www.tomaszgrebski.pl www.tomaszgrebski.pl
Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki 1
Odpowiedzi i schemat punktowania  poziom podstawowy
ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA  ZESTAW NR 2
POZIOM PODSTAWOWY
Etapy rozwiązania zadania Uwagi
Podanie dziedziny funkcji f: - 6, 8 .
1.1 1
Podanie wszystkich miejsc zerowych funkcji f: x = -2, x = 3, x = 6 .
1.2 1
Podanie wartości funkcji f dla argumentu x = 5 : f (5) = -1.
1.3 1
Podanie zbioru wartości funkcji f: - 2,6 .
1 1.4 1
Podanie przedziału o długości 3, w którym funkcja f jest rosnąca: 5, 8 .
1.5 1
Zapisanie zbioru wszystkich argumentów, dla których funkcja f przyjmuje
1.6 1
wartości ujemne: x " *" 3,6 .
(-2,3
) ( )
Zapisanie, że pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli będącej wykresem
Przyznajemy punkt, gdy
2.1 1
funkcji f jest równa 2 i należy do przedziału 0,5 . zdający zapisze xw = 2 .
Obliczenie najmniejszej wartości funkcji f w przedziale 0,5 : f (2) = 0 .
2.2 1
Obliczenie największej wartości funkcji f w przedziale 0,5 : f (5) = 9 .
2.3 1
2
Przekształcenie lewej strony nierówności do postaci iloczynowej
2
( - x �" 1- x e" 0 i podanie miejsc zerowych: x = 1 lub x = 2 ,
) ( )
2.4 1
(albo wyznaczenie pierwiastków trójmianu y = x2 - 3x + 2 ).
Zapisanie zbioru rozwiązań nierówności: -",1 *" 2," .
)
2.5 ( 1
ż#x + y = 7
�#
Zapisanie układu równań wynikających z treści zadania: .
3 3.1 1
�#
�# - y = 3
�#x
7 + 3 7 - 3
3.2 2
Rozwiązanie układu równań: x = i y = .
2 2
Obliczenie iloczynu szukanych liczb: x �" y = 1.
3.3 1
Nr
Nr
Liczba
zadania
punktów
czynności
www.tomaszgrebski.pl www.tomaszgrebski.pl
Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki 2
Odpowiedzi i schemat punktowania  poziom podstawowy
II sposób rozwiązania:
ż#x + y = 7
�#
3.1 1
Zapisanie układu równań wynikających z treści zadania: .
�#
�# - y = 3
�#x
Podniesienie stron każdego z równań do kwadratu i zapisanie układu:
ż#
x2 + 2xy + y2 = 7
3.2 2
.
�#
2
�#x - 2xy + y2 = 3
Obliczenie iloczynu szukanych liczb: x �" y = 1.
3.3 1
Zapisanie równania prostej AB: 2x - 3y + 2 = 0.
4.1 1
12
Obliczenie odległości punktu C od prostej AB: 13 .
4.2 1
13
4 Zapisanie warunku, przy którym punkt D leży na prostej AB:
4.3 1
2 3m + 2 = 0 stąd m = 0 .
(-1
)-
Stwierdzenie i zapisanie, że dla m `" 0 punkty A, B i D są wierzchołkami
4.4 1
trójkąta.
Wystarczy jeśli zdający
Wykorzystanie definicji pierwiastka wielomianu i zapisanie warunku:
5.1 1
zapisze Q 1 = 0 .
( )
2�"13 - 3�"12 - 3�"1+ d = 0.
Obliczenie wartości współczynnika d, gdy liczba 1 jest pierwiastkiem
5.2 1
wielomianu: d = 4 .
Zapisanie wielomianu Q dla d = 2 w postaci sumy iloczynów, z których
5.3 1
będzie wynikał wspólny czynnik: Q x = 2 x3 +1 - 3x x +1 .
( ) ( )
( )
Zastosowanie wzoru skróconego mnożenia na sumę sześcianów i zapisanie
5
5.4 1
wielomianu Q w postaci: Q x = 2 x +1 x2 - x +1 - 3x x +1 .
( ) ( ) ( )
( )
Zapisanie wielomianu Q w postaci iloczynu dwóch wielomianów:
5.5 1
Q x = x +1 2x2 - 5x + 2 .
( ) ( )
( )
Zapisanie wielomianu Q w postaci iloczynu trzech wielomianów stopnia
5.6 1
pierwszego: Q x = x +1 2x -1 x - 2 lub Q x = 2 x +1 x - ( - 2 .
x
( ) ( )( )( ) ( ) ( )�# 1 ś# )
ś# ź#
2
�# #
www.tomaszgrebski.pl www.tomaszgrebski.pl
Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki 3
Odpowiedzi i schemat punktowania  poziom podstawowy
Wykorzystanie wzoru na różnice kwadratów i zapisanie lewej strony
216 - 32 216 + 32
6.1 ( )( ) 1
nierówności w postaci: �" x .
216 + 32
Włączenie przed nawias wspólnego czynnika 25 i zapisanie prawej strony
6
6.2 1
nierówności w postaci: 25 25 - 216 = -25 216 - 25 .
( ) ( )
6.3 Rozwiązanie nierówności: x >-32. 1
Zapisanie najmniejszej liczby całkowitej spełniającej daną nierówność: .
) 1
6.4 (-31
I sposób rozwiązania:
7 7.1 1
Obliczenie przybliżonej wartości kąta ą : ą H" 41�.
Obliczenie przybliżonej wartości kąta: � H" 53�.
7.2 1
Wystarczy obliczenie
Oszacowanie sumy kątów ą i � : ą + � > 90� .
7.3 1 przybliżonej wartości sumy
tych kątów.
7.4 Stwierdzenie sprzeczności oraz zapisanie wniosku: trójkąt nie jest prostokątny. 1
II sposób rozwiązania:
3
7.1 1
Obliczenie sin � (na podstawie równości sin � = cosą ): sin � = .
4
7
7.2 1
Obliczenie cos � : cos � = .
4
3 7
7.3 1
Obliczenie tg� : tg� = .
7
Porównanie uzyskanego wyniku z wartością funkcji tg� daną w zadaniu
7.4 1
i stwierdzenie sprzeczności oraz zapisanie wniosku:
trójkąt nie jest prostokątny.
www.tomaszgrebski.pl www.tomaszgrebski.pl
Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki 4
Odpowiedzi i schemat punktowania  poziom podstawowy
III sposób rozwiązania:
B
�
24
7.1 1
ą
C A
Wykorzystanie definicji funkcji cosinus i obliczenie długości przyprostokątnej
AC
AC : = cosą stąd AC = 18 .
AB
Wykorzystanie definicji funkcji tangens i obliczenie długości przyprostokątnej
AC
27
7.2 1 .
BC : = tg� stąd BC = .
BC 2
Obliczenie sumy kwadratów przyprostokątnych i kwadratu
2
7.3 2 2 2 27 1 2 1
�# ś#
przeciwprostokątnej: AC + BC = 18 + = 506 , AB = 576 .
( )
ś# ź#
24
�# #
2 2 2
Uzyskanie sprzeczności AC + BC `" AB i zapisanie wniosku: trójkąt nie
7.4 1
jest prostokątny.
IV sposób rozwiązania:
Wykorzystanie definicji funkcji cosinus i obliczenie długości przyprostokątnej
7.1 1
AC
AC : = cosą stąd AC = 18 .
AB
Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa i obliczenie długości przyprostokątnej
7.2 1
BC: BC = 6 7 .
3
Wykorzystanie funkcji tangens i obliczenie tangensa kąta � : tg� = .
7.3 1
7
3 4
Uzyskanie sprzeczności: tg� = i z warunków zadania tg� = .
7.4 1
3
7
www.tomaszgrebski.pl www.tomaszgrebski.pl
Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki 5
Odpowiedzi i schemat punktowania  poziom podstawowy
13
Zapisanie równania: 3n +1 = 37 .
8.1 ( ) 1
44
8.2 Rozwiązanie równania: n = 50 . 1
Wystarczy, że zdający
Zauważenie, że wartości wyrazów a1, a5, a9, a13, a17, a21, a25,& są liczbami
zapisze sumę
całkowitymi tworzącymi ciąg arytmetyczny lub obliczenie pierwszego wyrazu 1+ 4 + 7 +10 + ...
8.3 1
bez jej ostatniego składnika.
ciągu a1 = 1 i zapisanie, że kolejny składnik szukanej sumy jest większy od
Obliczenie różnicy ciągu nie
poprzedniego o 3.
8
jest konieczne.
Obliczenie ostatniego składnika szukanej sumy: a49 = 37 .
8.4 1
8.5 Obliczenie liczby wyrazów ciągu, które są liczbami całkowitymi: 13. 1
Jeżeli zdający od razu
1+ 37
a1 + a49 1+ 37
zapisze �"13 , to
Obliczenie sumy : S13 =�"13 = �"13 = 247 .
8.6 1
2
22
otrzymuje punkty w
czynnościach 8.3, 8.4 i 8.5.
Wprowadzenie oznaczeń, np.:
r  promień podstawy stożka,
h  wysokość stożka,
l  tworzącą stożka i zapisanie, że l = 3 oraz przedstawienie metody obliczenia
długości promienia podstawy stożka, np.
" porównanie długości łuku, równego trzeciej części łuku okręgu o
9 9.1 1
promieniu l i obwodu koła w podstawie stożka o promieniu r :
1
�"2Ąl = 2Ą r lub
3
" porównanie pola trzeciej części pola koła o promieniu l i pola powierzchni
1
bocznej stożka Ąl2 = Ą rl .
3
9.2 Wyznaczenie promienia podstawy stożka: r = 1. 1
9.3 1
Obliczenie wysokości stożka: h = 2 2 .
www.tomaszgrebski.pl www.tomaszgrebski.pl
Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki 6
Odpowiedzi i schemat punktowania  poziom podstawowy
1 1 2 2
9.4 1
Obliczenie objętości stożka: V = �"Ą �" r2 �" h = �"Ą �"12 �" 2 2 = Ą .
3 3 3
Wprowadzenie oznaczeń, np.: a, b  długości boków równoległoboku
h1 3
i wykorzystanie zależności = do zapisania proporcji zachodzącej między
h2 5
10.1 1
a 3
bokami a oraz b równoległoboku: = .
b 5
5
Wyznaczenie długości jednego z boków równoległoboku, np.: b = a .
10.2 1
3
Zapisanie obwodu równoległoboku w zależności od długości jednego z boków,
5
10.3 1
np.: 2a + 2�" a = 144 .
3
5
Wyznaczenie długości boków równoległoboku: a = 27 , b = �" 27 = 45 .
10.4 1
10
3
Nie oceniamy, czy zdający
II sposób rozwiązania:
analizuje zależność między
Wprowadzenie oznaczeń, np.: a, b - długości boków równoległoboku i
10.1 1
długościami boków
zapisanie pola równoległoboku na dwa sposoby: a �" h1 = b�" h2 .
równoległoboku.
b 3
Obliczenie stosunku długości boków równoległoboku: = .
10.2 1
a 5
a + b = 72
ż#
�#
Zapisanie układu równań z niewiadomymi a i b , np.: .
10.3 1
�#b 3
�#a =
�# 5
Rozwiązanie układu równań i zapisanie długości boków równoległoboku:
10.4 1
a = 45 , b = 27 .
www.tomaszgrebski.pl www.tomaszgrebski.pl
Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki 7
Odpowiedzi i schemat punktowania  poziom podstawowy
11.1 Zapisanie, że w danym doświadczeniu jest 35 zdarzeń elementarnych. 1
Zapisanie, że 7 zdarzeń elementarnych sprzyja zdarzeniu A  suma
11.2 1
wylosowanych liczb jest podzielna przez 5.
7 1
Obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia A: P A = = .
11.3 ( ) 1
35 5
II sposób rozwiązania: (metoda drzewa)
Narysowanie drzewa: np.
Zdający, analizując drugi
1 1 1 1 1 etap losowania, może
11.1 1
5 5 5 5 5
11 uwzględnić tylko istotnie

potrzebne gałęzie.
1 1
1 1 1 1 1
7 7
7 7 7 7 7

Zapisanie prawdopodobieństwa szukanego zdarzenia, jako sumy odpowiednich
iloczynów:
11.2 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
.
P A = �" + �" + �" + �" + �" + �" + �"
( )
5 7 5 7 5 7 5 7 5 7 5 7 5 7
1
Obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia A: P(A) = .
11.3 1
5