EGZAMIN Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I Zestaw pr bny
(-1)n
1. Ciag o wyrazie og lnym an = jest
n2
A. monotoniczny; N /1-05
B. rozbieżny; N /1-05
C. posiada podciag zbieżny do 0. T /1-05
2. Jeśli lim an = 2 oraz lim bn = " , to
n" n"
"
n
A. lim bn = 1;
n"
1
n
B. lim (1 + )a = e;
n"
an
n
C. lim (an)b = ". T /1-05
n"
(-1)n
"
3. Szereg postaci
n
A. spelnia warunek konieczny zbieżności szereg w liczbowych;
B. jest zbieżny bezwzglednie;
C. jest szeregiem harmonicznym.
4. Nastepujace zdanie jest prawdziwe:
A. JeÅ›li ciag Sn = a1 + a2 + · · · + an jest zbieżny, to szereg an jest zbieżny. T /1-05
B. Jeśli lim an = 0, to szereg an jest zbieżny. N /1-05
n"
C. Jeśli promień zbieżności szeregu anxn wynosi r, to szereg anxn jest zbieżny dla x " [-r, r]. T /1-05
5. Wiadomo, że lim (f(x) + 2x) = 0. W wczas
x-"
A. prosta o r wnaniu y = -2x jest asymptota ukośna funkcji f w -"; T /1-05
B. prosta o r wnaniu y = 2x jest asymptota ukośna funkcji f w -"; N /1-05
C. funkcja g(x) = f(x) + 2x posiada asymptote ukośna w -". T /1-05
6. Niech f : [a, b] bedzie funkcja ciagla oraz f(a) = 1, f(b) = 3. W wczas
A. inf f(x) = 1; N /1-05
x"[a,b]
B. funkcja f może nie osiagać najmniejszej wartości w przedziale [a, b]; N /1-05
C. funkcja f nie posiada miejsca zerowych. N /1-05
7. Niech f : [a, b] bedzie funkcja r żniczkowalna. Funkcja f posiada w punkcie x0 " (a, b) minimum lokalne,
gdy
A. f(x) e" f(x0); T /1-05
x"[a,b]
B. f (x0) = 0, f (x) < 0 dla x < x0 oraz f (x) > 0 dla x > x0; T /1-05
C. f (x) < 0 dla x < x0 oraz f (x) > 0 dla x > x0. T /1-05
8. Niech f : [a, b] (0, +") bedzie funkcja r żniczkowalna. Jeśli f (x) < 0 dla każdego x " [a, b], to
A. funkcja f jest wklesla na przedziale [a, b]; N /1-05
1
B. funkcja g(x) = , x " [a, b], jest rosnaca na [a, b]; T /1-05
f(x)
C. sup f(x) = f(b). N /1-05
x"[a,b]
9. Jeśli funkcje f, g : [a, b] sa ciagle, to
A. ( f(x)dx) = f(x); T /1-05
B. f(x)g (x)dx = f(x)g(x)dx + f (x)g(x)dx, gdy f, g " C1[a, b];
b b b
C. f(x)g(x)dx = ( f(x)dx) · ( g(x)dx). N /1-05
a a a
10. Niech f(x) = e-x. W wczas
A. f(x)dx = e-x + C, C " ; N /1-05
1
B. (f(x) - 1)dx = |D| , gdzie D jest obszarem ograniczonym krzywymi y = f(x), y = 1, x = 0, x = 1; T
0
/1-05
1
C. f(c) = f(x)dx. T /1-05
c"[0,1]
0
Pytania otwarte:
1 1
I. Zbadać zbieżność szeregu sin . Sformulować wykorzystane kryterium.
n+1 n
II. Sformulować twierdzenie odwrotne do stwierdzenia:
Jeśli f jest funkcja ciagla w punkcie x0, to f jest r żniczkowalna w tym punkcie.
Kt re z nich jest prawdziwe? Uzasadnić odpowiedz
.
III. A. Podać definicje asymptoty ukośnej. Naszkicować wykres funkcji f : , jeśli wiadomo, że lim (f(x)+
x+"
x) = 0, lim f(x) = 1, i punkt x0 = 1 jest punktem nieciaglości funkcji f pierwszego rodzaju.
x1+
B. Naszkicować wykres funkcji f : , jeśli wiadomo, że f (2) = 0 oraz f (x) < 0 dla x " . Co można
powiedzieć o ekstremach lokalnych i punktach przegiecia wykresu tej funkcji?
1
x x
IV. Podać dwie funkcje pierwotne funkcji f(x) = i obliczyć dx. Sformulować warunek wystarczajacy
4-x2 4-x2
0
istnienia calki nieoznaczonej funkcji określonej na przedziale [a, b].
06