23431

Znaleźć wielomian interpolacyjny mając dane węzły

(-1,-4), (0,-1), (1,0), (2,5)

Skorzystamy z metody wykorzystującej tzw. ilorazy różnicowe.

Ilorazem różnicowym rzędu zerowego opartym na węźle (a:,,/,) nazywamy liczbę /, Ilorazem różnicowym rzędu k opartym na węzłach (x,₀, f_io),..., (x_ik. f_lk) nazywamy liczbę

f• 1 *2—*Jk    /»«

Wówczas w ogólnym przypadku mając zadane węzły (#*, fi), i = 0_____ n wielomian

interpolacyjny w(x) ma postać Newtona

ttf(x) = /o + foi(x - Xo) + /oi2(x - X₀)(x - *i) + . . . + /oi...n(x - X₀) . . . (x - X_n_i)

W naszym przypadku mamy n = 3 oraz

Xo = -1, X\ =0, X2 = 1, X3 = 2 /o = —4, /, = -!. /₂ = 0, /₃ = 5

Obliczmy najpierw współczynniki /₀i, /i2< /w- /oi2« /123. /0123

_{/oi =} A^ii ₌ 3

X| — Xo

/012 =

/l2 ~ /oi

X₂ ^— X₀

X₂ — Xj 1

_r    h~ f2    _r

/23 = - = 5

x₃-x₂

/o123 —

123

/oi2

= 1

X₃-X₀

Wobec tego szukany wielomian interpolacyjny w(x) ma postać

w(x) = -4 + 3(x + 1) - x(x + 1) + x(x + l)(x - 1) = x³ - x² +x - 1