98024

Przykład:

Ae"“** dlax^0, 0 < 0,

Dla rozkładu wykładniczego z parametrem a. >0: /(.t) =

Po logarytmowaniu otrzymamy:

lnL = ln A" - A(.r, + x₂ +... + x_w)

zaś po różniczkowaniu, otrzymuje się równanie:

Metoda najmniejszych kwadratów

Niech X_l>X₂,..._yX_tl stanowi ciąg zmieimych losowych, których zaobserwowane wartości w próbie stanowią ciąg .x,,.,x„. Rozkład zmieiuiych losowych X, niech zależy od nieznanych parametrów 0_x>0_2>...,0_k, których wartości należy oszacować. Niech zależność funkcyjna zmiennej losowej X, względem parametrów' 0_xy0₂,...,0_k będzie znana i może być zapisana w fonnie funkcji:

X = g,(0_x,0_2t...,0_k)

przy czym postać funkcji g powinna być liniowa lub za pomocą różniczki zupełnej powinna być doprowadzona do formy liniowej. Parametry 0_f oraz kształt funkcji g zależą od specyfiki rozpatrywanego zagadnienia.

Metoda najmniejszych kwadratów polega na takim dobraniu ocen par ametrów 0_}, aby odchyłki (oceny) Sj dla zmiennej losowej X, spełniały warunek:

F = 2>,    A)]² = £(4)^{2 =min}

(2.1)

Minimum funkcji powyższej zachodzi dla takich war tości 0_}, dla których wszystkie pochodne cząstkowe będą równe zem, czyli:

(2.2)

Warunek powyższy, dla tego typu funkcji, stanowi również warunek dostateczny do istnienia minimum funkcji F.