5125071401

1.3. Ćwiczenia - Plany spłaty długów: metoda amortyzacji 11

CFi - przepływ gotówki na koniec i-tego okresu, i = 1,2,... n,

Ti - rata kapitałowa na koniec i-tego okresu, i = 1,2,... n,

Si - stan zadłużenia w i-tym okresie, i = 1,2,... n + 1, 5i = K, S_n+i = 0.

Zakładamy, że wszystkie salda Si i stopy r* są nieujemne.

Wysokość odsetek wyznaczona jest przez stan zadłużenia i stopę procentową

Oi = n- Si.

Zazwyczaj zaokrągla się je do dwóch miejsc dziesiętnych czyli dla kredytów denominowanych w złotych, do jednego grosza.

Zmiana stanu zadłużenia zależy od przepływu gotówki i od kwoty odsetek

S_i+1 = Si + Oi - CFi.

Zauważmy, że z warunku nieujemności wynika następujące oszacowanie dla CFi

CFi < Si + Oi.

Ponadto, jeśli zsumujemy powyższe równości po wszystkich i, to otrzymamy, że suma płatności jest równa kwocie kredytu powiększonej o sumę naliczonych odsetek.

t,°Fi = K + 'to_j.

3=1    3=1

Rata kapitałowa stanowi część przepływu gotówki. Gdy wszystkie spłaty CFi wystarczają na pokrycie aktualnych odsetek O i, to

Ti = CFi ~ Oi.

W przeciwnym przypadku, gdy niektóre CFi są mniejsze od Oi, to niespłacone części odsetek są pokrywane z następnych spłat. Ogólnie, wielkość rat opisuje następujący wzór:

Ti = max(0, CFi -Oi-(Si + J2 ^Ti ~ ^K))-j= 1

Sprawdźmy, że zgodnie z nazwą, raty kapitałowe „spłacają” kredyt.

Ćwiczenie 1.1. Pokazać, że suma rat kapitałowych Ti jest równa kwocie kredytu K

Y.T_i=K.

3=1

Rozwiązanie.

Najpierw pokażemy, że suma rat T, nie przewyższa kwoty kredytu, tzn. że dla i = 1,2,..., n

Y.Tj<K.

3=1

Skorzystamy z zasady indukcji matematycznej. Dla i = 1 teza jest oczywista

Ti = max(0, CFi - Oi) = max(0, K - S₂) < K.