4461062253

PAWEŁ GŁADKI 3. Problemy podziału liczby na sumę składników pierwszych

Nietrudno sprawdzić dla małych liczb, że każda większa lub równa od 4 liczba parzysta jest sumą dwóch nieparzystych liczb pierwszych. Mamy na przykład:

6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 3 + 7 = 5 + 5, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 11 + 3 Trochę trudniej jest już dla liczby 100:

100 = 3 + 97 = 11 + 89 = 17 + 83 = 29 + 71 = 41 + 59 = 47 + 53 Cierpliwi mogą sprawdzić, że liczba 1000 ma 28 takich rozkładów, a rekordzistką wśród liczb mniejszych od 1000 jest liczba 990, mająca aż 52 rozkłady.

Problem 5. HIPOTEZA GOLDBACHA Czy parzysta liczba większa lub równa od Ą zawsze jest sumą dwóch liczb pierwszych?

Rozwiązanie: Nieznane.

Problem ten został postawiony przez Goldbacha w 1742 roku i do dzisiaj -pomimo usilnych starań - pozostaje nierozstrzygnięty, chociaż przy użyciu komputerów wielkiej mocy został potwierdzony już w bardzo wielu przypadkach. Hipoteza Goldbacha została zaliczona do jednego z siedmiu problemów milenijnych, za których rozwiązanie przewidziana jest nagroda wysokości miliona dolarów. Z problemem tym związać można inne zagadnienie:

Problem 6. POSTULAT BERTRANDA Pomiędzy liczbami n i 2n istnieje liczba pierwsza.

Zauważmy, że z hipotezy Goldbacha wynika łatwo postulat Bertranda. Niech bowiem n będzie liczbą naturalną. Wówczas 2n + 2geqA, a zatem 2n + 2 = p + q, gdzie p i q są liczbami pierwszymi nieparzystymi. Możemy przyjąć, że ę > p > 3. Wobec tego 2 n> q oraz 2n + 2 < 2q, a stąd q leży między n a 2n.

Postulat Bertranda można jednak udowodnić niezależnie od hipotezy Goldbacha. Postaramy się tutaj naszkicować dowód.

Niech 7r(n) oznacza liczbę liczb pierwszych nie większych od n. Funkcję taką zdefiniował Gauss. Na swoje 15 urodziny dostał w prezencie tablice matematyczne, w których znajdowały się między innymi tablice liczb pierwszych. Przeglądając je, Gauss zbudował następującą tabelkę:

n	7r(n)	7r(n)	^A*)
10	4	2,5	2,5
100	25	4,0	1,5
1000	168	6,0	2,0
10000	1229	8,1	2,1
100000	9592	10,4	2,3
1000000	78498	12,7	2,3
10000000	664579	15,0	2,3
100000000	5761455	17,4	2,4
1000000000	50827534	19,7	2,3
10000000000	455052512	22,0	2,3

Widzimy więc, że jeśli n wzrasta o 10, to y4^y wzrasta mniej więcej o 2,3. Cóż to za tajemnicza liczba, 2,3? Okazuje się, że ln 10 « 2,3. Na podstawie tego spostrzeżenia Gauss wysnuł przypuszczenie, że « Inn. Jego hipoteza potwierdziła się po kilkudziesięciu latach. W roku 1850 Czebyszew udowodnił następujące twierdzenie: