82309

Definicja 1.1 (Zawieranie zbiorów)

A C B {Vae A)ae B

Definicja 1.2 (Suma. przekrój, różnica zbiorów)

AuB = {x G X : (x G A) V(ar G U)} AnB = {x e X : {x e A) a(x e B)} A\B =    : (*€.4)A(:r ££)}

Różnicę X \A, czyli zbiór punktów przestrzeni X , które nie należą do zbioru A, nazywa się uzupełnieniem zbioru A.

Definicja 1.3 (Suma i przekrój dowolnej rodziny zbiorów)

U = {*ex : (3neA)xeX_a}

n Xa = {xex : (Voe^)xex₀}

q€<4

Definicja 1.4 (Iloczyn kartezjański skończonej liczby zbiorów)

X\ x Xi x ... x X„ — { (si, X2, ... , Xn) : X\ e Xi, X2 € x₂ > ... X„ € X_n }

1.2    Zbiory liczb

Oznaczenia:

«V zbiór liczb naturalnych:    Z zbiór liczb całkowitych;

Q zbiór liczb wymiernych;    71 zbiór liczb rzeczywistych;

C zbiór liczb zespolonych.

Twierdzenie 1.1 Jeśli a . b £ 71 i a < b. to istnieją liczby q (ż Q oraz r (ż 71 \Q takie, że a < q < b oraz a < r < b.

1.3    Kresy zbioru liczbowego

Definicja 1.5 (Zbiory ograniczone) Zbiór A C Tl nazywa się:

1.    ograniczonym z góry. jeśli (3e G 71) (Va G A) a < v każdą taką liczbę v nazywa się ograniczeniem górnym zbioru A;

2.    ograniczonym z dołu. jeśli (3u G Tl) (Va G A) a > v każdą taką liczbę v nazywa się ograniczeniem dolnym zbioru A ;

3.    ograniczonym, jeśli jest ograniczony z góry i ograniczony z dołu.

Zbiór A C Tl jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, jeśli Istnieje przedział [u, v] taki, że A C [ti _t v].

2