RUCHU WZGLDNEGO �� Wyrazmy przyspieszenie wzgldne w ukBadzie nieinercjalnym poprzez przyspieszenie bezwzgldne oraz przyspieszenie unoszenia i Coriolisa: r� r� r� r� aw =� a -� au -� aC �� Mo|emy sformuBowa poprawnie II zasad dynamiki Newtona jako: r� r� r� r� maw =� F +� Fu +� FC gdzie: r� r� Fu =� -�mau - to siBa bezwBadno[ci unoszenia; r� r� FC =� -�maC - to siBa bezwBadno[ci Coriolisa. Dr hab. in|. WBadysBaw Artur Wozniak DYNAMIKA RUCHU WZGLDNEGO �� SiBy bezwBadno[ci rzeczywi[cie dziaBaj na punkt materialny w ukBadzie nieinercjalnym; �� Mo|na je mierzy (np. wag spr|ynow); �� Ale nie spos�b zwiza ich z |adnymi ciaBami, od kt�rych mogByby pochodzi! �� Dlatego nie mo|na do nich stosowa III zasady dynamiki Newtona. �� SiBy bezwBadno[ci s wic dla ka|dego ciaBa ukBadu siBami zewntrznymi. Dlatego: W nieinercjalnych ukBadach odniesienia nie maj zastosowania zasady zachowania pdu, momentu pdu i energii. Dr hab. in|. WBadysBaw Artur Wozniak NIEZWYKLE WA{NE 2-2=4 Dr hab. in|. WBadysBaw Artur Wozniak SIAY BEZWAADNOZCI ��Przypadek I: r� UkBad porusza si ruchem postpowym z przyspieszeniem a0 �� 0 W tym przypadku: r� r� au =� a0 przyspieszenie unoszenia: r� przyspieszenie Coriolisa: aC =� 0 Na ciaBo dziaBa wic tylko: r� r� - siBa bezwBadno[ci unoszenia: Fu =� -�ma0 PrzykBad: winda wznoszca si lub opadajca ruchem jednostajnie przyspieszonym w kierunku pionowym (nie uwzgldniamy ruchu obrotowego Ziemi). Zawiesimy w niej ciaBo o masie m na dynamometrze (wadze spr|ynowej). Dr hab. in|. WBadysBaw Artur Wozniak SIAY BEZWAADNOZCI r� a0 r� T r� r� g R r� ��Obserwator nieruchomy: P s� r� P =� mg - Na ciaBo dziaBaj dwie siBy przeciwnie skierowane: ci|ar ciaBa oraz reakcja r� r� a0 dynamometru . Wypadkowa tych siB nadaje ciaBu przyspieszenie . Z II zasady R dynamiki: r� r� r� ma0 =� mg +� R A siBa, kt�ra dziaBa na dynamometr (i kt�r on wobec tego wska|e): r� r� r� r� T =� -�R =� m(�g -� a0)� r� P r� r� Je[li uwolnimy ciaBo, bdzie si ono porusza pod dziaBaniem a =� =� g wBasnego ci|aru, czyli spada swobodnie z przyspieszeniem: m Dr hab. in|. WBadysBaw Artur Wozniak SIAY BEZWAADNOZCI r� a0 r� T r� r� r� Fu g R �� Obserwator ruchomy (w windzie): r� P r� r� r� ciaBo jest nieruchome, wic dziaBajce na niego siBy si r�wnowa| P +� R +� Fu =� 0 r� gdzie: jest siB bezwBadno[ci (unoszenia), kt�rej istnienie obserwator czuje wszak r�wnie| na Fu sobie! r� r� r� mg +� R -� ma0 =� 0 Biorc pod uwag kierunki tych siB i ich warto[ci: r� r� r� r� T =� -�R =� m(�g -� a0)� a std, jak poprzednio, siBa, kt�ra dziaBa na dynamometr: r� r� P F u Je[li uwolnimy ciaBo, bdzie si ono porusza pod dziaBaniem dw�ch siB: oraz i uzyska r� r� przyspieszenie: r� P +� Fu r� r� aw =� =� g -� a0 m Dr hab. in|. WBadysBaw Artur Wozniak SIAY BEZWAADNOZCI ��Przypadek II: r� UkBad obraca si jednostajnie z r�prdko[ci ktow w�0 i porusza si ruchem jednostajnym ze staB prdko[ci . v0 W tym przypadku: r� r� r� r� au =� w� ��(�w� �� r')� przyspieszenie unoszenia: r� r� r� aC =� 2w� ��vw przyspieszenie Coriolisa: Na ciaBo dziaBaj wic nastpujce siBy bezwBadno[ci: r� r� r� r� r� - siBa bezwBadno[ci unoszenia: Fu =� -�mau =� -�mw� ��(�w� �� r')� F =� mw�2r� liczbowo r�wna: i skierowana od osi obrotu na zewntrz nazywana siB od[rodkow bezwBadno[ci; r� r� r� - siBa bezwBadno[ci Coriolisa: FC =� 2m(�w� ��vw)� r� r� skierowana prostopadle do pBaszczyzny, wyznaczonej przez w� i . vw Dr hab. in|. WBadysBaw Artur Wozniak SIAY BEZWAADNOZCI �� SiBa od[rodkowa bezwBadno[ci zwizana jest z obrotem poruszajcego si ukBadu. �� PrzykBady zastosowaD: - pompy od[rodkowe; - separatory (np. centryfuga w analizie medycznej); - od[rodkowy regulator Watta; �� Ale te| konieczno[ r�wnowa|enia siB od[rodkowych przy projektowaniu szybko wirujcych (i o du|ych masach, a [ci[lej: du|ych momentach bezwBadno[ci!) cz[ci maszyn. �� SiBa od[rodkowa bezwBadno[ci mo|e te| stanowi namiastk siBy grawitacyjnego przycigania Ziemi w statkach (stacjach) kosmicznych. Dr hab. in|. WBadysBaw Artur Wozniak SIAY BEZWAADNOZCI �� SiBa Coriolisa zwizana jest z ruchem postpowym ciaB w ukBadzie obracajcym si. �� PrzykBad: Ziemia jako obracajcy si, nieinercjalny ukBad odniesienia (ruch dobowy, z zachodu na wsch�d, z okresem 24 godziny). N r� w� Swobodny spadek ciaBa z wie|y: nastpuje odchylenie miejsca upadku wzgldem pionu, wyznaczonego przez siBy grawitacji, o pewn W E wielko[ D�, najwiksz na r�wniku, zerow r� na biegunie. vw h S r� FC Dr hab. in|. WBadysBaw Artur Wozniak SIAY BEZWAADNOZCI �� Obserwator nieruchomy (inercjalny): r� SiBa przycigania ziemskiego nadaje ciaBu przyspieszenie, skierowane do P r� [rodka Ziemi. Jest ona prostopadBa do prdko[ci pocztkowej ciaBa (w ruchu v1 obrotowym), wic nie zmienia warto[ci tej prdko[ci. Tymczasem podstawa wie|y r� ma mniejsz prdko[ liniow (bo ma t sam prdko[ ktow): v0 v1 -� v0 =� w�(�R +� h)�-�w�R =� w�h E r� r� i dlatego ciaBo spadnie na Ziemi na v0 v1 wsch�d od wierzchoBka wie|y. D� r� P W Dr hab. in|. WBadysBaw Artur Wozniak SIAY BEZWAADNOZCI ��Obserwator ruchomy (nieinercjalny): r� r� P Fu Na ciaBo dziaBaj siBy: przycigania ziemskiego , siBa od[rodkowa i siBa r� r� r� r� FC P FC Coriolisa . SiBy iFu powodowaByby pionowe spadanie, ale siBa Coriolisa , prostopadBa do kierunku prdko[ci pocztkowej spadania, powoduje ruch ciaBa po paraboli i przesunicie punktu upadku na wsch�d. E r� v FC r� r� P Fu W Dr hab. in|. WBadysBaw Artur Wozniak SIAY BEZWAADNOZCI �� PodobieDstwo istniejce pomidzy siBami bezwBadno[ci i siBami grawitacyjnymi: obie s proporcjonalne do mas punkt�w materialnych i nadaj im jednakowe przyspieszenie wzgldne. Wobec tego dziaBanie siB bezwBadno[ci na punkt materialny mo|na zastpi dziaBaniem r�wnowa|nego im pola ci|enia! Dr hab. in|. WBadysBaw Artur Wozniak SIAY BEZWAADNOZCI �� Zasada r�wnowa|no[ci ruchu: Ruch ciaBa wzgldem nieinercjalnego ukBadu odniesienia jest r�wnowa|ny jego ruchowi wzgldem ukBadu inercyjnego. Ten ruch zachodzi pod wpBywem wszystkich ciaB rzeczywi[cie wsp�BdziaBajcych z danym ciaBem a tak|e pod wpBywem jakiego[ dopeBniajcego pola ci|enia. Nie jest to stwierdzenie identyczno[ci siB bezwBadno[ci i grawitacyjnych! (Zmiany pola r�wnowa|nego powinny rozchodzi si w przestrzeni z prdko[ci nieskoDczenie wielk).

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
pawlikowski, fizyka, inercjalne i nieinercjalne układy odniesienia
04 Modele Ziemi, systemy i układy odniesienia
05Nieinercjalne uklady odniesienia, sily bezwladnosci
RUCH PUNKTU MATERIALNEGO W NIEINERCYJNYCH UKŁADACH ODNIESIENIA R2
04 Astronomiczne układy odniesienia
zadania zestaw 5 dynamika uklady nieinercjalne
FW5 układy nieinercjalne 09
Mudry energetyczne układy dłoni(1)
uklady rownan (1)
PRZERZUTNIKI I UKŁADY SEKWENCYJNE
Układy napęd lista1 3 3 8 15
15 Język Instruction List Układy sekwencyjne Działania na liczbach materiały wykładowe
układy zasilania instalacji
Człowiek jako całość Układy funkcjonalne
Uklady prostownicze

więcej podobnych podstron