www.tomaszgrebski.pl
Przykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki 1
Odpowiedzi i schemat punktowania  poziom rozszerzony
ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA  ZESTAW NR 1
POZIOM ROZSZERZONY
Etapy rozwiązania zadania Uwagi
I metoda rozwiązania ( PITAGORAS ):
Sporządzenie rysunku w układzie współrzędnych: np. " Rysunek musi zawierać daną prostą oraz
punkty A i B. Inne elementy mogą, ale nie
y
A
12
muszą być uwzględnione.
11
10
" Współrzędne punktu C można odczytać
9
C z rysunku, ale zdający musi sprawdzić, np.
8
7
przez wstawienie do równania prostej
6
1.1 1 prawidłowość odczytu. Przyznajemy pełna
5
C
pulę punktów.
4
3
" W przypadku, gdy zdający poda odczytane
2
współrzędne punktu C i nie dokona
1
0 sprawdzenia z warunkami zadania otrzymuje
 8  7  6  5  4  3  2  1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
x
 1
punkty tylko w czynnościach 1.1 i 1.5.
 2
B
 3
Wprowadzenie oznaczenia współrzędnych punktu C, np.
1 22
1.2 1
C = (22 - 3y, y) lub C = (x, - x + ) .
3 3
Wykorzystanie twierdzenia Pitagorasa i zapisanie warunku
2 2 2
prostopadłości odcinków AC i BC: AC + BC = AB , w którym
2 2 2
1.3 1
AC =10y2 -168y + 720 , BC = 10y2 - 92y + 260 , AB = 260
2 1 2 1
lub AC = 10x2 + 64y + 232 , BC = 10x2 -164 +1108 .
() ()
9 9
Doprowadzenie do równania kwadratowego z jedną niewiadomą:
1.4 1
np. y2 -13y + 36 = 0 lub x2 - 5x - 50 = 0 .
Rozwiązanie równania i zapisanie odpowiedzi: C = 10, 4 lub
( )
1.5 1
C =
(-5,9 .
)
www.tomaszgrebski.pl
Nr
Liczba
punktów
czynności
Nr zadania
www.tomaszgrebski.pl
Przykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki 2
Odpowiedzi i schemat punktowania  poziom rozszerzony
II metoda rozwiązania ( WEKTORY ): Rysunek musi zawierać daną prostą oraz punkty
1.1 Sporządzenie rysunku w układzie współrzędnych. 1 A i B. Inne elementy mogą, ale nie muszą być
uwzględnione.
Wprowadzenie oznaczeń pomocniczych i wyznaczenie wektorów:

np.C = (22 - 3y, y) ,CA = [-24 + 3y,12 - y] , CB = [-16 + 3y, -2 - y]
1.2 1
1 22 1 14 1 28
lub C = (x, - x + ) , CA = [-2 + x, x + ], CB = [6 - x, x - ] .
3 3 3 3 3 3

Wykorzystanie warunku prostopadłości wektorówCA , CB i zapisanie
równania: np.
1.3 1
(-24 + 3y + 3y + 12 - y - y = 0 , gdzie y to rzędna punktu C
)(-16
) ( )(-2
)
1
lub -( )( - x + x +14 x - 28 = 0 , gdzie x to odcięta punktu C.
2 + x 6
) ( )( )
9
Doprowadzenie do równania kwadratowego z jedną niewiadomą :
1.4 1
np. y2 -13y + 36 = 0 lub x2 - 5x - 50 = 0 .
Rozwiązanie równania i zapisanie odpowiedzi:
1.5 1
C = 10, 4 lub C =
( ) (-5,9 .
)
III metoda rozwiązania ( KONSTRUKCJA ): Rysunek musi zawierać daną prostą oraz punkty
1.1 Sporządzenie rysunku w układzie współrzędnych. 1 A i B. Inne elementy mogą, ale nie muszą być
uwzględnione.
Zapisanie równania okręgu o środku w punkcie S = 2,5 , który jest
( )
1 1
środkiem odcinka AB i promieniu r = AB = 260 :
1.2 2 2 1
2
22
�#
x
( - 2 + y - 5 = 260 .
) ( )1 ś#
ś#ź#
2
�# #
Zapisanie układu równań:
x + 3y = 22
ż#
�#
1.3 1
2
�#
22
�#
x
( - 2 + y - 5 = 260 .
) ( )1 ś#
�# ś#ź#
2
�# #
�#
Doprowadzenie obliczeń do postaci równania kwadratowego,
1.4 1
np.: y2 -13y + 36 = 0 lub x2 - 5x - 50 = 0 .
www.tomaszgrebski.pl
www.tomaszgrebski.pl
Przykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki 3
Odpowiedzi i schemat punktowania  poziom rozszerzony
Rozwiązanie równania i zapisanie odpowiedzi:
1.5 1
C = 10, 4 lub C =
( ) (-5,9 .
)
Ogólnie, rozwiązanie powinno mieć postać:
1.1 Sporządzenie rysunku w układzie współrzędnych. 1
1.2 Przedstawienie metody pozwalającej wyznaczyć punkt C. 1 W metodzie II i III przestawione zostały
czynności 1.2 i 1.3 i zapisane w kolejności takiej,
Zapisanie warunków algebraicznych wynikających z obranej
1.3 1 jaka będzie miała miejsce w trakcie rozwiązania
metody rozwiązania.
tą metodą.
1.4 Doprowadzenie do równania kwadratowego z jedną niewiadomą. 1
1.5 Wyznaczenie współrzędnych punktów C. 1
a
Przyznajemy punkt również wtedy, gdy zdający
Zapisanie wzoru funkcji g w postaci g(x) = + 2 dla x `" -3.
2.1 1
nie zapisze dziedziny funkcji g.
x + 3
Wyznaczenie współczynnika a z równania g(- 4) = 6 : a = -4 .
2.2 1
-4 -2x -10
2
Doprowadzenie nierówności + 2 < 4 do postaci < 0 .
2.3 1
x + 3 x + 3
Wyznaczenie zbioru rozwiązań nierówności g(x)<4 :
2.4 1
x " -5 *"
(-",
) (-3," .
)
Zapisanie podstawy logarytmu: p = 2 .
3 3.1 1
Obliczenie wartości funkcji f dla argumentu x = 0,125 : f (0,125)= -3 .
3.2 1
Narysowanie wykresu funkcji y = f (x - 4).
3.3 1
Narysowanie wykresu funkcji g W tej czynności oceniamy poprawność
y
wykonania przekształcenia y = f (x) . Punkt
7
6
przyznajemy trównież wtedy, gdy zdający
y = log2(x - 4)
5
niepoprawnie wykona przesunięcie, ale
4
3
poprawnie wykona przekształcenie y = f (x) .
2
3.4 1 1
Jeśli zdający od razu narysuje wykres funkcji g,
0
 8  7  6  5  4  3  2  1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
x to przyznajemy punkt w czynnościach 3.3 i 3.4.
 1
 2
y = log2(x - 4)
 3
y = log2 x
 4
 5
 6
www.tomaszgrebski.pl
www.tomaszgrebski.pl
Przykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki 4
Odpowiedzi i schemat punktowania  poziom rozszerzony
Podanie miejsca zerowego funkcji g: x = 5 . Czynność 3.5 oceniamy konsekwentnie do
3.5 1
uzyskanej przez zdającego funkcji g.
a
a
4.1 1
2
Wyrażenie funkcji tgą w zależności od a i H: tgą = = .
H 2H
h
Wyrażenie funkcji cosą w zależności od a i h: cosą = .
4.2 1
a
Wykorzystanie wyznaczonych zależności i doprowadzenie podanego
w treści zadania związku a2 = H �" h do zależności z jedną zmienną ą :
a
4.3 1
a h
2
np. = tgą stąd H = , = cosą stąd h = a cosą ;
H 2tgą a
po podstawieniu otrzymujemy 2tgą = cosą .
Doprowadzenie zależności do postaci równania, w którym jest tylko
Ą
ś#
4.4 1
jedna funkcja trygonometryczna, np.: 2siną =1- sin2 ą dla ą"�#0, .
ś# ź#
2
�# #
Rozwiązanie równania, np. dokonanie podstawienia t = siną
4
4.5 i rozwiązanie równania kwadratowego t2 + 2t -1 = 0 : 1
t =-1- 2 oraz t =-1+ 2 .
Jeśli zdający nie wskaże właściwego rozwiązania
4.6 1 spełniającego warunki zadania, to nie otrzymuje
Odrzucenie ujemnego pierwiastka i podanie odpowiedzi: siną = 2 -1.
punktu za tę czynność.
II sposób rozwiązania (czynności 4.3 i 4.4)
Zapisanie wyrażenia a2 = H �" h w postaci proporcji
4.3 1 1
a
a h h
2
= �! 2�" = .
H a H a
Wykorzystanie funkcji trygonometrycznych do zapisania proporcji
1
a
h
2
w postaci równania jednej zmiennej: 2�" = 2�" tgą , = cos ą stąd
4.4 1
H a
a h Ą
ś#
= , 2�" tgą= cos ą, sin2 ą+ 2sin ą-1 = 0 dla ą"�#0, .
ś# ź#
H a 2
�# #
www.tomaszgrebski.pl
www.tomaszgrebski.pl
Przykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki 5
Odpowiedzi i schemat punktowania  poziom rozszerzony
Sporządzenie rysunku dla n = 4.
y
1
9
16
5.1 1
4
16
1
16
5
1 2 3
0
x
4 4 4
Obliczenie sumy pól czterech prostokątów:
2222
5.2 1 1 1 2 1 3 1 4 15 1
�"�# ś# + �"�# ś# + �"�# ś# + �"�# ś# = .
ś# ź# ś# ź# ś# ź# ś# ź#
4 4 4 4 4 4 4 4 32
�# # �# # �# # �# #
Obliczenie sumy pól wszystkich n prostokątów w postaci:
22 2
Wystarczy, że zdający poprawnie zapisze lewą
5.3 1 1 1 2 1 n 12 + 22 +...+ n2 1
�"�# ś# + �"�# ś# + ...+ �"�# ś# = . stronę podanej postaci.
ś# ź# ś# ź# ś# ź#
n n n n n n n3
�# # �# # �# #
Wykorzystanie podanej tożsamości i przekształcenie sumy do postaci:
n(n +1)(2n +1) (n +1)(2n +1)
5.4 1
Sn = lub Sn = .
6n3 6n2
6.1 Zapisanie wielomianu w postaci: W(x) = x4 - 2x3 + x2 + x2 - 6x + 9 . 1
Zapisanie wielomianu w postaci sumy dwóch składników nieujemnych:
6.2 2 1
2 2 2
np. W(x)= x2(x -1) + (x - 3) lub W(x)= (x2 - x) + (x - 3) .
Uzasadnienie, że oba składniki są nieujemne i nie mogą być
jednocześnie równe 0, więc wielomian W(x) nie ma pierwiastków
6.3 1
6
rzeczywistych.
II metoda rozwiązania:
Obliczenie pochodnej wielomianu W x i jej miejsca zerowego:
( )
6.1 1
3
W ' x = 2 2x - 3 x2 +1 , x = .
( ) ( )
( )
2
www.tomaszgrebski.pl
www.tomaszgrebski.pl
Przykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki 6
Odpowiedzi i schemat punktowania  poziom rozszerzony
3
Uzasadnienie, że w punkcie x = wielomian W x osiąga lokalne
( )
6.2 1
2
minimum.
3
Obliczenie wartości wielomianu W x dla x = albo jej oszacowanie
( )
2
z dołu przez liczbę dodatnią i uzasadnienie, że wielomian W x nie ma
( )
6.3 1
3 45
�# ś#
pierwiastków rzeczywistych: W = .
ś# ź#
2 16
�# #
7.1 Zapisanie równania f (x) = 1 w postaci: - cos2 x + cos x = 0 . 1
7.2 Zapisanie równań: cos x = 0 lub cos x = 1. 1
Zapisanie rozwiązań równania f (x) = 1 należących do przedziału
7.3 Ą 3Ą 1
0, 2Ą : x = 0 (" x = (" x = (" x = 2Ą .
2 2
Przedstawienie metody rozwiązania zadania, np. wprowadzenie
Punkt otrzymuje też zdający, który pominął
pomocniczej niewiadomej t = cos x i t " -1,1 i zapisanie funkcji
7.4 1
dziedzinę funkcji f.
f t = -t2 + t +1 dla t " -1,1 .
( )
7
Wystarczy, że zdający zapisze trójmian w postaci
Obliczenie pierwszej współrzędnej wierzchołka paraboli, będącej
2
1
7.5 1 1 5
ś#
wykresem trójmianu kwadratowego f t = -t2 + t +1: tw = .
( ) kanonicznej: f (t) = -�#t - ź#
+ .
ś#
2
2 4
�# #
Zdający nie musi analizować znaku
1
Uwzględnienie faktu, że " -1,1 i współczynnik przy t2 jest ujemny,
współczynnika przy t2 , o ile oblicza f (-1),
2
7.6 1
1 5
1
�# ś#
i obliczenie największej wartości funkcji f : fmax �# ś# = f (1), f i wybiera największą z nich.
ś# ź#
ś# ź#
2 4 2
�# #
�# #
www.tomaszgrebski.pl
www.tomaszgrebski.pl
Przykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki 7
Odpowiedzi i schemat punktowania  poziom rozszerzony
I metoda rozwiązania:
Sporządzenie rysunku
D


Zdający może pominąć uzasadnienie, że punkt
8.1 1
P leży na wysokości DO.
P
C
A O
B
8
8.2 Obliczenie długości krawędzi bocznej ostrosłupa: a = 1. 1
Obliczenie objętości ostrosłupa ABCD, np. poprzez stwierdzenie, że
1
8.3 1
dany ostrosłup to  naroże sześcianu o krawędzi długości 1: VABCD = .
6
Zapisanie równania z niewiadomą H  szukaną odległością: Wystarczy że zdający zapisze, że objętość
2
ostrosłupa jest sumą objętości czterech
2 �" 3
( )
1 1 1 1
8.4 1 ostrosłupów, których podstawami są ściany
3�" �" �" H + �" �" H = .
3 2 3 4 6
danego ostrosłupa, a wysokością szukana
odległość .
3 - 3
8.5 1
Obliczenie szukanej odległości: H = .
6
www.tomaszgrebski.pl
www.tomaszgrebski.pl
Przykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki 8
Odpowiedzi i schemat punktowania  poziom rozszerzony
II metoda rozwiązania:
Sporządzenie rysunku:
D


8.1 1

P1 P
C
A
O
C1
B
P1 jest rzutem punktu P na wysokość ściany bocznej DC1.
12
8.2 1
Obliczenie długości DC1: DC1 = AB = .
8
22
2
Wyznaczenie DO z trójkąta DOC1 : np. DO = DC1 2 - OC1 2 , gdzie
8.3 1
1 2 �" 3 6 3
OC1 = �" = , stąd DO = .
3 2 6 3
Zapisanie równania z niewiadomą H, np. z podobieństwa trójkątów
PP1 OC1
"PP1D <" "DOC1 wynika proporcja = i PP1 = H ,
DP DC1
8.4 1
6
H
6
= .
32
- H
32
3 - 3
8.5 1
Obliczenie szukanej odległości: H = .
6
Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych: � = 8!.
9 9.1 1
Obliczenie liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A,
że jako pierwsze pójdą kobiety i żona będzie szła bezpośrednio przed
Wystarczy zapis A = 3!�"3! lub A = 36 .
9.2 1
mężem: A = 3!�" 3!= 36 .
www.tomaszgrebski.pl
www.tomaszgrebski.pl
Przykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki 9
Odpowiedzi i schemat punktowania  poziom rozszerzony
3!�"3! 1
Obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia A: P A = = .
( )
9.3 1
8! 1120
Porównanie otrzymanego prawdopodobieństwa z 0,001, np.:
1 1
9.4 1
P(A)= < lub P(A) H" 0,0009 < 0,001.
1120 1000
Zapisanie układu pozwalającego wyznaczyć równanie prostej
1 =-a + b
ż#
10 10.1 1
przechodzącej przez punkty (xn,0) , , (0, yn) :
(-1,1
)
�#0 = a(-1- n) + b .
�#
1
Wyznaczenie z układu niewiadomej b: np. b =1+ .
10.2 1
n
1 n +1
Zapisanie wzoru szukanego ciągu: yn =1+ albo yn = .
10.3 1
n n
II metoda rozwiązania:
Zapisanie współczynnika kierunkowego prostej XnP
10.1 1
11
(przechodzącej przez punkty xn,0 i P): a = = .
( )
-1-(-1- n n
)
1
Zapisanie równania prostej XnP : y = x +1 +1.
10.2 ( ) 1
n
1 n +1
Zapisanie wzoru szukanego ciągu: yn =1+ albo yn = .
10.3 1
n n
III metoda rozwiązania:
Wprowadzenie oznaczeń: A = xn,0 , P = , C = 0, yn .
( ) (-1,1
) ( )
10.1 1

Wyznaczenie współrzędnych wektorów AP = n,1 , PC = 1, yn -1 .
[ ] [ ]
Zapisanie warunku równoległości wektorów:


10.2 1
AP || PC �! d AP, PC = 0 stąd n yn -1 = 0.
( )-1
()
1 n +1
Zapisanie wzoru szukanego ciągu: yn =1+ albo yn = .
10.3 1
n n
www.tomaszgrebski.pl
www.tomaszgrebski.pl
Przykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki 10
Odpowiedzi i schemat punktowania  poziom rozszerzony
IV metoda rozwiązania:
Wprowadzenie oznaczeń: A = xn,0 , P = , C = 0, yn .
( ) (-1,1
) ( )
10.1 1
Wykorzystanie zależności: AP + PC = AC ,
22 2 2 2 2
(-1- xn + 1- 0 + 0 +1 + yn -1 = 0 - xn + yn - 0 .
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Podstawienie xn =-1- n i doprowadzenie wyrażenia do postaci:
10.2 1
2
n�" yn
( - n -1 = 0 .
)
1 n +1
Zapisanie wzoru szukanego ciągu: yn =1+ albo yn = .
10.3 1
n n
Przyjęcie oznaczeń, wykorzystanie definicji lub własności ciągu
geometrycznego i zapisanie zależności między długościami boków
11.1 1
trójkąta prostokątnego, np.: a, b, c  długości boków trójkąta
prostokątnego i a < b < c , b = a �" q , c = a �" q2 lub b2 = ac .
Wykorzystanie twierdzenie Pitagorasa i zapisanie równania, w którym
2
2
11.2 występują najwyżej dwie niewiadome, np.: a2 + (aq) = (aq2) lub 1
a2 + ac = c2 .
2
c c
11
11.3 Zapisanie równania, np.: q4 - q2 -1 = 0 lub �# ś# - -1 = 0 . 1
ś# ź#
a a
�# #
c
Wykonanie podstawienia t = q2 lub t = i rozwiązanie równania
a
11.4 1
1- 5 1+ 5
t2 - t -1 = 0 : t = (" t = .
2 2
1+ 5
11.5 1
Obliczenie ilorazu ciągu: q = .
2
www.tomaszgrebski.pl