55114

gdzie

K* = mat l/^WI

*₀i*S*.

Przykład:

Mając dane węzły O, 1. 3. 8 wraz z wartościami 2, 6, -1, 8 obliczamy wielomian interpolacyjny: y (*-!)(*-:<)(*-8) ₆(*-0)(a-3Xx-8) ,

■    (0-l)(0-35(0-S)    (1 - 0)(1 - 3)(1 - 8)

^x-\Xx-Q)(x-B) _|2(a-1)(x-3)(x-Q)_

(3 -1)<3 - 0)(3 - 8)    (8 - 1)C8 - 3)(8 - 0)

57 ₅ 289 ₂ 1081    .

= —-x ~-—-x +—— x+ 2 140    70    140

Błąd metody Lagrange'a obliczamy za pomocą wzorów:

(« + !)!

W interpolacji Lagrange'a funkcjami bazowymi są jednomiany x‘, wielomian interpolacyjny jest wielomianem algebraicznym. Zamiast rozwiązywać powyższy układ równań stosuje się tzw. wielomian interpolacyjny Lagrange'a. Pozwala on na wyznaczenie małym nakładem pracy wyznaczyć wartości tego wielomiamu (bez znajomości jego współczynników) w dowolnym punkcie przedziału <a,b>. W praktyce przedział ten stanowią wartości <Xo,x„>. Wielomian Lagrange'a ma następującą postać:

Xi- X,

L»(x) = £ y, n

hi r<

(x-x;)(x-x,)...(x-x.)    ,

L..(x) - y^,(x,-x₂)(x₁-x₃).-(x,-x_r) ⁺

(x-x,)(x-x₂)...(x-x_n.₁)

(x,-x,Xx_ft-x₂)...(x.-x_n.,)

(x-x,Xx-x,)...(x-x„) . y^j (x₃-x,)(xj-x_})—(xj-x.) ⁺ "• Y'

Zalety:    - Przydatna w obliczeniach ręcznych

Wady:    - Nie posiada istotnych wad

2