3784494690

więc liczby 2xy i 2x²y² są całkowite. Gdyby liczba xy nie była całkowita, to liczba 2xy musiałaby być nieparzystą. Jednak wtedy liczba 2x²y² = (2xy)²/2 nie byłaby całkowita. Stąd wniosek, że liczba xy jest całkowita.

Tezę dowodzimy indukcyjnie. Dla n= 1 i n = 2 liczba xⁿ + yⁿ jest całkowita. Korzystając z tożsamości

xⁿ+yⁿ = {xⁿ~¹ + yⁿ~¹)(x + y) - xy{xⁿ~² + yⁿ~²) widzimy, że jeżeli n > 3 jest taką liczbą całkowitą dodatnią, że obie liczby xⁿ~² + yⁿ~² oraz xⁿ~^l +yⁿ~^l są całkowite, to liczba xⁿ + yⁿ jest również całkowita. Dowód indukcyjny jest więc zakończony.

Uwaga

Założenie, że liczba x³ + y³ jest całkowita, nie było w dowodzie wykorzystywane. Natomiast założenia, że liczba x^Ą + y^Ą jest całkowita, pominąć nie można. Pokazuje to przykład liczb x= \f2j2 oraz y = — v/2/2, dla których x+y = 0, x² + y² = 1, x³ + y³ = 0,

lecz x^A+y^A =

Zadanie 5. Znaleźć wszystkie pary liczb całkowitych dodatnich x, y spełniające równanie y^x = x⁵⁰.

Rozwiązanie

Dane równanie zapisujemy w postaci y = x³⁰'^x. Ponieważ dla każdego x, będącego dzielnikiem liczby 50, liczba po prawej stronie jest całkowita, więc otrzymujemy rozwiązania równania dla xE {1,2,5,10,25,50}. Inne rozwiązania tego równania otrzymamy tylko wtedy, gdy x > 2 oraz dla pewnego k > 2 liczba x jest jednocześnie k-tą potęgą pewnej liczby naturalnej oraz dzielnikiem liczby 50k. Jeśli p jest dzielnikiem pierwszym takiej liczby x, to p^k\50k. Ponieważ zachodzi nierówność p^k > k, więc nie może być p^k | k. Stąd liczba p jest równa 2 lub 5. Jeżeli p = 2, to 2^k\2k, skąd k = 2. Jeżeli zaś p = 5, to 5^fc 125k, skąd znowu k = 2. Zatem liczba x musi być jednocześnie kwadratem pewnej liczby naturalnej oraz dzielnikiem liczby 100. Otrzymujemy dwie nowe wartości x w tym przypadku: x = 4 oraz x = 100. Zatem dane równanie ma 8 rozwiązań (x,y):

(1,1), (2,2²⁵), (4,2²⁵), (5,5¹⁰), (10,10⁵), (25,625), (50,50), (100,10).

Zadanie 6. Przekątne AC i BD czworokąta wypukłego ABCD przecinają się w punkcie P. Punkt M jest środkiem boku AB. Prosta MP przecina bok CD w punkcie Q. Dowieść, że stosunek pól trójkątów BCP i ADP jest równy stosunkowi długości odcinków CQ i DQ.

Rozwiązanie

Oznaczmy przez [XYZ] pole trójkąta XYZ.

37