ÿþA R K U S Z Z A W I E R A I N F O R M A C J E P R A W N I E C H R O N I O N E
D O M O M E N T U R O Z P O C Z C I A E G Z A M I N U !
M i e j s c e
n a n a k l e j k
M M A - P 1 _ 1 P - 0 8 2
E G Z A M I N M A T U R A L N Y
Z M A T E M A T Y K I
M A J
R O K 2 0 0 8
P O Z I O M P O D S T A W O W Y
C z a s p r a c y 1 2 0 m i n u t
I n s t r u k c j a d l a z d a j c e g o
1 . S p r a w d z, c z y a r k u s z e g z a m i n a c y j n y z a w i e r a 1 9 s t r o n ( z a d a n i a
1 1 2 ) . E w e n t u a l n y b r a k z g Bo [ p r z e w o d n i c z c e m u z e s p o Bu
n a d z o r u j c e g o e g z a m i n .
2 . R o z w i z a n i a z a d a D i o d p o w i e d z i z a m i e [ w m i e j s c u n a t o
p r z e z n a c z o n y m .
3 . W r o z w i z a n i a c h z a d a D p r z e d s t a w t o k r o z u m o w a n i a
p r o w a d z c y d o o s t a t e c z n e g o w y n i k u .
4 . P i s z c z y t e l n i e . U |y w a j d Bu g o p i s u / p i ó r a t y l k o z c z a r n y m
t u s z e m / a t r a m e n t e m .
5 . N i e u |y w a j k o r e k t o r a , a b Bd n e z a p i s y p r z e k r e [l .
6 . P a m i t a j , |e z a p i s y w b r u d n o p i s i e n i e p o d l e g a j o c e n i e .
7 . O b o k k a |d e g o z a d a n i a p o d a n a j e s t m a k s y m a l n a l i c z b a p u n k t ó w ,
k t ó r m o |e s z u z y s k a z a j e g o p o p r a w n e r o z w i z a n i e .
8 . M o |e s z k o r z y s t a z z e s t a w u w z o r ó w m a t e m a t y c z n y c h , c y r k l a Z a r o z w i z a n i e
i l i n i j k i o r a z k a l k u l a t o r a . w s z y s t k i c h z a d a D
9 . N a k a r c i e o d p o w i e d z i w p i s z s w o j d a t u r o d z e n i a i P E S E L . m o |n a o t r z y m a
N i e w p i s u j |a d n y c h z n a k ó w w c z [c i p r z e z n a c z o n e j Bc z n i e
d l a e g z a m i n a t o r a . 5 0 p u n k t ó w
{y c z y m y p o w o d z e n i a !
W y p e Bn i a z d a j c y
p r z e d r o z p o c z c i e m p r a c y
K O D
P E S E L Z D A J C E G O Z D A J C E G O
2 E g z a m i n m a t u r a l n y z m a t e m a t y k i
P o z i o m p o d s t a w o w y
Z a d a n i e 1 . ( 4 p k t )
N a p o n i |s z y m r y s u n k u p r z e d s t a w i o n o Ba m a n A B C D , k t ó r a j e s t w y k r e s e m f u n k c j i y = f x .
( )
y
D
C
3
2
1
3 2 1 0 1 2 3 4
x
1
2
3
4
B
A
K o r z y s t a j c z t e g o w y k r e s u :
a ) z a p i s z w p o s t a c i p r z e d z i a Bu z b i ó r w a r t o [c i f u n k c j i f ,
b ) p o d a j w a r t o [ f u n k c j i f d l a a r g u m e n t u x = 1 - 1 0 ,
c ) w y z n a c z r ó w n a n i e p r o s t e j B C ,
d ) o b l i c z d Bu g o [ o d c i n k a B C .
a ) Z b i ó r w a r t o [c i f u n k c j i f o d c z y t u j z w y k r e s u . J e s t n i m p r z e d z i a B - 4 , 3 .
b ) Z a u w a |a m , |e - 3 < 1 - 1 0 < - 2 . Z w y k r e s u o d c z y t u j , |e w p r z e d z i a l e
- 3 , - 2 f u n k c j a f j e s t s t a Ba i d l a k a |d e g o a r g u m e n t u z t e g o p r z e d z i a Bu
p r z y j m u j e w a r t o [
( - 4 , z a t e m w a r t o [c i f u n k c j i f d l a a r g u m e n t u
)
x = 1 - 1 0 j e s t , c o m o |n a z a p i s a f 1 - 1 0 = - 4 .
( - 4
)
( )
c ) W y z n a c z a m r ó w n a n i e p r o s t e j p r z e c h o d z c e j p r z e z p u n k t y B =
( - 2 , - 4
)
- 4 - 3
i C = 2 , 3 : y - 3 = x
( ) ( - 2
)
- 2 - 2
7 1
s t d y = x - .
4 2
2 2
O b l i c z a m d Bu g o [ o d c i n k a B C : B C = 2 - ( - 2 + 3 - ( - 4 = 6 5 .
) )
( ) ( )
E g z a m i n m a t u r a l n y z m a t e m a t y k i 3
P o z i o m p o d s t a w o w y
Z a d a n i e 2 . ( 4 p k t )
L i c z b a p r z e k t n y c h w i e l o k t a w y p u k Be g o , w k t ó r y m j e s t n b o k ó w i n e" 3 w y r a |a s i w z o r e m
n n - 3
( )
P n = .
( )
2
W y k o r z y s t u j c t e n w z ó r :
a ) o b l i c z l i c z b p r z e k t n y c h w d w u d z i e s t o k c i e w y p u k By m .
b ) o b l i c z , i l e b o k ó w m a w i e l o k t w y p u k By , w k t ó r y m l i c z b a p r z e k t n y c h j e s t p i r a z y
w i k s z a o d l i c z b y b o k ó w .
c ) s p r a w d z, c z y j e s t p r a w d z i w e n a s t p u j c e s t w i e r d z e n i e :
K a |d y w i e l o k t w y p u k By o p a r z y s t e j l i c z b i e b o k ó w m a p a r z y s t l i c z b p r z e k t n y c h .
O d p o w i e d z u z a s a d n i j .
a ) D o p o d a n e g o w z o r u p o d s t a w i a m n = 2 0 i o t r z y m u j P 2 0 = = 1 7 0 .
( ) 2 0 Å"1 7
2
W d w u d z i e s t o k c i e w y p u k By m j e s t 1 7 0 p r z e k t n y c h .
n n - 3
( )
b ) Z a p i s u j r ó w n a n i e u w z g l d n i a j c e t r e [ t e g o p o d p u n k t u : = 5 n .
2
2
J e s t o n o r ó w n o w a |n e r ó w n a n i u k w a d r a t o w e m u n - 1 3 n = 0 , k t ó r e g o
r o z w i z a n i e m s l i c z b y n = 0 l u b n = 1 3 .
B i o r c p o d u w a g z a Bo |e n i e , |e n e" 3 f o r m u Bu j o d p o w i e d z: W i e l o k t e m
w y p u k By m , k t ó r y m a 5 r a z y w i c e j p r z e k t n y c h n i | b o k ó w j e s t t r z y n a s t o k t .
c ) P o w y |s z e s t w i e r d z e n i e n i e j e s t p r a w d z i w e , p o n i e w a | s z e [c i o k t w y p u k By m a
9 p r z e k t n y c h , c z y l i P 6 = 9 .
( )
4 E g z a m i n m a t u r a l n y z m a t e m a t y k i
P o z i o m p o d s t a w o w y
Z a d a n i e 3 . ( 4 p k t )
4
R o z w i | r ó w n a n i e 4 2 3 x - 3 2 9 x = 1 6 4 Å" 4 4 .
( )
Z a p i s z r o z w i z a n i e t e g o r ó w n a n i a w p o s t a c i 2 k , g d z i e k j e s t l i c z b c a Bk o w i t .
W s z y s t k i e l i c z b y w y s t p u j c e w r ó w n a n i u z a p i s u j w p o s t a c i p o t g i o p o d s t a w i e 2 :
2 4 6 x - 2 4 5 x = 2 1 6 Å" 2 3 2
P o l e w e j s t r o n i e r ó w n a n i a w y Bc z a m w s p ó l n y c z y n n i k p r z e d n a w i a s , a p o p r a w e j
s t r o n i e w y k o n u j m n o |e n i e :
2 4 5 x 2 - 1 = 2 4 8
( )
2 4 5 x = 2 4 8
d z i e l o b i e s t r o n y r ó w n a n i a p r z e z 2 4 5 i o t r z y m u j :
x = 2 4 8 : 2 4 5 = 2 3
R o z w i z a n i e m r ó w n a n i a j e s t l i c z b a 2 3 .
E g z a m i n m a t u r a l n y z m a t e m a t y k i 5
P o z i o m p o d s t a w o w y
Z a d a n i e 4 . ( 3 p k t )
K o n c e r n p a l i w o w y p o d n o s i B d w u k r o t n i e w j e d n y m t y g o d n i u c e n b e n z y n y , p i e r w s z y r a z
o 1 0 % , a d r u g i r a z o 5 % . P o o b u t y c h p o d w y |k a c h j e d e n l i t r b e n z y n y , w y p r o d u k o w a n e j p r z e z
t e n k o n c e r n , k o s z t u j e 4 , 6 2 z B. O b l i c z c e n j e d n e g o l i t r a b e n z y n y p r z e d o m a w i a n y m i
p o d w y |k a m i .
O z n a c z a m l i t e r x c e n j e d n e g o l i t r a b e n z y n y p r z e d p o d w y |k a m i ;
1 , 1 x c e n a j e d n e g o l i t r a b e n z y n y p o p i e r w s z e j p o d w y |c e ;
1 , 0 5 Å"1 , 1 x c e n a j e d n e g o l i t r a b e n z y n y p o o b u p o d w y |k a c h .
Z a p i s u j r ó w n a n i e : 1 , 0 5 Å"1 , 1 x = 4 , 6 2
1 , 1 5 5 x = 4 , 6 2
R o z w i z a n i e m r ó w n a n i a j e s t x = 4 ;
C e n a j e d n e g o l i t r a b e n z y n y p r z e d p o d w y |k a m i b y Ba r ó w n a 4 z B.
6 E g z a m i n m a t u r a l n y z m a t e m a t y k i
P o z i o m p o d s t a w o w y
Z a d a n i e 5 . ( 5 p k t )
1
N i e s k o Dc z o n y c i g l i c z b o w y a n j e s t o k r e [l o n y w z o r e m a n = 2 - , n = 1 , 2 , 3 , . . . .
( )
n
a ) O b l i c z , i l e w y r a z ó w c i g u a n j e s t m n i e j s z y c h o d 1 , 9 7 5 .
( )
b ) D l a p e w n e j l i c z b y x t r z y w y r a z o w y c i g a 2 , a 7 , x j e s t a r y t m e t y c z n y . O b l i c z x .
( )
1
a ) R o z w i z u j n i e r ó w n o [ 2 - < 1 , 9 7 5 .
n
1
P r z e k s z t a Bc a m j d o p o s t a c i r ó w n o w a |n e j > 0 , 0 2 5 . N i e r ó w n o [ t
n
1 1
z a p i s u j w p o s t a c i > . J e s t o n a s p e Bn i o n a g d y : n < 4 0 .
n 4 0
P o n i e w a | n j e s t l i c z b n a t u r a l n , w i c o d p o w i e d z j e s t n a s t p u j c a :
3 9 w y r a z ó w d a n e g o c i g u t o l i c z b y m n i e j s z e o d 1 , 9 7 5 .
b ) K o r z y s t a m z e z w i z k u m i d z y s s i e d n i m i w y r a z a m i w c i g u a r y t m e t y c z n y m
a + x
2
i z a p i s u j r ó w n a n i e : = a , c z y l i x = 2 a 7 - a 2 .
7
2
3 1 3
O b l i c z a m p o t r z e b n e w y r a z y : a 2 = , a 7 = .
2 7
1 3 3 3 1
W s t a w i a m o b l i c z o n e w a r t o [c i d o r ó w n a n i a i o t r z y m u j x = 2 Å" - = .
7 2 1 4
3 1
O d p o w i e d z: T r z y w y r a z o w y c i g a 2 , a 7 , x j e s t a r y t m e t y c z n y d l a x = .
( )
1 4
E g z a m i n m a t u r a l n y z m a t e m a t y k i 7
P o z i o m p o d s t a w o w y
Z a d a n i e 6 . ( 5 p k t )
P r o s t a o r ó w n a n i u 5 x + 4 y - 1 0 = 0 p r z e c i n a o [ O x u k Ba d u w s p ó Br z d n y c h w p u n k c i e A o r a z
o [ O y w p u n k c i e B . O b l i c z w s p ó Br z d n e w s z y s t k i c h p u n k t ó w C l e |c y c h n a o s i O x i t a k i c h ,
|e t r ó j k t A B C m a p o l e r ó w n e 3 5 .
5
›#0 , ž#
W y z n a c z a m w s p ó Br z d n e p u n k t ó w A i B : A = 2 , 0 o r a z B = .
( )
œ# Ÿ#
2
# #
y
B
C
A
C x
O
P u n k t C m o |e l e |e z l e w e j l u b z p r a w e j s t r o n y p u n k t u A . P r z y j m u j c , |e w o b u
p r z y p a d k a c h w y s o k o [c i t r ó j k t a A B C j e s t o d c i n e k B O , k t ó r e g o d Bu g o [ j e s t
5
r ó w n a i k o r z y s t a j c z f a k t u , |e p o l e t r ó j k t a A B C r ó w n a s i 3 5 z a p i s u j
2
1
r ó w n a n i e : Å" A C Å" B O = 3 5
2
1 5
Å" A C Å" = 3 5
2 2
A C = 2 8 .
P o n i e w a | p u n k t A = 2 , 0 , w i c C = 3 0 , 0 l u b C =
( ) ( ) ( - 2 6 , 0 .
)
Z a d a n i e m a z a t e m d w a r o z w i z a n i a .
8 E g z a m i n m a t u r a l n y z m a t e m a t y k i
P o z i o m p o d s t a w o w y
Z a d a n i e 7 . ( 4 p k t )
D a n y j e s t t r a p e z , w k t ó r y m p o d s t a w y m a j d Bu g o [ 4 c m i 1 0 c m o r a z r a m i o n a t w o r z
z d Bu |s z p o d s t a w k t y o m i a r a c h 3 0 ° i 4 5 ° . O b l i c z w y s o k o [ t e g o t r a p e z u .
D C
h
h
.
.
4 5 ° 3 0 °
A E B
F
T r ó j k t A E D j e s t t r ó j k t e m p r o s t o k t n y m i r ó w n o r a m i e n n y m
( D A E = E D A = 4 5 ° ) , w i c A E = E D = h .
K o r z y s t a m z w Ba s n o [c i t r ó j k t a p r o s t o k t n e g o B F C i z a p i s u j z a l e |n o [ m i d z y
C F
p r z y p r o s t o k t n y m i = t g 3 0 ° , s t d F B = C F Å" 3 , F B = h 3 .
F B
E F = D C = 4 , w i c o t r z y m u j r ó w n a n i e :
A E + 4 + F B = 1 0 , z k t ó r e g o p o p o d s t a w i e n i u w y z n a c z o n y c h w i e l k o [c i
o t r z y m u j :
h + 4 + h 3 = 1 0 .
O b l i c z a m w y s o k o [ t r a p e z u :
h + h 3 = 6
h 1 + 3 = 6
( )
6
h = = 3 3 - 1 .
( )
3 + 1
O d p o w i e d z: W y s o k o [ t r a p e z u j e s t r ó w n a 3 3 - 1 c m .
( )
E g z a m i n m a t u r a l n y z m a t e m a t y k i 9
P o z i o m p o d s t a w o w y
Z a d a n i e 8 . ( 4 p k t )
D a n y j e s t w i e l o m i a n W x = x 3 - 5 x 2 - 9 x + 4 5 .
( )
a ) S p r a w d z, c z y p u n k t A = 1 , 3 0 n a l e |y d o w y k r e s u t e g o w i e l o m i a n u .
( )
b ) Z a p i s z w i e l o m i a n W w p o s t a c i i l o c z y n u t r z e c h w i e l o m i a n ó w s t o p n i a p i e r w s z e g o .
a ) O b l i c z a m W 1 :
( )
W 1 = 1 3 - 5 Å"1 2 - 9 Å"1 + 4 5 = 3 2
( )
W 1 `" 3 0
( )
O t r z y m a n y w y n i k o z n a c z a , |e p u n k t A n i e n a l e |y d o w y k r e s u w i e l o m i a n u W .
b ) R o z k Ba d a m w i e l o m i a n n a c z y n n i k i :
W x = x 3 - 5 x 2 - 9 x + 4 5 =
( )
= x 3 - 9 x - 5 x 2 + 4 5 =
= x x 2 - 9 - 5 x 2 - 9 =
( ) ( )
= x 2 - 9 x - 5 =
( )
( )
= x + 3 x - 3 x - 5 .
( ) ( ) ( )
O d p o w i e d z: W x = x + 3 x - 3 x - 5 .
( ) ( ) ( ) ( )
1 0 E g z a m i n m a t u r a l n y z m a t e m a t y k i
P o z i o m p o d s t a w o w y
Z a d a n i e 9 . ( 5 p k t )
O b l i c z n a j m n i e j s z i n a j w i k s z w a r t o [ f u n k c j i k w a d r a t o w e j f x = 2 x + 1 x - 2
( ) ( ) ( )
w p r z e d z i a l e - 2 , 2 .
Z a p i s u j w z ó r f u n k c j i w p o s t a c i o g ó l n e j f x = 2 x 2 - 3 x - 2 .
( )
- b 3
W y z n a c z a m o d c i t w i e r z c h o Bk a p a r a b o l i : x w = = .
2 a 4
P i e r w s z a w s p ó Br z d n a w i e r z c h o Bk a p a r a b o l i n a l e |y d o p r z e d z i a Bu - 2 , 2 , w i c
n a j m n i e j s z w a r t o [c i f u n k c j i f w t y m p r z e d z i a l e j e s t d r u g a w s p ó Br z d n a
- ” 2 5
w i e r z c h o Bk a : y w = = - .
4 a 8
O b l i c z a m w a r t o [c i f u n k c j i n a k o Dc a c h p r z e d z i a Bu : f = 1 2 , f 2 = 0 .
( - 2
) ( )
N a j w i k s z w a r t o [c i f u n k c j i f w p o d a n y m p r z e d z i a l e j e s t f = 1 2 .
( - 2
)
O d p o w i e d z: N a j m n i e j s z w a r t o [c i f u n k c j i w p o d a n y m p r z e d z i a l e j e s t
2 5
y w = - , a n a j w i k s z f = 1 2 .
( - 2
)
8
E g z a m i n m a t u r a l n y z m a t e m a t y k i 1 1
P o z i o m p o d s t a w o w y
Z a d a n i e 1 0 . ( 3 p k t )
a
R y s u n e k p r z e d s t a w i a f r a g m e n t w y k r e s u f u n k c j i h , o k r e [l o n e j w z o r e m h x = d l a x `" 0 .
( )
x
W i a d o m o , |e d o w y k r e s u f u n k c j i h n a l e |y p u n k t P = 2 , 5 .
( )
a ) O b l i c z w a r t o [ w s p ó Bc z y n n i k a a .
b ) U s t a l , c z y l i c z b a h À - h j e s t d o d a t n i a c z y u j e m n a .
( ) ( - À
)
c ) R o z w i | n i e r ó w n o [ h x > 5 .
( )
y
P = 2 , 5
( )
1
x
1
a ) K o r z y s t a m z f a k t u , |e p u n k t P = 2 , 5 n a l e |y d o w y k r e s u f u n k c j i h
( )
a
i w y z n a c z a m w s p ó Bc z y n n i k a : 5 = s t d a = 1 0 .
2
1 0
F u n k c j a h j e s t d a n a w z o r e m : h x = .
( )
x
b ) Z w y k r e s u o d c z y t u j , |e h < 0 , n a t o m i a s t h À > 0 . S t d w y n i k a , |e
( - À
) ( )
h À - h j e s t l i c z b d o d a t n i .
( ) ( - À
)
Z i n f o r m a c j i p o d a n e j w z a d a n i u w i e m , |e w y k r e s f u n k c j i h p r z e c h o d z i p r z e z
p u n k t P = 2 , 5 . O d c z y t u j r o z w i z a n i e n i e r ó w n o [c i h x > 5 z w y k r e s u : j e s t t o
( ) ( )
p r z e d z i a B 0 , 2 .
( )
1 2 E g z a m i n m a t u r a l n y z m a t e m a t y k i
P o z i o m p o d s t a w o w y
Z a d a n i e 1 1 . ( 5 p k t )
a 2 1 5
P o l e p o w i e r z c h n i b o c z n e j o s t r o s Bu p a p r a w i d Bo w e g o t r ó j k t n e g o r ó w n a s i , g d z i e
4
a o z n a c z a d Bu g o [ k r a w d z i p o d s t a w y t e g o o s t r o s Bu p a . Z a z n a c z n a p o n i |s z y m r y s u n k u k t
n a c h y l e n i a [c i a n y b o c z n e j o s t r o s Bu p a d o p Ba s z c z y z n y j e g o p o d s t a w y . M i a r t e g o k t a o z n a c z
s y m b o l e m ² . O b l i c z c o s ² i k o r z y s t a j c z t a b l i c f u n k c j i t r y g o n o m e t r y c z n y c h o d c z y t a j
p r z y b l i |o n w a r t o [ ² z d o k Ba d n o [c i d o 1 ° .
S
h
h
C
²
D
x
x
O
A
a
B
N a r y s u n k u z a z n a c z a m k t n a c h y l e n i a [c i a n y b o c z n e j o s t r o s Bu p a d o p Ba s z c z y z n y
p o d s t a w y ² ( p u n k t D j e s t [r o d k i e m o d c i n k a B C ) .
E g z a m i n m a t u r a l n y z m a t e m a t y k i 1 3
P o z i o m p o d s t a w o w y
W p r o w a d z a m o z n a c z e n i e : h w y s o k o [ [c i a n y b o c z n e j .
Z a p i s u j r ó w n a n i e o p i s u j c e p o l e p o w i e r z c h n i b o c z n e j o s t r o s Bu p a :
2
1 a 1 5
3 Å" a Å" h = , z k t ó r e g o w y z n a c z a m w y s o k o [ [c i a n y b o c z n e j o s t r o s Bu p a
2 4
a 1 5
h = .
6
a 3
Z t r ó j k t a p r o s t o k t n e g o S O D , w k t ó r y m x = O D = d Bu g o [ p r o m i e n i a
6
x
o k r g u w p i s a n e g o w p o d s t a w o s t r o s Bu p a o t r z y m u j : c o s ² = .
h
a 3
x 5
c o s ² = = 6 = H" 0 , 4 4 7 2 .
h 5
a 1 5
6
Z t a b l i c y w a r t o [c i f u n k c j i t r y g o n o m e t r y c z n y c h o d c z y t u j m i a r k t a : ² = 6 3 .
1 4 E g z a m i n m a t u r a l n y z m a t e m a t y k i
P o z i o m p o d s t a w o w y
Z a d a n i e 1 2 . ( 4 p k t )
R z u c a m y d w a r a z y s y m e t r y c z n s z e [c i e n n k o s t k d o g r y . O b l i c z p r a w d o p o d o b i e Ds t w o
k a |d e g o z n a s t p u j c y c h z d a r z e D:
a ) A w k a |d y m r z u c i e w y p a d n i e n i e p a r z y s t a l i c z b a o c z e k .
b ) B s u m a o c z e k o t r z y m a n y c h w o b u r z u t a c h j e s t l i c z b w i k s z o d 9 .
c ) C s u m a o c z e k o t r z y m a n y c h w o b u r z u t a c h j e s t l i c z b n i e p a r z y s t i w i k s z o d 9 .
© d l a t e g o d o [w i a d c z e n i a j e s t z b i o r e m w s z y s t k i c h u p o r z d k o w a n y c h p a r ,
k t ó r y c h w y r a z y m o g s i p o w t a r z a i k a |d y z t y c h w y r a z ó w m o |e b y j e d n
z l i c z b : 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 .
M o |n a t e n z b i ó r o p i s a w t a b e l c e :
1 2 3 4 5 6
1 ( 1 , 1 ) ( 1 , 2 ) ( 1 , 3 ) ( 1 , 4 ) ( 1 , 5 ) ( 1 , 6 )
2 ( 2 , 1 ) ( 2 , 2 ) ( 2 , 3 ) ( 2 , 4 ) ( 2 , 5 ) ( 2 , 6 )
3 ( 3 , 1 ) ( 3 , 2 ) ( 3 , 3 ) ( 3 , 4 ) ( 3 , 5 ) ( 3 , 6 )
4 ( 4 , 1 ) ( 4 , 2 ) ( 4 , 3 ) ( 4 , 4 ) ( 4 , 5 ) ( 4 , 6 )
5 ( 5 , 1 ) ( 5 , 2 ) ( 5 , 3 ) ( 5 , 4 ) ( 5 , 5 ) ( 5 , 6 )
6 ( 6 , 1 ) ( 6 , 2 ) ( 6 , 3 ) ( 6 , 4 ) ( 6 , 5 ) ( 6 , 6 )
2
©= 6 = 3 6 .
Z d a r z e n i u A s p r z y j a 9 z d a r z e D e l e m e n t a r n y c h :
1 , 1 , 1 , 3 1 , 5 , 3 , 1 , 3 , 3 , 3 , 5 , 5 , 1 , 5 , 3 , 5 , 5 .
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{ }
9 1
O b l i c z a m p r a w d o p o d o b i e Ds t w o z d a r z e n i a A : P A = = .
( )
3 6 4
Z d a r z e n i u B s p r z y j a 6 z d a r z e D e l e m e n t a r n y c h . Aa t w o j e w y p i s a :
6 , 6 , 6 , 5 , 6 , 4 , 5 , 6 , 5 , 5 , 4 , 6 .
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{ }
6 1
O b l i c z a m p r a w d o p o d o b i e Ds t w o z d a r z e n i a B : P B = = .
( )
3 6 6
Z d a r z e n i u C s p r z y j a j d w a z d a r z e n i a e l e m e n t a r n e : 6 , 5 , 5 , 6
( ) ( )
{ }
2 1
O b l i c z a m p r a w d o p o d o b i e Ds t w o z d a r z e n i a C : P C = = .
( )
3 6 1 8
E g z a m i n m a t u r a l n y z m a t e m a t y k i 1 5
P o z i o m p o d s t a w o w y
B R U D N O P I S
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