MODEL ODPOWIEDZI I SCHEMAT OCENIANIA
ARKUSZ I - POZIOM PODSTAWOWY
Numer Liczba
Etapy rozwiązania zadania Uwagi dla egzaminatorów
zadania punktów
Zapisanie warunku f (x) > g(x) i przekształcenie nierówności do
1.1 1
postaci - 3x2 + 2x +1 > 0 .
Obliczenie x, dla których lewa strona nierówności przyjmuje
1 1
1.2 1
wartość zero. x = - , x = 1 .
3
1
Rozwiązanie nierówności x " (- ,1) .
1.3 1
3
Wykorzystanie własności ciągu arytmetycznego do obliczenia
obrotów w trzecim kwartale k3 - k2 = k4 - k3 .
2.1 1
2.2 Obliczenie obrotów w trzecim kwartale k3=18 750zł. 1
2
Wykorzystanie własności ciągu geometrycznego do obliczenia
k2 k3
2.3 1
obrotów w pierwszym kwartale = .
k1 k2
2.4 Obliczenie obrotów w pierwszym kwartale: k1=12 000zł. 1
2.5 Obliczenie średniej miesięcznych obrotów: 5687,50zł. 1
3
Zapisanie i rozwiązanie warunku 3 - 2x e" 0 x d" .
3.1 1
2
3.2 1
Zapisanie warunku 2x3 - 5x2 - 8x + 20 `" 0.
Rozwiązanie warunku 2x3 - 5x2 - 8x + 20 `" 0
3
3.3 5 1
x `" 2 i x `" -2 i x `" .
2
3
Obliczenie dziedziny funkcji D = (-", > \{-2} .
3.4 1
2
3
Wyznaczenie równania prostej WA .
y = - x
4.1 1
4
Zastosowanie wzoru na odległość punktu od prostej do obliczenia
3 4
4.2 1
odległości punktu P od prostych i .
y = - x y = x
4 3
3
4
Obliczenie odległości punktu P od prostej .
d1 = 5
y = - x
4.3 1
4
4
Obliczenie odległości punktu P od prostej .
d2 = 5
y = x
4.4 1
3
Sprawdzenie czy d1=d2 i sformułowanie odpowiedzi konsekwentnej
4.5 1
do prowadzonych obliczeń .
Określenie znaku parametru a a < 0.
5.1 1
(ramiona paraboli skierowane w dół).
5.2 Określenie znaku parametru c c=f(0)>0. 1
Określenie znaku parametru b b>0.
- b
5.3 1
Przykładowe uzasadnienie: 0 < xw = i a < 0 .
5
2a
ab - c ab - c
Określenie znaku wyrażenia .
< 0
bc bc
5.4 1
ab - c
ab < 0 i - c < 0 i bc > 0 stąd .
< 0
bc
5.5 Określenie znaku wyrażenia - b2 4ac - b2 = -" < 0 . 1
4ac
6.1 Stwierdzenie, że prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej 1
wynosi 0,25.
6.2 Stwierdzenie, że P(B)+P(C)+P(N)=1, gdzie P(B), P(C), P(N) 1
oznaczają odpowiednio prawdopodobieństwa wylosowania kuli
białej, czarnej lub niebieskiej.
6.3 Zapisanie warunku 2P(N *" B) = P(N *" C) . 1
6
6.4 1 1
Wyznaczenie zależności między P(C) i P(N) P(C) = P(N) + .
2
6.5 5 1
Obliczenie P(C) P(C) = .
8
Przekształcenie równania do postaci, w której zmienna x znajduje się
po jednej stronie równania, a wyrazy wolne po drugiej stronie
7.1 1
równania i zapisanie liczb 911, 276 w postaci potęgi liczby 3.
Wyłączenie wspólnego czynnika poza nawias lub podzielenie obu
7
7.2 stron równania przez odpowiednią potęgę liczby 3. 1
1
Rozwiązanie równania x = .
7.3 1
27
Wykonanie rysunku pomocniczego z prawidłowo zaznaczonymi
8.1 kątami i wprowadzenie oznaczeń. 1
Wykorzystanie informacji o kątach do zapisania zależności między
wysokością wieży a odległością obserwatora od wieży
h
8.2 1
= 3 gdzie h-wysokość wieży, x-odlegość obserwatora od
x
8
wieży w chwili, gdy wieża jest widoczna pod kątem 600.
Wykorzystanie informacji o kątach do zapisania zależności między
wysokością wieży a odległością obserwatora od wieży
8.3 1
h
= 1 .
x + 20
8.4 Wyznaczenie równania z jedną zmienną h. (lub zmienną x). 1
8.5 Podanie wyniku i zaokrąglenie go do 1cm h=47,32m. 1
x 1- x
Zapisanie zależności = i założenia x<0,5, gdzie x
1- x 1
9.1 1
oznacza długość krótszej części odcinka powstałej w wyniku złotego
podziału odcinka o długości 1.
9.2 1
Doprowadzenie do postaci x2 - 3x +1 = 0 .
9
3 - 5 3 + 5
9.3 1
Rozwiązanie równania x1 = lub x2 = .
2 2
3 - 5
9.4 1
Uwzględnienie założenia x<0,5 i podanie odpowiedzi x1 = .
2
Wykonanie rysunku pomocniczego, wprowadzenie oznaczeń
10.1 1
i zaznaczenie na rysunku trójkąta prostokątnego.
10.2 Wyznaczenie długości przeciwprostokątnej: 2R = 16 . 1
Obliczenie długości jednej przyprostokątnej omawianego trójkąta
10.3 1
prostokątnego: 2R - 2r = 6 .
Wykorzystanie twierdzenia Pitagorasa do zapisania zależności:
10
(2r)2 = (2R - 2r)2 + x2 , gdzie R-promień walca, r-promień kuli,
10.4 1
x-różnica poziomów między środkami kul do wyznaczenia x: x=8.
Obliczenie minimalnej wysokości walca:
10.5 1
h=18.
Obliczenie objętości walca V: V = 1152Ą .
10.6 1
Wykorzystanie twierdzenia Pitagorasa do zapisania zależności
11.1 d12 = a2 + h2 d2 2 = b2 + h2 , gdzie a-dłuższa podstawa, b-krótsza 1
podstawa, h- wysokość trapezu, d1, d2 przekątne trapezu.
Wykorzystanie informacji o różnicy kwadratów długości
1.2 1
przekątnych do zapisania zależności a2-b2=21 .
11
Wykorzystanie twierdzenia Pitagorasa i obliczenie, że a-b=3.
11.3 1
Obliczenie sumy długości podstaw a+b=7.
11.4 1
Obliczenie pola trapezu P=14.
11.5 1
Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną metodą niż przedstawiona w schemacie przyznajemy maksymalną liczbę punktów.