82158

str 2

W3

TWIERDZENIE. Zadanie interpolacyjne I-agrangc'a na jednoznaczne rozwiązanie.

Wielomian interpolacyjny I_x można przedstawić w postaci

n

L„(x) * £ aj d>j(x),

j = 0

gdzie układ funkcji 6q. Ój. ..., ó_n stanowi bazę przestrzeni W_n (przestrzeni wielomianów stopnia nie wyższego niż n).

Rozpatrzymy

(a)    bazę naturalną: 1, x, x²,, x ⁿ

H

^pjw= y\    .....ⁿ

k = 0

(b)    bazę wielomianów Newtona : po(x) = 1,

W przypadku (a) mamy do czynienia z postacią naturalną wielomianu interpolacyjnego

n

Ln(x) * aj-^

j = 0

W przypadku (b) współczynniki

ao = y₀ oraz aj = j , j = 1,... są ilorazami różnicowymi określonymi poniżej.

Wyrażenia

, _yi-yo    „    _ yn-yn-1

fo.l*....... fn-l.n*-

xj-xo    x_n-x_n_i

nazywamy ilorazami różnicowymi 1 -go rządu. Analogicznie definiujemy ilorazy różnicowe 2-go rządu

^f0,l,2

^fl_t2-fQ,l

X2-xo

fn-2,n-l,n ^a

fn-1 ,n ~ f"n-2 ,n-l x_n ^{- x}n-2

Ogólnie iloraz różnicowy rzędu k tworzymy z ilorazów różnicowych rzędu k-1 za pomocą wzoru rckurcncyjncgo

fi,i+l......i+k *

fj+1,i+k~ fj......kk-1

Xi+k-Xi

Wobec tego

Ln(x) - yo ⁺ f 0.1 Pl(x) + f 0.1.2 P2(x) + .... + f 0.1.....a Pn(x)

Jest to tzw. postać Newtona wielomianu interpolacyjnego.