ZALICZENIE WSTEPU DO ANALIZY MATEMATYCZNEJ
zestaw przykladowy
Cze ść 1
1. A. Zbadać czy podana formula jest tautologia: ( p (" q) Ô! (p '" q).
B. Kt re spośr d podanych formul sa zdaniami (określić ich wartość logiczna), a kt re funkc-
jami zdaniowymi? Uzasadnić odpowiedz
.
"
" x2 = x;
x"
" x < y;
x" y"
" x2 + y > 0.
y"
C. Zapisać zaprzeczenie poniższej formuly i określić jej wartość logiczna:
(|x| < 1 Ò! x2 - x > 0).
x"
2. A. Wyznaczyć B oraz naszkicować A B jeśli A = (1, 2), B = [1, +").
B. Naszkicować zbi r C )" D, gdy
2 2
C = { x, y " : x2 + y2 + 2y < 0}, D = { x, y " : y - x2 > 0}.
|x + 1| + 2, gdy x d" 1,
3. Naszkicować wykres funkcji f, jeśli f(x) =
x3, gdy x > 1.
Wyznaczyć zbiory f[(-2, 0)], f[ ] oraz f-1[(0, 2]].
x
4. Rozwiazać nier wność: 2 - d" x.
x+1
Cze ść 2
1. Naszkicować wykres funkcji f, jeśli
|arctg x| , gdy x d" 1,
f(x) =
log3 x, gdy x > 1.
1
Obliczyć f(1) - f("3) i uzasadnić, że f nie jest funkcja r żnowartoÅ›ciowa/monotoniczna.
2. Uzasadnić, że f jest funkcja r żnowartościowa, jeśli
Ä„
f(x) = sin2 x + 1 dla x " (0, ).
2
Wyznaczyć funkcje odwrotna f-1 oraz jej dziedzine Df-1 .
10x + 1
3. Niech f(x) = log x, g(x) = x .
10x - 1
A. Wyznaczyć funkcje zlożone f ć% g oraz g ć% f.
B. Zbadać parzystość (nieparzystość) funkcji g.
C. Czy funkcja f : (1, +") jest surjekcja? Uzasadnić odpowiedz

4. Rozwiazać nier wność:
1 1
+ e" 1.
log x 1 - log x