3360446522

Część I Zadania

1.1.8.    Wiadomo, że 14|784. Czy 7|784? A czy 7|817?

1.1.9.    Zgadnij, czy 14|790, a następnie sprawdź swoją odpowiedź biorąc pod uwagę poprzednie zadanie.

1.1.10.    Wiadomo, że 56|2576 . Jaka jest następna (po 2576) liczba podzielna przez 56?

1.1.11.    Wiemy, że 7|315 . Wypisz wszystkie liczby większe od 290 i mniejsze od 340, które są podzielne przez 7.

1.1.12.    Załóżmy, że m|a + 6. Czy oznacza to, że m|a i m\b? A może oznacza to, że m|a lub m\b ?

1.1.13.    Załóżmy, że m\a + b oraz m\a — b. Czy wtedy m|a i m|6? Jeżeli nie, to czy potrafisz sformułować dodatkowe założenia o m tak, by następujące zdanie było prawdziwe.

Jeśli m\a + 5 i m\a — b , to m\a i m\b .

1.1.14.    Pokaż, że jeśli m|a oraz n|m, to n\a.

1.1.15. Pokaż, że jeżeli m|a i a ^ 0, to |m| < |a| .

1.1.16. Pokaż, że jeżeli m|a i a|m, to m = a lub m = —a.

1.2. Zasada indukcji matematycznej. Podczas nauki matematyki w szkole średniej często korzystaliśmy z tak zwanej zasady indukcji matematycznej (ZIM). Przypomnijmy sformułowanie tej zasady:

Niech T(n) będzie zdaniem dotyczącym liczby naturalnej n. Jeżeli 1° T(rao) jest zdaniem prawdziwym, gdzie mo jest pewną liczbą należącą do No ;

2° z prawdziwości zdania T(k) (gdzie k eN₀ , k > mo ) wynika prawdziwość zdania T(k + 1) ; to zdanie T(n) jest prawdziwe dla każdego n > mo .

Przez No oznaczyliśmy tu zbiór liczb całkowitych nieujem-nych, czyli zbiór {0,1,2,...} . Podobnie, przez N_m oznaczymy zbiór wszystkich liczb całkowitych większych lub równych m, tj. zbiór