www.tomaszgrebski.pl
Przykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki 1
Odpowiedzi i schemat punktowania  poziom podstawowy
ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA  ZESTAW NR 1
POZIOM PODSTAWOWY
Nr Nr Liczba
Etapy rozwiązania zadania Uwagi
zadania czynności punktów
Obliczenie wyróżnika oraz pierwiastków trójmianu
1
1.1 1
y = 2x2 - 53x + 260 : " = 729 , x1 = 6 , x1 = 20 .
2
1
Zbiór rozwiązań nierówności może być
Zapisanie zbioru rozwiązań nierówności: x "�#6 ,20ś# .
1.2 1
ś# ź#
zaznaczony na wykresie.
2
�# #
1
" Zdający może ustalić liczby całkowite,
które spełniają nierówność na
Wypisanie wszystkich liczb całkowitych, które spełniają
1.3 1 podstawie sporządzonego wykresu.
nierówność: 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19.
" Przyznajemy punkt, gdy zdający
zapisze, np. 7, 8, 9, ..., 19.
Zapisanie wielomianu w postaci sumy iloczynów, w których
występuje ten sam czynnik, np:
2 2.1 1
W(x) = x2(x + 2)- 9(x + 2).
Zapisanie wielomianu w postaci W(x) = (x - 3)(x + 3)(x + 2)
2.2 1
i podanie wszystkich jego pierwiastków: x = -3 , x = -2 , x = 3 .
Zapisanie wielomianu P(x) w postaci rozwiniętej:
2.3 1
P(x) = x3 + 2x2 - 9x -18 .
Punkt przyznajemy za wniosek
Wyciągnięcie wniosku dotyczącego równości wielomianów:
konsekwentny do uzyskanej postaci
2.4 1
Wielomiany W(x) i P(x) są równe.
wielomianu P(x).
Podanie metody pozwalającej ustalić znak wielomianu W(x) dla
Akceptujemy uzasadnienie poprzez
2.5 1
x > 10 , np. poprzez analizę znaków czynników występujących
rozwiązanie nierówności.
w rozkładzie wielomianu.
Wykazanie nierówności, np. x3 + 2x2 - 9x -18 > 0
2.6 1
x " -2 *" 3," i zapisanie, że 10 > 3 .
(-3,
) ( )
www.tomaszgrebski.pl
www.tomaszgrebski.pl
Przykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki 2
Odpowiedzi i schemat punktowania  poziom podstawowy
II sposób rozwiązania (czynność 2.1, 2.2):
Znalezienie jednego z pierwiastków i wykonanie dzielenia, np.
2.1 1
x3 + 2x2 - 9x -18 : x - 3 = x2 + 5x + 6 .
( )
( )
Wyznaczanie pierwiastków wielomianu
może się odbywać dowolną, znaną
2.2 Wyznaczenie pozostałych pierwiastków: x = -3, x = -2. 1
zdającemu metodą, np. zastosowanie
twierdzenia Bezouta, schematu Hornera.
Punkt przyznajemy także wtedy, gdy liczba
Obliczenie liczby wszystkich możliwych kodów PIN: 9999 lub
9999 pojawia się tylko w mianowniku
3.1 1
ułamka przedstawiającego
104 -1.
prawdopodobieństwo.
Punkt przyznajemy także wtedy, gdy liczba
5040 jest przedstawiona jako iloczyn
3
3.2 Obliczenie liczby wszystkich kodów o różnych cyfrach: 5040. 1 10 �" 9 �"8 �" 7 , oraz wtedy, gdy liczba pojawia
się tylko w liczniku ułamka
przedstawiającego prawdopodobieństwo.
Obliczenie prawdopodobieństwa i zapisanie go w postaci ułamka
560
3.3 1
nieskracalnego: .
1111
4.1 a) 4. 1
b) 2005.
4 4.2 1
c) 6.
4.3 1
Obliczenie różnicy pól P2 i P1 kół o promieniach odpowiednio Zdający, obliczając P1 i P2 , może podać
5.1 1
wartości przybliżone.
41 m i 40 m: P2 - P1 = Ą �" 412 -Ą �" 402 = 81Ą .
Może też być wyznaczony stosunek
P2 - P1
5 P2 1681
Zapisanie właściwego ilorazu: �"100% .
5.2 1
= = 1,050625 .
P1
P1 1600
81 1
Uznajemy również wynik zaokrąglony
Obliczenie szukanego procentu: % lub 5 % lub 5,0625% .
5.3 1
do 1%: 5%.
16 16
www.tomaszgrebski.pl
www.tomaszgrebski.pl
Przykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki 3
Odpowiedzi i schemat punktowania  poziom podstawowy
Uzupełnienie tabeli: a3 = 2 , a4 = 0 , a5 = 3, a2005 = 1003, a2006 = 0 ,
Wystarczy, że zdający poprawnie obliczy
6.1 1
a3 = 2 , a4 = 0 , a5 = 3.
a2007 = 1004 , a2008 = 0 .
Zapisanie wartości wyrażenia: Wystarczy, że zdający poprawnie ustali
a2006 a2007 a2008
6.2 1 wartości poszczególnych czynników, np.
a2005 �" a2006 �" a2007 = 0.
( ) ( ) ( )
1�"0�"1.
Stwierdzenie, że ciąg (a1,a3,a5,& ,a2007) jest arytmetyczny: np.
6.3 1
a1 =1, r =1, albo stwierdzenie, że wyrazy pierwszy, trzeci, piąty
itd. to kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego.
6
Jeśli zdający z
le ustali liczbę wyrazów
Określenie liczby wyrazów ciągu a1, a3, a5,& , a2007 :
( )
ciągu a1, a3, a5,& , a2007 , to nie otrzymuje
6.4 1 ( )
n =1004.
punktu także w czynności 6.5.
Zastosowanie wzoru na sumę 1004 początkowych wyrazów ciągu Jeśli zdający stosuje bezpośrednio wzór
arytmetycznego i obliczenie sumy 2008 początkowych wyrazów
n n +1
( )
1+ 2 +& + n = dla n = 1004, to
1+1004
6.5 1
2
ciągu (an): �"1004 = 504510 .
2
otrzymuje wszystkie punkty za czynności
6.3, 6.4, 6.5.
7.1 1
Podanie wysokości z jakiej został rzucony kamień: h 0 = 10 m.
( )
Obliczenie odciętej wierzchołka paraboli i zapisanie odpowiedzi:
1
7.2 1
tw = , np.  po upływie pół sekundy .
7
2
Obliczenie największej wysokości na jaką wzniesie się kamień:
1
7.3 1 Zdający może pominąć jednostki.
hmax �# ś# = 11, 25 m.
ś# ź#
2
�# #
www.tomaszgrebski.pl
www.tomaszgrebski.pl
Przykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki 4
Odpowiedzi i schemat punktowania  poziom podstawowy
Narysowanie wykresu funkcji g.
y
7
6
3
y = + 2
x
5
4
3
2
3
y =
1
x
8.1 1
 9  8  7  6  5  4  3  2  1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
x
 1
 2
 3
 4
 5
8
 6
 7
Obliczenie największej wartości funkcji g w przedziale 21,31 :
8.2 1
1
g(21) = 2 .
7
3
Zapisanie równania: + 2 = 0 .
8.3 1
x
Rozwiązanie równania i sformułowanie odpowiedzi:
Jeśli zdający bez obliczeń poda poprawnie,
3 3 3
8.4 1 o ile należy przesunąć wykres, to
x = - , o jednostki w prawo (albo o wzdłuż osi Ox).
otrzymuje punkt także w czynności 8.3.
2 2 2
I sposób rozwiązania:
9 9.1 Zapisanie założenie, że trójkąt ABR jest podstawą, a odcinek CR jest 1
wysokością danego ostrosłupa ABRC.
1
Obliczenie pola podstawy: Pp = m2 .
9.2 1
2
www.tomaszgrebski.pl
www.tomaszgrebski.pl
Przykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki 5
Odpowiedzi i schemat punktowania  poziom podstawowy
Zdający może pominąć jednostki.
Jeśli zdający zapisze, że objętość
1
1 1 1
ostrosłupa jest równa m3 , bo jest to
Obliczenie objętości ostrosłupa: V = �" �"1 = m3.
9.3 1
6
3 2 6
naroże sześcianu o krawędzi 1 m,
to przyznajemy punkty w czynnościach
9.1, 9.2, 9.3.
Podanie wyniku zaokrąglonego do 0,01 m3: V = 0,17 m3.
9.4 1
II sposób rozwiązania:
Podstawą ostrosłupa ABCR jest trójkąt równoboczny ABC, którego
krawędz
podstawy ma długość 2 . Obliczenie pola podstawy
9.1 1
3
ostrosłupa: Pp = m2 .
2
Obliczenie wysokości H ostrosłupa:
2
�# ś#
9.2 6 3 1
H = 12 - = m .
ś# ź#
ś# ź#
3 3
�# #
Obliczenie objętości ostrosłupa:
9.3 1 3 3 1 1
V = �" �" = m3 .
3 2 3 6
Podanie wyniku zaokrąglonego do 0,01 m3: V = 0,17 m3.
9.4 1
1
Wyznaczenie równania prostej AB: y = x + 2 lub x - 2y + 4 = 0 .
10 10.1 1
2
Zbadanie położenia punktu K względem prostej AB: Jeśli zdający jedynie sprawdza, czy punkty
1 K i L należą do prostej AB, to:
10.2 1
�"36 + 2 = 20 < 21.
w czynności 10.2 otrzymuje 1 pkt , a
2
w czynności 10.3 nie otrzymuje punktu.
Zbadanie położenia punktu L względem prostej AB:
1
Np.: �" 36 + 2 = 20 `" 21,
11 2
10.3 1
�" + 2 = -16 < -15 .
(-37
)
1 1
�"(- 37)+ 2 = -16 `" -15.
22
2 2
www.tomaszgrebski.pl
www.tomaszgrebski.pl
Przykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki 6
Odpowiedzi i schemat punktowania  poziom podstawowy
Nie przyznajemy punktu za wniosek
(nawet poprawny), jeśli nie jest
uzasadniony, np. brak czynności 10.2, 10.3
10.4 Podanie wniosku: Punkty K i L leżą po tej samej stronie prostej AB. 1
lub podobnego rozumowania.
Przyznajemy punkt za wniosek
konsekwentny do otrzymanych rezultatów.
Zdający może podać wartość przybliżoną:
11.1 Obliczenie długości skośnej krawędzi konstrukcji: 10 5 cm . 1
np. 22,36 cm albo 22,4 cm.
Obliczenie sumy pól powierzchni ścian, które są trapezami:
40 + 30 �" 20
11.2 ( ) 1
2�"=1400cm2 .
2
11 Obliczenie sumy pól powierzchni ścian będących prostokątami:
Akceptujemy wynik: 2247 cm2 lub
20�" 20 + 20�" 40 + 20�"30 + 20�"10 5 = 1800 + 200 5 cm2 .
2248 cm2 , o ile w czynności 11.1 zdający
11.3 1
przyjął zaokrąglenie 10 5 H" 22, 4 .
Podanie wyniku z żądanym zaokrągleniem:
Akceptujemy wynik 3648. Zdający może
11.4 1
P = 200 16 + 5 H" 3647 cm2 .
pominąć jednostki.
()
I sposób rozwiązania:
Wykorzystanie zależności między sinusem i cosinusem tego samego
kąta i zapisanie wyrażeń w postaciach:
12 12.1 1
tgą �" 1- cos2 � +siną = tgą �"sin � + siną ,
tg� �" 1-cos2 ą +sin � = tg� �"siną + sin � .
Wykorzystanie zależności między tangensem, sinusem i cosinusem
tego samego kąta i zapisanie wyrażeń w postaci:
12.2 1
tgą �"sin � +siną = 2siną , tg� �"siną +sin � = 2sin � .
Obliczenie wartości wyrażeń:
10
tgą �" 1-cos2 � + siną = 2siną = ,
12.3 13 1
24
tg� �" 1-cos2 ą +sin � = 2sin � = .
13
www.tomaszgrebski.pl
www.tomaszgrebski.pl
Przykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki 7
Odpowiedzi i schemat punktowania  poziom podstawowy
10 24 10 24 Jeżeli zdający nie wykonuje obliczeń,
Porównanie liczb i i sformułowanie odpowiedzi: < ,
a stwierdzi jedynie, że sinus większego
13 13 13 13
z kątów ostrych trójkąta jest większy
12.4 1
drugie wyrażenie.
i zapisze 2sin � > 2siną , to otrzymuje
punkt także za czynność 12.3.
II sposób rozwiązania:
Wykorzystanie definicji funkcji trygonometrycznych kąta ostrego
Punkt otrzymuje zdający, który popełni co
i zapisanie potrzebnych wartości funkcji kąta ą :
12.1 1
najwyżej jeden błąd.
5 12 5
siną = , cosą = , tgą = .
13 13 12
Wykorzystanie definicji funkcji trygonometrycznych kąta ostrego
i zapisanie potrzebnych wartości funkcji kąta � :
Punkt otrzymuje zdający, który popełni co
12.2 1
12 5 12 najwyżej jeden błąd.
sin� = , cos� = , tg� = .
13 13 5
Obliczenie wartości wyrażeń:
10 24
12.3 1
tgą �" 1- cos2 � + siną = , tg� �" 1- cos2 ą + sin� = .
13 13
10 24 10 24
Porównanie liczb i i sformułowanie odpowiedzi: < ,
12.4 1
13 13 13 13
drugie wyrażenie ma większą wartość.
Obliczenie średniej arytmetycznej liczby sprzedanych biletów:
13.1 1
x = 5 .
Przedstawienie metody obliczenia wariancji lub odchylenia
Wystarczy, że zdający poprawnie podstawi
standardowego, np.:
13.2 222 2222 1 dane do wzoru na wariancję lub odchylenie
1 5-2 +4 5-3 +1 5-4 +1 5-5 +2 5-6 +2 5-8 +1 5-9
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
standardowe.
13 .
12
31
13.3 Obliczenie odchylenia standardowego: H" 2, 27 . 1
6
Podanie godzin, w których liczba sprzedanych biletów nie była Zdający może podać też
13.4 1
typowa: 5:00  6:00, 7:00  8:00, 8:00  9:00, 15:00  16:00. 5:00  6:00, 7:00  9:00, 15:00  16:00.
www.tomaszgrebski.pl