3360446546

Materiały dydaktyczne - Matematyka Dyskretna (Zestaw 2)

i wobec tego

a = (—ao) + (—ai) • 3 + (—02) • 3² + • • • + (—a_ra_i)3^{n 1} + 3ⁿ

Na koniec, jeśli a € ^3", ³'‘⁺2'~¹ j, to a — 3" < ³'¹⁺2'~¹ — 3ⁿ = ³"^~^ł, czyli znowu na mocy założenia indukcyjnego

a — 3" = ao + ai • 3 + 02 • 3² H-----h a_n_j3"^-1, gdzie a* G —1,0,1

lub inaczej

a = ao ■+■ fli ■ 3 + 0,2 • 3² + ■ • • + o_ra_i3ⁿ ^ + 3ⁿ.

To kończy dowód kroku indukcyjnego, zatem stwierdzenie jest prawdziwe dla dowolnej liczby naturalnej k.

7. Niech a = (111... ll)t i przypuśćmy, że n = mk gdzie 1 < m,k < n. Wówczas

_a = l + b + b² + --- + b^km~^l = (1 + 6 + 6² -I-----1- £>^m_1)+

+b^m(l + b² + ■ • • +

+i»^2m(l + b + b² + ■ ■ ■ + b^m~¹)+

+ • • • +

+6<^fc-¹>”'(l + b + b² + ■ ■ ■ + 6”"¹)

= (1 + b + 6² + • ■ ■ + 6^m“¹)(l + ii™ + b^2m + ■ ■ ■ +

Zatem a = bc, gdzie b = 11 — h + h¹ -----+- 6^m_1) i c = (1 + b"¹ + b^2m +----1    czyli a nie

jest liczbą pierwszą, wbrew założeniu. Stąd przypuszczenie, sformułowane na początku dowodu, jest fałszywe.

8. Na początek wypiszmy kilka kolejnych wartości postaci ak ■ k\, gdzie o* G {1,2,..., k}

1, 2! = 2,

2 • 4! = 48,    3 • 3! = 72,

5 • 5! = 600,    6! = 720,

2 • 2! = 4,    3! = 6,

4 • 4! = 96,    5! = 120

2 • 6! = 1440, 3 ■ 6! = 2160,

2 - 3! = 12, 2 • 5! = 240, 4 ■ 6! = 2880,

3 • 3! = 18, 3 ■ 5! = 360, 5 • 6! = 3600

4! = 24,

4 • 5! = 480,

Zauważmy teraz, ż

3000 - 4 • 6! = 120 = 5!

Stąd

3000 = 0 • 1! + 0 • 2! + 0 • 3! + 0 • 4! + 1 • 5! + 4 • 6!.

Podobnie

200 - 5! = 200 - 120 = 80, 80 - 3 • 4! = 80 - 72 = 8, 8 - 3! = 2 = 2!

Zatem

2! + 3! + 3 • 4! + 5! = 200.

Przejdźmy teraz do dowodu tego, że każdą liczbę mniejszą od (m + 1)! można przedstawić w postaci

ai • 1! + a2 • 2! + d3 • 3! + • • • + a_m_i • (m — 1)! + a_m • m!.

Sprawdzenie dla małych liczb zostawiam czytelnikowi. Załóżmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich liczb mniejszych od n i dowodzimy jego prawdziwość dla n. Niech m będzie najmniejszą

3