91144

Warunki pcriodyczności Borna-Karmana:

Aby opisać kryształ o skończonej liczbie N atomów, musimy atomowi o indeksie N + 1 przypisać numer 1. Można sobie wyobrazić, że gdy mamy jednowymiarowy kryształ, zamykamy go w „kryształ cykliczny”:

(nie sposób sobie wyobrazić analogicznej operacji na krysztale 3-wymiarowym, ale dokonujemy tego w rachunkach)

Funkcja Blocha musi zatem spełniać warunek:

<?'^Mxt'^Vl )u_k (jc + N,a,) = e^ik'^xu_k (jt) e'^k'^N'“' =1_ gdy k_xN,a, = 2jcn_t,

, (gdy rozpatrujemy jeden kierunek, np. jr)

/?, = 1, 2, 3,N_x

Wynika stąd, że wektor falowy musi być równy:

k = —A _K1

a, N_t

Analogicznie dla pozostałych kierunków:

k. = ^A

a₂ N,

Wszystkich atomów mamy N =    • N₂ ■ N₃

2/r    2/r    2 Jt

Objętość komórki elementarnej: V₄ =-----=

a_tN_t a₂N₂ a_}N_}

IV

Gęstosc stanów w przestrzeni kryształu: p(k) = — = —-

...    VI

Gdy uwzględnimy spin. gęstosc stanów wzrośnie dwukrotnie: p(k) = —- —> —-

4 n 4/r

a, N,

o_3

= L, • L₂ • Ly = —, gdzie V - objętość kryształu

jeśli przyjmiemy jednostkową objętość