3360446544

Materiały dydaktyczne - Matematyka Dyskretna (Zestaw 2)

Matematyka Dyskretna

Zestaw 2

1.    Wykazać, że nie istnieje liczba naturalna, która przy dzieleniu przez 18 daje resztę 13, a przy dzieleniu przez 21 daje resztę 2.

2.    Dla jakich liczb naturalnych n liczba n³ — 7n² — 5n + 10 jest podzielna przez liczbę:

a) n + 2, b) n — 7.

3.    Jaka najmniejsza liczba naturalna ma dokładnie k dzielników dla 1 < k < 10?

4.    Liczby 1111111, 2222222 zapisane w systemie dziesiętnym przedstawić w systemach o podstawach 2, 3, 8, 16, a liczby (1234567)8, (123456789^45)i6 zapisz w systemie dziesiętnym.

5. Liczby 66, 77, 88 przedstaw w postaci aa + a\ ■ 3 + 02 ■ 3² H-----■ 3^fc, gdzie a* G {—1, 0, 1}.

Udowodnić, że każdą liczbę naturalną można przedstawić w takiej postaci.

6.    Dysponujemy wagą szalkową i pięcioma odważnikami o całkowitych wagach. Jakie wagi mają te odważniki, jeśli z ich pomocą na tej wadze można zważyć przedmioty o dowolnej całkowitej wadze od 1 do 121 (odważniki można kłaść na dowolną szalkę).

7.    Udowodnić, że dla dowolnej liczby naturalnej b > 1, jeśli (111... ll)j, jest liczbą pierwszą, to liczba jedynek w tym zapisie jest liczbą pierwszą.

8.    Liczby 10, 200, 3000 przedstawić w postaci a\ ■ 1! -I- 02 ■ 2! 4- <23 • 3! + ■ • ■ + a_n ■ n\, gdzie 0 ^ ai ^ i. Udowodnić, że każdą liczbę naturalną można w tej postaci przedstawić.

9.    Pokazać, że jeśli każda z liczb naturalnych a, b, c, d dzieli się przez ab — cd, to|a& — cd\ = 1.

10.    Liczby x, y G Z są takie, że 6x + 13y dzieli się przez 35. Wykazać, że liczba x + 8y też dzieli się przez 35.

11.    Wykazać, że dla żadnej liczby całkowitej n liczba n² + 5n +1 nie jest podzielna przez 49.

12.    Wykazać, że równanie

x² + 95x3/ + 2000y² = 2005 nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych x, y.

13.    Wyznaczyć wszystkie trójki liczb pierwszych, których iloczyn jest pięciokrotnie większy od ich sumy.

14.    Rozwiązać równanie p² — 2ą² = 1, jeśli wiadomo, że p i <7 są liczbami pierwszymi.

1