plik


ÿþMariusz Próchniak Katedra Ekonomii II SzkoBa GBówna Handlowa w Warszawie E-mail: mproch@sgh.waw.pl Modele wzrostu gospodarczego MateriaB do zaj z przedmiotu  Teoria wzrostu 1 1. Wprowadzenie Poni|sze opracowanie zawiera przegld modeli wzrostu gospodarczego. Struktura tego opracowania jest zgodna z ogólnie przyjt konwencj podziaBu modeli wzrostu na modele neoklasyczne i endogeniczne, zaliczane do tzw. nowej teorii wzrostu. O ile ustalenie ogólnej struktury opracowania nie byBo problemem, o tyle trudno[ci pojawiBy si przy wyznaczaniu dokBadnego ksztaBtu niniejszego tekstu. WynikaBy one z obszerno[ci literatury dotyczcej omawianego tematu i z braku jednej powszechnie stosowanej klasyfikacji modeli wzrostu w ramach ka|dej z obu grup.1 W opracowaniu zdecydowali[my si przedstawi modele uznane za kluczowe w ramach ka|dej z grup. I tak, w grupie uj neoklasycznych zostaBy przedstawione  w swojej najbardziej typowej formie  modele Solowa, Ramseya i Diamonda, tj. trzy powszechnie powoBywane modele neoklasyczne. W grupie koncepcji endogenicznych omówione zostaBy modele Romera, Lucasa, Rebelo oraz Aghiona i Howitta, stanowice podstaw nowej teorii wzrostu. Na koDcu zaprezentowany zostaB model Mankiwa-Romera-Weila, którego nie mo|na zaliczy do uj endogenicznych, gdy| opiera si na modelu Solowa, lecz z racji uwzgldnienia kapitaBu ludzkiego zaliczany jest do nowej teorii wzrostu. Mimo |e w literaturze pojawia si wiele innych modeli z obu grup, to jednak w wikszo[ci opieraj si one lub rozszerzaj przedstawione tutaj najwa|niejsze podej[cia i m. in. dlatego nie uwzgldniamy ich w niniejszym opracowaniu. Opracowanie zawiera ogólne spojrzenie na kierunki rozwoju teorii wzrostu oraz szczegóBow analiz najwa|niejszych modeli. Opis poszczególnych modeli jest dokonywany wedBug podobnego schematu: poczwszy od zaBo|eD, poprzez metod rozwizania, a skoDczywszy na analizie stanu równowagi dBugookresowej oraz ewentualnie dynamiki okresu przej[ciowego. W szczególno[ci nacisk zostaB poBo|ony na pokazanie, jak odpowiedz daj modele wzrostu na nastpujce pytania: a) od czego zale|y dBugookresowy wzrost gospodarczy i ró|nice w poziomie dochodów midzy krajami; b) czy model potwierdza wystpowanie zjawiska konwergencji, a je[li tak, to jaki jest wspóBczynnik zbie|no[ci do stanu równowagi dBugookresowej; c) czy model dopuszcza wystpowanie zjawiska dynamicznej nieefektywno[ci. Tekst ten jest do[ sformalizowany. Wynika to std, |e ka|dy model starali[my si opisa bardzo szczegóBowo: poczwszy od zaBo|eD, a skoDczywszy na analizie stanu równowagi 1 Najwa|niejszymi publikacjami zawierajcymi przegld modeli wzrostu gospodarczego s: Barro, Sala-i-Martin (1995, 2003), Aghion, Durlauf (2005), Aghion, Howitt (1998) oraz Grossman, Helpman (1993). Struktura tego opracowania jest najbli|sza pierwszej z wy|ej wymienionych pozycji. 2 dBugookresowej i dynamiki okresu przej[ciowego. Jednak biorc pod uwag to, |e niektóre wzory matematyczne mog by maBo przejrzyste, w przypadku wa|niejszych równaD podajemy te| sBowne wyja[nienie ich znaczenia. Przedstawione w tym opracowaniu modele wzrostu gospodarczego s przede wszystkim dzieBem ekonomistów brytyjskich i amerykaDskich. Nie oznacza to jednak, |e wkBad polskich ekonomistów w teori wzrostu gospodarczego byB znikomy. Najbardziej znanym modelem wzrostu gospodarczego opracowanym przez polskiego ekonomist byB model Kaleckiego (1962), rozwinity nastpnie przez GomuBk, Ostaszewskiego i Daviesa (1990). Z modelu tego wynika, |e w krajach o niskich stopach innowacji (a do takich mo|na zaliczy kraje postsocjalistyczne) faktyczne tempo wzrostu gospodarczego mo|e by trwale ni|sze od potencjalnego, poniewa| produkcja jest ograniczana przez popyt. W takich warunkach gBównymi determinantami wzrostu PKB s czynniki popytowe. Zgodnie z rozszerzon wersj modelu Kaleckiego gospodarka napotka ograniczenia poda|owe dopiero wtedy, gdy stopa innowacji przekroczy pewn warto[ graniczn. Podej[cie Kaleckiego nie zyskaBo jednak tak szerokiej akceptacji jak np. model Solowa.2 Opracowanie skBada si z 4 punktów. Po wprowadzeniu, w punkcie 2 zostaBy omówione neoklasyczne modele Solowa, Ramseya i Diamonda. Punkt 3 przedstawia modele zaliczane do nowej teorii wzrostu: model learning-by-doing Romera, model Lucasa, model Rebelo, model Romera ze zwikszajc si liczb dóbr, model Aghiona-Howitta z poprawiajc si jako[ci dóbr oraz model Mankiwa-Romera-Weila. Punkt 4 zawiera najwa|niejsze wnioski. 2 WspóBczesnym wkBadem polskich ekonomistów do modelowania wzrostu gospodarczego s m. in. nastpujce teoretyczne opracowania: Tokarski (1996, 1998, 2002, 2003, 2007ab), Liberda (1996), DomaDski (2000), Welfe (2000), Panek (2005), Kruszewski (2006), Stanek (2006), Zajczkowska-Jakimiak (2006). 3 2. Modele neoklasyczne Pierwsze prace obejmujce swoj tematyk zagadnienia zwizane ze wzrostem gospodarczym pochodz z XVIII i XIX wieku. W tym okresie Adam Smith (1776 r.), Thomas Malthus (1798 r.), David Ricardo (1817 r.) oraz wiele lat pózniej Frank Ramsey, Allyn Young (oboje 1928 r.), Joseph Schumpeter (1934 r.) i Frank Knight (1944 r.) dostarczyli wiele elementów wykorzystywanych we wspóBczesnych modelach wzrostu. W swoich pracach analizuj oni m. in. doskonale konkurencyjne zachowania przedsibiorstw oraz równowag caBej gospodarki w ujciu dynamicznym. Omawiaj rol prawa malejcych przychodów w procesie akumulacji kapitaBu fizycznego i ludzkiego. Przedstawiaj wzajemne zale|no[ci midzy dochodem na 1 mieszkaDca a stop wzrostu liczby ludno[ci. Uwzgldniaj efekty postpu technicznego w postaci wzrostu specjalizacji pracy oraz odkrywania nowych dóbr i technologii. Wskazuj, |e monopolizacja mo|e by bodzcem do rozwoju technologicznego (Barro, Sala-i-Martin, 1995, s. 9). W niniejszym opracowaniu nie bdziemy zapuszcza si jednak w odlegB histori i skupimy si na wspóBczesnych modelach wzrostu. Pierwszym ekonomist, który sformalizowaB analiz zjawiska wzrostu gospodarczego, byB Robert Solow (Solow, 1956). Przedstawiony przez niego model, wprowadzajcy do teorii wzrostu neoklasyczn funkcj produkcji, zapocztkowaB er neoklasycznych modeli wzrostu gospodarczego. Neoklasyczna posta funkcji produkcji zakBadaBa staBe przychody ze skali oraz malejc kraDcow produkcyjno[ kapitaBu. Model Solowa a| po dzieD dzisiejszy stanowi podstaw teorii wzrostu. Trzeba jednak pamita, |e ju| wcze[niej pojawiBy si istotne prace z zakresu wspóBczesnej teorii wzrostu. W latach 1939 i 1946 zostaBy opublikowane prace Roya Harroda (Harrod, 1939) oraz Evseya Domara (Domar, 1946). Ekonomi[ci ci próbowali poBczy keynesowsk analiz gospodarki z elementami wzrostu gospodarczego. Zgodnie z modelem Harroda-Domara, tempo wzrostu gospodarczego jest wprost proporcjonalne do stopy inwestycji (równej stopie oszczdno[ci) i odwrotnie zale|ne od kraDcowej kapitaBochBonno[ci produkcji. Opisuje to nastpujce równanie: s gy = , k gdzie: gy  tempo wzrostu realnego PKB, s  stopa inwestycji (stopa oszczdno[ci), k  wspóBczynnik kapitaBochBonno[ci produkcji (nakBad inwestycji na jednostk przyrostu dochodu narodowego). 4 W 1928 r. zostaB opublikowany artykuB Franka Ramseya o optymalnym poziomie oszczdno[ci narodów. Obecnie model Ramseya jest powszechnie zaliczany do uj neoklasycznych. Jednak model ten uzyskaB znaczc akceptacj w[ród ekonomistów dopiero na pocztku lat sze[dziesitych, po pojawieniu si modelu Solowa, a wic okoBo 30 lat po swym powstaniu. Do grupy neoklasycznej zaliczamy równie| model Diamonda (Diamond, 1965). Modele neoklasyczne maj jedn wspóln wad. Otó| nie wyja[niaj one dobrze dBugookresowego wzrostu gospodarczego. Ten bowiem zale|y od szeroko rozumianego postpu technicznego, który ma charakter egzogeniczny. Po|dan wBasno[ci modelu wzrostu byBaby natomiast endogenizacja postpu technicznego, tak aby wzrost gospodarczy mo|na byBo wyja[nia w ramach modelu, a nie |eby pochodziB on z zewntrz. Koncepcje neoklasyczne (w swojej podstawowej postaci) nienajlepiej radz sobie tak|e z wyja[nianiem ró|nic w poziomie dochodów midzy krajami. Ró|nice w poziomach kapitaBu s w rzeczywisto[ci o wiele za maBe, |eby mo|na byBo mówi o wielko[ci kapitaBu fizycznego jako o przyczynie wystpowania ró|nic w dochodach. Na przykBad, z modelu Solowa wynika, |e je|eli produkt na 1 pracownika w Stanach Zjednoczonych jest 10-krotnie wy|szy ni| w Indiach, to odpowiada temu powinna 1000-krotna ró|nica w wielko[ci kapitaBu (przy 1 zaBo|eniu, |e cz[ dochodu przypadajca kapitaBowi wynosi /3). Tak du|e ró|nice w poziomach kapitaBu jednak nie wystpuj. Modele Ramseya (o nieskoDczonym horyzoncie czasowym) i Diamonda (dwupokoleniowy, o skoDczonym horyzoncie czasowym) ró|ni si od modelu Solowa tym, |e stopa oszczdno[ci nie jest egzogeniczna, lecz ksztaBtuje si endogenicznie w ramach modelu i zale|y od decyzji gospodarstw domowych co do optymalnego podziaBu swoich dochodów midzy konsumpcj i oszczdno[ci w poszczególnych okresach. Dziki uwzgldnieniu problemu maksymalizacji u|yteczno[ci podej[cia te pozwalaj lepiej analizowa kwestie dobrobytu ni| model Solowa, jednak w zasadniczych kwestiach, takich jak m. in. okre[lenie determinant dBugookresowego wzrostu gospodarczego, nie ró|ni si istotnie od niego. Przedstawimy teraz szczegóBowo trzy podstawowe modele neoklasyczne: model Solowa, model Ramseya oraz model Diamonda. 5 2.1. Model Solowa Model Solowa, nazywany równie| modelem Solowa-Swana, zostaB stworzony przez Roberta Solowa (Solow, 1956) i Trevora Swana (Swan, 1956). W niniejszym opracowaniu przedstawiamy model Solowa z postpem technicznym zasilajcym prac. Oznaczmy symbolem F funkcj produkcji. Czynnikami produkcji s: kapitaB fizyczny K(t) oraz efektywny zasób pracy A(t)L(t), bdcy iloczynem techniki (poziomu wiedzy) A(t) i liczby ludno[ci (siBy roboczej) L(t):3 F K t , A t L t . [1a.1] ( ) ( ) ( ) ( ) Funkcja produkcji wykazuje staBe przychody wzgldem obydwu czynników produkcji (kapitaBu i efektywnego zasobu pracy) oraz malejc kraDcow produkcyjno[ kapitaBu. Jedn z funkcji speBniajcych te zaBo|enia jest funkcja produkcji Cobba-Douglasa: 1-± ± F K t , A t L t = K t îøA t L t ùø , [1a.2] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ûø () ðø gdzie 0 < ± < 1. Technika oraz liczba ludno[ci rosn w staBych tempach, równych odpowiednio a i n, ksztaBtujcych si egzogenicznie:4 & & A t L t ( ) ( ) = a oraz = n . [1a.3] A t L t ( ) ( ) Przyrost kapitaBu jest równy inwestycjom (oszczdno[ciom) pomniejszonym o amortyzacj: & K t = sF K t , A t L t -´ K t , [1a.4] ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ) gdzie s to egzogeniczna stopa oszczdno[ci, a ´ jest stop amortyzacji kapitaBu. Analiz dynamiki gospodarki przeprowadzamy dla wielko[ci kapitaBu i produkcji na jednostk efektywnej pracy, oznaczonych odpowiednio k(t) i f(k(t)):5 F K, AL K ( ) ñø K AL ëøöø k a" oraz f k a" . [1a.5] ( ) ( ) ( )üø òø= F , = F k,1 = f k ýø ìø÷ø AL AL AL AL íøøø óøþø W celu znalezienia równania opisujcego dynamik gospodarki ró|niczkujemy wzgldem czasu definicj k (równanie [1a.5]) i nastpnie wykorzystujemy równania [1a.3], [1a.4] i [1a.5]. W efekcie otrzymujemy: 3 W swoim podstawowym modelu Robert Solow zakBadaB brak postpu technicznego  produkcja zale|aBa tylko od wielko[ci kapitaBu i pracy. Solow wprowadziB postp techniczny do funkcji produkcji w rozszerzonej wersji swojego modelu. Postp ten miaB jednak charakter neutralny (wedBug Hicksa), tzn. zmienna reprezentujca poziom techniki wystpowaBa w iloczynie z funkcj produkcji: A(t)·F(K(t),L(t)). W niniejszym opracowaniu analizujemy funkcj produkcji z postpem zasilajcym prac (neutralnym w sensie Harroda), gdy| taka specyfikacja funkcji produkcji charakteryzuje si lepszymi wBasno[ciami w analizie dynamiki modelu. Mo|na tak|e uwzgldnia funkcj produkcji z postpem technicznym zasilajcym kapitaB: F(A(t)K(t),L(t)). 4 Kropka nad dan zmienn oznacza jej pochodn po czasie. 5 W dalszej cz[ci opracowania pomijamy indeksy czasowe t przy zmiennych zale|nych od czasu w celu zachowania przejrzysto[ci przedstawianych obliczeD. 6 & k = sf k n + a +´ k . [1a.6] ( )-( ) Powy|sze równanie jest podstawow formuB opisujc dynamik gospodarki w modelu Solowa. Przyrost kapitaBu na jednostk efektywnej pracy jest równy faktycznym inwestycjom sf(k) pomniejszonym o inwestycje restytucyjne (n + a + ´)k. Uwzgldniajc to, |e kraDcowy produkt kapitaBu jest dodatni i maleje (f (k) > 0 i f (k) < 0), oraz fakt, |e brak nakBadów skutkuje brakiem produkcji (f(0) = 0), jak równie| wprowadzajc dodatkowe zaBo|enia co do po|danego ksztaBtu funkcji produkcji, tzw. warunki Inady (Inada, 1963) (limk’!"f (k) = 0; limk’!0f (k) = "), dynamik gospodarki oraz stan równowagi dBugookresowej mo|emy wyznaczy w postaci graficznej. Ilustruje to rysunek 1.1. Rysunek 1.1 Okres przej[ciowy i stan ustalony w modelu Solowa f k ( ) f k* ( ) n + a + ´ k ( ) c* sf k ( ) f k 0 ( ) ( ) & k & k & k sf k* ( ) k* k 0 k 1 k 2 k ( ) ( ) ( ) Równowaga dBugookresowa (stan ustalony)6 wystpuje w punkcie przecicia si krzywych sf(k) i (n + a + ´)k. W punkcie tym kapitaB i produkcja na jednostk efektywnej pracy nie zmieniaj si w czasie (z [1a.6] wynika bowiem, |e je[li sf(k) = (n + a + ´)k, to dk/dt = 0). Jak zatem w stanie ustalonym zmieniaj si PKB ogóBem (Y = F(K,AL)) i PKB na 1 mieszkaDca (Y/L)? W celu odpowiedzi na to pytanie nale|y zró|niczkowa wzgldem czasu równania definicyjne Y a" f(k)AL i Y/L a" f(k)A (zob. [1a.5]). W efekcie otrzymujemy: & & & & & & f k f& k ( ) YA LY / L ( ) A = + + oraz = + . [1a.7] Y f k A L Y / L f k A ( ) ( ) W stanie ustalonym produkcja na jednostk efektywnej pracy nie zmienia si (df/dt/f = 0), za[ technika i siBa robocza rosn w staBych tempach równych odpowiednio a i n. Doszli[my tym 6 Ang. steady-state, tBumaczony tak|e jako stan stacjonarny lub stan równowagi dynamicznej. 7 samym do dwóch wa|nych wniosków wynikajcych z modelu Solowa. W stanie równowagi dBugookresowej: 1) tempo wzrostu PKB jest równe sumie postpu technicznego oraz tempa wzrostu liczby ludno[ci, 2) tempo wzrostu PKB na 1 mieszkaDca jest równe postpowi technicznemu. Powy|sze wnioski wskazuj jednocze[nie na gBówn, wspomnian wcze[niej, sBabo[ modeli neoklasycznych, a mianowicie, |e wzrost gospodarczy zale|y od zmiennych egzogenicznych, ksztaBtujcych si poza modelem. Stan ustalony w modelu Solowa jest stabilny. Oznacza to, |e niezale|nie od pocztkowego poziomu kapitaBu (pomijajc k(0) = 0) gospodarka zawsze bdzie dochodziBa do stanu ustalonego. Je[li bowiem k(0) < k*, to sf(k) > (n + a + ´)k (zob. rysunek 1.1), k bdzie rosBo w czasie i w koDcu osignie poziom k*. W trakcie okresu przej[ciowego tempo wzrostu PKB (ogóBem i na 1 mieszkaDca) jest wy|sze ni| w stanie równowagi dBugookresowej, gdy| kapitaB i produkcja na jednostk efektywnej pracy rosn, a zatem df/dt/f > 0 we wzorach [1a.7]. Powy|sza wBasno[ modelu Solowa, wskazujca na szybsze tempo wzrostu gospodarczego w trakcie okresu przej[ciowego, ma bardzo wa|ne znaczenie ekonomiczne. Mianowicie, model Solowa potwierdza wystpowanie zjawiska konwergencji (zbie|no[ci) warunkowej (typu ²). Konwergencja (typu ²) oznacza, |e kraje sBabiej rozwinite (o ni|szym poziomie PKB per capita) wykazuj szybsze tempo wzrostu gospodarczego ni| kraje wy|ej rozwinite. Zbie|no[ potwierdzona przez model Solowa jest warunkowa, gdy| wystpuje tylko wtedy, gdy gospodarki d| do tego samego stanu równowagi dBugookresowej. W celu wykazania wystpowania zjawiska zbie|no[ci dzielimy równanie [1a.6] przez k i nastpnie ró|niczkujemy wzgldem k: & d k / k ( ) ëø f k öø f ' k Å" k - f k ( ) ( ) ( ) ddF / d(AL) = s -() n + a + ´ = s = -s < 0 . [1a.8] ìø÷ø dk dk k k2 k2 íøøø Równanie [1a.8] informuje, |e tempo wzrostu kapitaBu na jednostk efektywnej pracy maleje wraz ze wzrostem k (ujemna pochodna wzgldem k). Oznacza to, |e im wy|szy jest poziom kapitaBu i produkcji, tym ni|sze jest tempo wzrostu tych zmiennych, co wskazuje na wystpowanie zjawiska konwergencji. Wystpowanie zjawiska konwergencji mo|na tak|e wykaza za pomoc log-linearyzacji równania ruchu [1a.6], opisujcego dynamik gospodarki. Metoda ta pozwala obliczy wspóBczynnik szybko[ci zbie|no[ci, informujcy, jaki procent odlegBo[ci w kierunku stanu ustalonego gospodarka pokonuje w cigu jednego okresu. Przy zaBo|eniu, |e funkcja 8 produkcji jest typu Cobba-Douglasa o postaci f(k) = Bk± (B > 0), równanie [1a.6] mo|na zapisa jako: -1 & ln k = sBeln k± -( ) ) n + a + ´ = sBe(± -1)ln k -( n + a + ´ . [1a.9] Nastpnie stosujemy rozszerzenie Taylora pierwszego rzdu wokóB stanu ustalonego w celu znalezienia przybli|onej [cie|ki czasowej dla lnk: & d ln k & & ln k H" ln k*+ × ln k - ln k* = -1 n + a + ´ ln k - ln k* . [1a.10] () (± )( )() d ln k dla stanu ustalonego Rozwizanie równania ró|niczkowego [1a.10] jest nastpujce: ln k = ln k*+ ln k 0 ln k* e-(1-± )(n+a+´ )t , [1a.11] ( )- ( ) co w kategoriach produkcji na jednostk efektywnej pracy mo|na zapisa jako: ln y = ln y*+ ln y 0 ln y* e-(1-± )(n+a+´ )t . [1a.12] ( )- ( ) Definiujc: ² = 1-± )( ) n + a + ´ > 0 [1a.13] ( oraz ró|niczkujc [1a.12] wzgldem czasu, uzyskujemy: & y = ² ln y*-ln y . [1a.14] () y Równanie [1a.14] informuje, |e tempo wzrostu gospodarczego zale|y od odlegBo[ci dzielcej gospodark od jej stanu ustalonego. Parametr ² mierzy szybko[ zbie|no[ci. ² okre[la bowiem, jaki procent odlegBo[ci w kierunku stanu równowagi dBugookresowej gospodarka pokonuje w cigu jednego okresu. Przedstawimy teraz wpByw stopy oszczdno[ci na dynamik gospodarki. Otó| zgodnie z modelem Solowa egzogeniczna stopa oszczdno[ci nie wpBywa na tempo wzrostu gospodarczego w stanie równowagi dBugookresowej, lecz jedynie na poziom dochodu w równowadze (wy|sza stopa oszczdno[ci oznacza wy|sze poBo|enie funkcji sf(k) i w efekcie wy|szy poziom k*). WpByw zmian stopy oszczdno[ci na wzrost gospodarczy jest jedynie przej[ciowy  podwy|szenie stopy oszczdno[ci prowadzi do wy|szego tempa wzrostu w trakcie okresu przej[ciowego (kiedy gospodarka d|y do nowego stanu ustalonego). Model Solowa dopuszcza wystpowanie zjawiska dynamicznej nieefektywno[ci, a zatem gospodarka nie musi znalez si w punkcie optymalnym w sensie Pareta. Przyczyn tego jest egzogenicznie ksztaBtowana stopa oszczdno[ci, której zbyt wysoki poziom prowadzi do nadmiernej akumulacji kapitaBu w gospodarce. W celu znalezienia stopy oszczdno[ci maksymalizujcej wielko[ konsumpcji w warunkach równowagi dBugookresowej, 9 ró|niczkujemy c a" (1  s)f(k) wzgldem s, wykorzystujc fakt, |e w stanie ustalonym sf(k*) = (n + a + ´)k*: dc* dk* = f ' k* n + a + ´ . [1a.15] ( )-( )ds () ds Poniewa| dk*/ds > 0 (wzrost stopy oszczdno[ci zwiksza poziom k*), znak dc*/ds zale|y od wzajemnej relacji midzy f (k*) i (n + a + ´). Je|eli f (k*) < (n + a + ´), to w gospodarce wystpuje zjawisko dynamicznej nieefektywno[ci, gdy| wzrost konsumpcji mo|e nastpi w efekcie obni|ki stopy oszczdno[ci. Z [1a.15] wynika, |e stopa oszczdno[ci powinna obni|y si do poziomu, przy którym f (k*) = (n + a + ´). Wówczas konsumpcja jest maksymalna, a odpowiadajcy jej poziom kapitaBu nazywamy poziomem kapitaBu zgodnym ze zBot reguB.7 Podsumowujc, analiza modeli wzrostu gospodarczego obejmuje zarówno stan ustalony, który oznacza równowag dBugookresow, jak i etap przej[ciowy (tj. okres dochodzenia gospodarki do stanu ustalonego), który ma charakter krótkookresowy. Na przykBad, z przedstawionego tutaj modelu Solowa wynika, |e w stanie ustalonym tempo wzrostu gospodarczego jest równe sumie tempa postpu technicznego i tempa wzrostu liczby ludno[ci, co implikuje, |e te dwie zmienne s determinantami dBugookresowego wzrostu gospodarczego. Niemniej jednak, model Solowa mo|na tak|e zastosowa do analizy czynników wzrostu w krótkim okresie. Wzrost stopy oszczdno[ci (równej stopie inwestycji) powoduje wprowadzenie gospodarki na trajektori okresu przej[ciowego i skutkuje tymczasowym przyspieszeniem tempa wzrostu gospodarczego. Oznacza to, |e zgodnie z modelem Solowa zmiany stopy inwestycji s czynnikiem krótkookresowego wzrostu gospodarczego. W podobnych kategoriach mo|na analizowa wikszo[ pozostaBych modeli wzrostu gospodarczego. 7 Ang. golden rule: f (kGOLD) = n + a + ´. Jak wida, zgodnie ze zBot reguB kraDcowy produkt kapitaBu musi si równa sumie tempa wzrostu liczby ludno[ci, postpu technicznego i stopy amortyzacji. Wówczas styczna do funkcji produkcji f(k) na rysunku 1.1 jest równolegBa do linii (n + a + ´)k i w efekcie wielko[ konsumpcji jest maksymalna. 10 2.2. Model Ramseya8 Model Ramseya zawdzicza sw nazw Frankowi Ramseyowi, brytyjskiemu ekonomi[cie, który w 1928 r. opublikowaB artykuB o optymalnym poziomie oszczdno[ci (Ramsey, 1928). Ujcie Ramseya zostaBo rozwinite przez Davida Cassa i Tjallinga Koopmansa (Cass, 1965; Koopmans, 1965) i dlatego nosi równie| nazw modelu Ramseya-Cassa-Koopmansa. GBówna ró|nica midzy modelem Ramseya a modelem Solowa dotyczy ksztaBtowania si stopy oszczdno[ci. Stopa oszczdno[ci, która w teorii Solowa byBa egzogeniczna, w podej[ciu Ramseya ksztaBtuje si endogenicznie na podstawie decyzji optymalizacyjnych podejmowanych przez maksymalizujce u|yteczno[ gospodarstwa domowe. W niniejszej pracy przedstawimy analiz modelu Ramseya dla gospodarki doskonale konkurencyjnej. ZakBadamy  podobnie jak w modelu Solowa  |e technika i siBa robocza rosn w staBym tempie, równym odpowiednio a i n (tzn. A(t) = A(0)eat; L(t) = L(0)ent). Funkcja produkcji wykazuje staBe przychody wzgldem obu czynników produkcji (kapitaBu fizycznego i efektywnej pracy), charakteryzuje si malejc produkcyjno[ci ka|dego czynnika i speBnia warunki Inady. Przedsibiorstwa wytwarzaj homogeniczny produkt zgodnie z funkcj produkcji F(K, AL). Czynniki produkcji (praca i kapitaB) s nabywane od gospodarstw domowych po cenach równych odpowiednio r + ´ i w (r  stopa procentowa, w  stawka pBacy). Przedsibiorstwa d| do maksymalizacji zysku: À = F K, AL r + ´ K - wL ’! max. [1b.1] ( )-( ) Warunki pierwszego rzdu dÀ/dK = 0 i dÀ/dL = 0 prowadz do standardowych równaD zrównujcych kraDcowy produkt danego czynnika z jego cen, co w przeliczeniu na jednostk efektywnej pracy mo|na zapisa: r = f ' k [1b.2] ( )- ( )ûø ( )-´ oraz w = Aîø f k kf ' k ùø . ðø Analiza zachowaD gospodarstw domowych jest bardziej skomplikowana. Ludzie |yj nieskoDczenie dBugo. Ka|da dorosBa osoba dostarcza na rynek jedn jednostk pracy niezale|nie od wysoko[ci pBac. W gospodarce jest N gospodarstw domowych (N = const.), które rozrastaj si (tzn. zwikszaj liczb swoich czBonków) w tempie n. Celem konsumentów jest maksymalizacja u|yteczno[ci z konsumpcji w cigu caBego |ycia. Funkcj u|yteczno[ci gospodarstwa domowego mo|na zapisa nastpujco: 8 Analiza modelu Ramseya i wikszo[ci nastpnych modeli wzrostu wymaga znajomo[ci rachunku ró|niczkowego, rachunku wariacyjnego i teorii sterowania. Opis tych procedur matematycznych znajduje si m. in. w: Chiang (1992, 1994), Klein (1998). 11 " L -Át U = u cpc dt , [1b.3] ( ) +"e N 0 gdzie u(cpc) to u|yteczno[ z konsumpcji osigana przez jedn osob9, L/N to liczba czBonków jednego gospodarstwa domowego, a Á jest stop preferencji czasowych (Á > 0). Im wy|sze Á, tym wy|sz warto[ gospodarstwa domowe przywizuj do bie|cej konsumpcji. ZakBadamy, |e kraDcowa u|yteczno[ jest dodatnia i maleje (u (c) > 0; u (c) < 0) oraz |e funkcja u|yteczno[ci speBnia warunki Inady (limc’!"u (c) = 0; limc’!0u (c) = "). Podstawiajc L(t) = L(0)ent, dzielc u|yteczno[ przez L(0)/N = const. i przyjmujc, i| funkcja u|yteczno[ci jest typu CRRA10, problem optymalizacyjny konsumenta mo|emy sformuBowa nastpujco: " c1-à -1 n-Á t pc U = +"e( ) dt ’! max. 1-à 0 [1b.4] & p.w. (a) kpc = w + rkpc - cpc - nkpc ; (b) k 0 > 0 dane. ( ) Warunek ograniczajcy w równaniu [1b.4] to ograniczenie bud|etowe11, zgodnie z którym przyrost kapitaBu na 1 mieszkaDca jest równy dochodom (z pracy i kapitaBu) pomniejszonym o konsumpcj i o skBadnik wynikajcy z ogólnego wzrostu liczby ludno[ci kraju. Aby caBka byBa zbie|na, zakBadamy dodatkowo Á > n. W celu rozwizania [1b.4] nale|y skonstruowa hamiltonian warto[ci zaktualizowanej: c1-à -1 pc H =+¸ w + rkpc - cpc - nkpc [1b.5] () 1-à i nastpujce warunki pierwszego rzdu: "H "H "H & = 0 ; ¸& = ¸ Á - n [1b.6] ( )- ; kpc = ; lim e(n-Á)tkpc¸ = 0 , t’!" "cpc "kpc "¸ gdzie ostatni warunek to tzw. warunek transwersalno[ci. Zmienna ¸, która pojawiBa si w 9 Nale|y rozró|ni zmienne na 1 mieszkaDca (per capita) od zmiennych na jednostk efektywnej pracy. Te pierwsze s oznaczone indeksem dolnym  cp i powstaj po podzieleniu wielko[ci caBkowitych przez liczb ludno[ci L. Natomiast zmienne na jednostk efektywnej pracy uzyskujemy dzielc wielko[ci caBkowite przez zasób efektywnej pracy AL. 10 W modelach optymalizacyjnych stosuje si najcz[ciej dwa typy funkcji u|yteczno[ci: CRRA (constant relative risk aversion) i CARA (constant absolute risk aversion). Funkcje te maj nastpujc posta: c1-à -1 1 CRRA: u c = dla à > 0,à `" 1 oraz u c = ln c dla à = 1; CARA: u c =- e-³ c dla ³ > 0 . ( ) ( ) ( ) 1-à ³ Dla funkcji CRRA elastyczno[ substytucji ( u (c)/u (c)c) wynosi 1/Ã, za[ elastyczno[ kraDcowej u|yteczno[ci wzgldem konsumpcji (u (c)c/u (c)) jest równa  Ã. Dla funkcji CARA wielko[ci te wynosz (³c) 1 i  ³c. Nazwy obu funkcji wynikaj z faktu, i| w przypadku funkcji CRRA miara Arrowa-Pratta wzgldnej awersji do ryzyka ( u (c)c/u (c)) jest staBa i równa Ã, za[ w przypadku funkcji CARA miara Arrowa-Pratta absolutnej awersji do ryzyka ( u (c)/u (c)) jest staBa i równa ³. 11 W celu znalezienia ograniczenia bud|etowego wykorzystujemy równanie PKB: Y = C + dK/dt + ´K oraz fakt, |e w gospodarce doskonale konkurencyjnej brak jest zysków w dBugim okresie: Y = (r + ´)K + wL. Dzielc oba równania przez L i przyrównujc do siebie, uzyskujemy ograniczenie bud|etowe. 12 [1b.5], to zmienna sprz|ona z równaniem ruchu na kapitaB. Wycenia ona oszczdno[ci gospodarstw domowych, tzn. wskazuje, jak oszczdno[ci w danym okresie przyczyniaj si do wzrostu u|yteczno[ci w kolejnych okresach (poprzez wpByw na przyszBy wzrost konsumpcji). Warunek transwersalno[ci informuje, |e na koniec okresu (gdy t ’! ") postpujce optymalnie gospodarstwo domowe powinno pozby si caBego kapitaBu albo te| pozostawiony kapitaB nie powinien posiada |adnej warto[ci. Rozwizujc [1b.6], uzyskujemy nastpujce równania charakteryzujce dynamik zachowaD gospodarstw domowych: & cpc r - Á & = ; kpc = w + rkpc - cpc - nkpc ; lim¸ 0 kpce(n-r)t = 0 . [1b.7] ( ) t’!" cpc à Pierwsze z równaD [1b.7] to równanie Eulera informujce, |e konsumpcja ro[nie w czasie, je|eli stopa procentowa jest wy|sza ni| stopa preferencji czasowych, tzn. je|eli przychód z oszczdno[ci netto przewy|sza spadek u|yteczno[ci zwizany z przeniesieniem konsumpcji na nastpny okres. O sile tego oddziaBywania decyduje elastyczno[ substytucji 1/Ã. Aczc wyniki optymalizacji przedsibiorstw ([1b.2]) i gospodarstw domowych ([1b.7]), otrzymujemy ostateczne równania opisujce dynamik gospodarki w modelu Ramseya: f ' k & ( )-´ - Á - aà c & = ; k = f k c -( ) ( ) ( ) ( )- n + a + ´ k ; lim¸ 0 A 0 ke(n- f '(k)+´ +a)t = 0 . [1b.8] t’!" c à Dwa pierwsze równania to równania ruchu dla konsumpcji i kapitaBu na jednostk efektywnej pracy, trzecie za[ równanie jest warunkiem transwersalno[ci. Stan równowagi dBugookresowej, otrzymany przez przyrównanie równaD ruchu dla c i k do zera, charakteryzuj nastpujce warunki: f ' k* = ´ + Á + aà oraz c* = f k* n + a +´ k* [1b.9] , ( ) ( )-( ) powikszone o warunek transwersalno[ci, z którego wynika, |e Á > n + a(1  Ã). Graficzn posta otrzymanych wyników przedstawia rysunek 1.2. Stan ustalony znajduje si w punkcie przecicia krzywych dc/dt = 0 i dk/dt = 0. Jest on punktem siodBowym, poBo|onym na jednej trajektorii stabilnej i jednej niestabilnej. Gospodarka startujca z pocztkowego poziomu kapitaBu k(0) zawsze mo|e osign stan ustalony pod warunkiem, |e w okresie pocztkowym zostanie wybrany poziom konsumpcji c(0)S, który wprowadzi gospodark na trajektori stabiln T2T2. Je|eli poziom konsumpcji bdzie za niski (np. c(0)M), to gospodarka bdzie zmierzaBa do punktu na osi odcitych, za[ gdy poziom konsumpcji bdzie za wysoki (np. c(0)D), gospodarka dojdzie do punktu na osi rzdnych i skokowo wróci do pocztku ukBadu wspóBrzdnych. Oba te przypadki 13 wykluczamy, gdy| nie speBniaj albo warunku transwersalno[ci, albo równania ruchu zmiennej c. Rysunek 1.2 Okres przej[ciowy i stan ustalony w modelu Ramseya & c = 0 c T 2 c* B & k = 0 D c 0 ( ) S c 0 ( ) A M T 2 c 0 ( ) k* kGOLD k 0 k ( ) W równowadze dBugookresowej kapitaB, konsumpcja i produkcja na jednostk efektywnej pracy s staBe. Oznacza to, |e tempo wzrostu PKB jest równe sumie postpu technicznego oraz tempa wzrostu liczby ludno[ci (czyli zmiennych ksztaBtowanych egzogenicznie), a tempo wzrostu PKB na 1 mieszkaDca jest równe postpowi technicznemu. Model Ramseya daje zatem tak sam odpowiedz jak model Solowa na pytanie o przyczyny dBugookresowego wzrostu gospodarczego. Model Ramseya  w przeciwieDstwie do modelu Solowa  jest optymalny w sensie Pareta. Endogeniczna stopa oszczdno[ci uniemo|liwia nadmiern akumulacj kapitaBu i tym samym zapobiega pojawieniu si zjawiska dynamicznej nieefektywno[ci. Formalny dowód wystpowania optymalno[ci w sensie Pareta wymaga rozwizania problemu optymalizacyjnego centralnego planisty, który maksymalizuje u|yteczno[ wszystkich osób przy ograniczeniu w postaci równania ruchu na kapitaB: " c1-à -1 pc - Át U = [1b.10] +"e 1-à L(0)entdt ’! max. 0 & p.w. (a) k = f k c -( ) ( ) ( )- n + a +´ k ; (b) k 0 > 0 dane. Rozwizujc [1b.10] przy u|yciu hamiltonianu i odpowiednich warunków pierwszego rzdu, dochodzimy do równaD, które s identyczne jak równania [1b.8] opisujce dynamik gospodarki doskonale konkurencyjnej. 14 Dynamiczn efektywno[ modelu Ramseya mo|na odczyta z analizy wykresu fazowego. Na rysunku 1.2 kGOLD jest poziomem kapitaBu maksymalizujcym konsumpcj, czyli zgodnym ze zBot reguB: f (kGOLD) = n + a + ´. Zasób kapitaBu w stanie ustalonym w modelu Ramseya jest natomiast wyznaczony na podstawie równania: f (k*) = ´ + Á + aÃ. Poniewa| z warunku transwersalno[ci wynika, |e Á + aà > n + a, poziom kapitaBu w stanie równowagi dBugookresowej w modelu Ramseya jest zawsze ni|szy od poziomu zgodnego ze zBot reguB. Ten ni|szy poziom kapitaBu nosi nazw zmodyfikowanej zBotej reguBy. Im wy|sze Á, tym wiksza jest ró|nica midzy poziomem kapitaBu maksymalizujcym konsumpcj a poziomem kapitaBu w zmodyfikowanej zBotej regule. Model Ramseya  podobnie jak model Solowa  potwierdza wystpowanie zjawiska konwergencji warunkowej. W celu okre[lenia szybko[ci zbie|no[ci log-linearyzujemy równanie [1b.8] przy upraszczajcym zaBo|eniu, |e funkcja produkcji jest typu Cobba- Douglasa, f(k) = k±. Równania ruchu dla kapitaBu i konsumpcji na jednostk efektywnej pracy bd miaBy zatem nastpujc posta: 1 (± -1 ln k ) & & ln k = e(± -1)ln k - eln ce-ln k -() n + a +´ ; ln c = (±e -´ - Á - aÃ). [1b.11] à Stosujc dla powy|szego ukBadu równaD ró|niczkowych rozszerzenie Taylora pierwszego rzdu wokóB stanu ustalonego, uzyskujemy warto[ci wBasne macierzy charakterystycznej o ró|nych znakach (»1 > 0, »2 < 0), co oznacza, i| stan ustalony ma charakter [cie|ki siodBowej: 2 -1 îø± ()-( )ùø ± -1() Á ( ) ( ) ( - n - a 1-à ± Á - n - a 1-à - 4 ´ + Á +à a n + a + ´ ´ + Á +à a ) () ðøûø > à . [1b.12] »1,2 = 0 2 < {eby wyznaczy siB efektu zbie|no[ci, rozwizanie ogólne ukBadu równaD [1b.11] dla lnk: lnk = lnk* + A1e»1t + A2e»2t przeksztaBcamy do postaci okre[lonej, podstawiajc A1 = 0 (poniewa| w przeciwnym przypadku warunek transwersalno[ci albo równanie ruchu zmiennej c nie s speBnione) i wyliczajc A2 z warunku pocztkowego. Wykorzystujc nastpnie fakt, |e y = k±, otrzymujemy: ln y*- ln y = ln y*- ln y 0 e-²t , [1b.13] ( ) ( ) gdzie ² a"  »2 > 0 jest parametrem decydujcym o szybko[ci zbie|no[ci do stanu ustalonego: 2 1 1 -1 îø± ()-( )ùø ± -1() ( ) . [1b.14] ² = Á - n - a 1-à - 4 ´ + Á +à a n + a + ´ ´ + Á +à a - ( - n - a 1-à Á ( ) () ) ðøûø 22 à Po zró|niczkowaniu [1b.13] wzgldem czasu tempo wzrostu gospodarczego mo|na zapisa nastpujco: 15 & y = ² ln y*-ln y . [1b.15] () y Równania [1b.14] i [1b.15] s analogiczne do równaD [1a.13] i [1a.14], charakteryzujcych zjawisko konwergencji wyja[niane przez model Solowa. Równanie [1b.15] wskazuje, |e tempo wzrostu gospodarczego maleje wraz ze zbli|aniem si gospodarki do stanu ustalonego, a parametr ², okre[lony wzorem [1b.14], decyduje o szybko[ci zbie|no[ci. 16 2.3. Model Diamonda Model Diamonda  w przeciwieDstwie do prac Solowa i Ramseya  charakteryzuje si skoDczonym horyzontem czasowym i uwzgldnia zmiany demograficzne. Modele takie, okre[lane tak|e jako OLG (ang. overlapping-generations models), powstaBy dziki pracom Paula Samuelsona (Samuelson, 1958) i Petera Diamonda (Diamond, 1965). Podej[cie Samuelsona ró|ni si od przedstawionej tutaj koncepcji Diamonda tym, |e nie obejmuje akumulacji kapitaBu.12 Model Diamonda uwzgldnia zmiany demograficzne: rodz si wci| mBode pokolenia (jednostki), a stare cigle odchodz. Gospodarstwa domowe |yj przez dwa okresy. W pierwszym okresie ich czBonkowie s mBodzi, pracuj, osigaj dochód, który dziel midzy bie|c konsumpcj i oszczdno[ci. Oszczdno[ci powikszone o odsetki sBu| do finansowania konsumpcji w drugim okresie, kiedy ludzie s starzy i nie pracuj. Pomimo powy|szych modyfikacji, model Diamonda podobnie jak modele Solowa i Ramseya wyja[nia dBugookresowy wzrost gospodarczy i dlatego jest zaliczany do modeli neoklasycznych. Scharakteryzujemy teraz model Diamonda dla gospodarki doskonale konkurencyjnej. Poziom techniki i siBa robocza rosn w staBym tempie, równym odpowiednio a i n:13 At = At 1(1 + a) oraz Lt = Lt 1(1 + n). Funkcja produkcji F(Kt,AtLt) wykazuje staBe przychody wzgldem kapitaBu i efektywnego zasobu pracy, charakteryzuje si malejc kraDcow produkcyjno[ci ka|dego czynnika oraz speBnia warunki Inady. Analiza zachowaD przedsibiorstw w modelu Diamonda jest identyczna jak w modelu Ramseya. Warunkiem maksymalizacji zysku jest zrównanie kraDcowego produktu danego czynnika z jego cen (por. [1b.2]): rt = f ' kt [1c.1] ( )- ( )ûø ( )-´ oraz wt = At Å" îø f kt kt f ' kt ùø . ðø Przejdziemy teraz do analizy zachowaD gospodarstw domowych. Oznaczmy przez c1t konsumpcj mBodej osoby, a przez c2t konsumpcj osoby starej w okresie t. Niech Á > 0 bdzie stop preferencji czasowych. Funkcja u|yteczno[ci poszczególnych osób jest sum u|yteczno[ci z konsumpcji dóbr w obu okresach |ycia (mBodo[ci i staro[ci):14 1 1 c1t-à -1 1 c1-à -1 2t+1 Ut = u c1t + u c2t+1 = + . [1c.2] ( )1+ Á ( ) 1-à 1+ Á 1-à 12 Nieco innym modelem o skoDczonym horyzoncie czasowym jest model Blancharda (Blanchard, 1985). 13 Poniewa| w modelu Diamonda jednostki |yj przez dwa okresy, do jego analizy u|ywa si czasu dyskretnego, a nie  jak we wcze[niejszych modelach  czasu cigBego. Wszystkie zmienne musz by zatem oznaczone indeksem dolnym, wskazujcym na odpowiedni okres. Trzeba pamita, aby nie uto|samia jednego okresu z jednym rokiem. Jeden okres w modelu Diamonda odpowiada dBugo[ci |ycia jednego pokolenia, tj. ok. 30 lat. 14 Konsumpcja ludzi mBodych urodzonych w okresie t to c1t. Osoby urodzone w okresie t s jednak stare w nastpnym okresie, t + 1, tote| ich konsumpcja w okresie staro[ci jest zapisywana jako c2t+1. 17 U|yteczno[ z okresu staro[ci jest dyskontowana stop preferencji czasowych, co oznacza, |e jednostki preferuj konsumpcj w okresie mBodo[ci. Ka|da mBoda osoba pracuje, dostarczajc na rynek jedn jednostk pracy. Uzyskany dochód wt przeznacza na konsumpcj w okresie mBodo[ci c1t i na oszczdno[ci stwt (st  stopa oszczdno[ci). Oszczdno[ci powikszone o odsetki sBu| do finansowania konsumpcji w okresie staro[ci: c2t+1 = (1 + rt+1)stwt. A zatem ograniczeniem bud|etowym gospodarstwa domowego jest: 1 c1t + c2t+1 = wt . [1c.3] 1+ rt+1 Gospodarstwa domowe maksymalizuj u|yteczno[ z konsumpcji w obu okresach |ycia ([1c.2]) przy ograniczeniu bud|etowym ([1c.3]). W celu rozwizania tego problemu optymalizacyjnego nale|y skonstruowa funkcj Lagrange a: 1 ëøöø c1t-à -1 1 c1-à -1 1 2t+1 l =+ + » c1t + c2t+1 - wt ÷ø [1c.4] ìø 1-à 1+ Á 1-à 1+ rt+1 íøøø i odpowiednie warunki pierwszego rzdu: "l / "c1t = 0 ; "l / "c2t+1 = 0 ; "l / "» = 0 . [1c.5] Rozwizujc dwa pierwsze z powy|szych warunków i dzielc je przez siebie uzyskujemy równanie wskazujce na optymalny podziaB konsumpcji w obu okresach |ycia jednostek: 1 c2t+1 ëø1+ rt+1 öøà = . [1c.6] ÷ø c1t ìø 1+ Á íø øø Równanie [1c.6] jest bardzo podobne do pierwszego z równaD [1b.7] w modelu Ramseya. Obie formuBy wskazuj, |e kierunek zmian konsumpcji w czasie zale|y od wzajemnej relacji midzy stop procentow a stop preferencji czasowych. Je|eli stopa procentowa jest wy|sza ni| stopa preferencji czasowych, to konsumpcja ro[nie w czasie; je|eli ni|sza  konsumpcja maleje w czasie; za[ je[li rt+1 = Á, wówczas konsumpcja w czasie jest staBa. Elastyczno[ substytucji funkcji u|yteczno[ci 1/à informuje o sile oddziaBywania ró|nicy midzy stop procentow a stop preferencji czasowych na zmiany konsumpcji w czasie. Podstawiajc c2t+1, uzyskane z równania [1c.6], do ograniczenia bud|etowego [1c.3] i wykorzystujc nastpnie fakt, |e c1t = (1  st)wt, uzyskujemy stop oszczdno[ci: 1-à à (1+ rt +1) s(rt +1)= . [1c.7] 1 1-à à à (1+ Á) + (1+ rt +1) Stopa oszczdno[ci nale|y do przedziaBu (0;1). {eby okre[li, jak si ona zmienia pod wpBywem zmian stopy procentowej, ró|niczkujemy [1c.7] wzgldem rt+1: 18 2 1-2à 1 1 1-à ds rt+1 ëøöø ëø ( ) 1-à à à = 1+ rt+1 à 1+ Á / 1+ Á + 1+ rt+1 à öø . [1c.8] ( ) ( ) ( ) ( ) ÷ø ìø ÷ø drt+1 ìø à íøøø íø øø Powy|sze równanie wskazuje, |e wpByw stopy procentowej na oszczdno[ci zale|y od tego, czy à jest wiksza czy mniejsza od jedno[ci. Je|eli à < 1, stopa oszczdno[ci ro[nie pod wpBywem wzrostu stopy procentowej; je|eli à > 1, stopa oszczdno[ci maleje wraz ze wzrostem stopy procentowej; je|eli à = 1, stopa oszczdno[ci nie zale|y od r. Jak zatem wida, wzrost stopy procentowej wywoBuje potencjalnie dwa efekty: substytucyjny i dochodowy. Przejdziemy teraz do analizy dynamiki caBej gospodarki. Oznaczmy przez Ct Bczn konsumpcj wszystkich osób |yjcych w okresie t. Poniewa| w okresie t |yje Lt mBodych jednostek i Lt 1 starych jednostek, Ct = c1tLt + c2tLt 1. Przyrost kapitaBu Kt+1  Kt to inwestycje It pomniejszone o amortyzacj kapitaBu ´Kt. Przedsibiorstwa w dBugim okresie nie osigaj zysków, a zatem produkcja jest równa sumie wynagrodzeD czynników wytwórczych: Yt = wtLt + (rt + ´)Kt. Wykorzystujc powy|sze zale|no[ci, to|samo[ dochodu Yt = Ct + It mo|na zapisa jako: wLt + rtKt + ´ Kt = c1tLt + c2tLt-1 + Kt+1 - Kt + ´ Kt . [1c.9] t Konsumpcja osób starych musi si równa ich oszczdno[ciom, czyli kapitaBowi w danym okresie powikszonym o odsetki: c2tLt 1 = Kt(1 + rt). A zatem, równanie [1c.9] przeksztaBca si do postaci: Kt+1 = stwtLt . [1c.10] Powy|szy wzór wskazuje, |e Bczna wielko[ oszczdno[ci spoBeczeDstwa w okresie t jest równa wielko[ci kapitaBu w nastpnym okresie. Równanie [1c.10] przeliczone na jednostk efektywnej pracy jest nastpujce: kt+1 = stwtLt / îøAtLt 1+ a 1+ n ùø . [1c.11] ( ) ( )( )ûø ðø Wykorzystujc [1c.7] i [1c.1], z [1c.11] uzyskujemy ostateczne równanie ruchu opisujce dynamik gospodarki w modelu Diamonda: 1-à ëøöø 1+ f ' kt+1 à ÷ø ( )-´ () 1 1 ìø kt+1 = f kt kt f ' kt . [1c.12] ( )- ( ) () 1-à 1 ìø÷ø 1+ a 1+ n ìø à 1+ Á + 1+ f ' kt+1 à ÷ø ( ) ( )-´ () íøøø Powy|sze równanie jest nieliniowym równaniem ró|nicowym opisujcym dynamik kapitaBu na jednostk efektywnej pracy. Dla ka|dej wielko[ci k w okresie t równanie to okre[la w sposób uwikBany warto[ k w okresie t + 1. Poniewa| równanie [1c.12] okre[la 19 zale|no[ midzy kt a kt+1 w sposób uwikBany, w celu znalezienia równowagi dBugookresowej i dynamiki okresu przej[ciowego nale|y rozpatrywa konkretne postacie funkcji produkcji i funkcji u|yteczno[ci. ZaBó|my, |e funkcja produkcji jest typu Cobba-Douglasa f(kt) = Bkt± (B > 0), a funkcja u|yteczno[ci jest logarytmiczna (à = 1). W takim przypadku [1c.12] upraszcza si do postaci: 1 1 1 kt+1 = kt± a" ˜kt± , ˜ > 0 . [1c.13] B 1-± ) ( 1+ a 1+ n 2 + Á W stanie równowagi dBugookresowej kapitaB na jednostk efektywnej pracy jest staBy, a zatem: kt = kt+1 = k*. Wykorzystujc ten fakt, z równania [1c.13] otrzymujemy wielko[ kapitaBu na jednostk efektywnej pracy w stanie ustalonym: 1 1-± ëø 1 1 1 k* = . [1c.14] ( )öø ìø1+ a 1+ n 2 + Á B 1-± ÷ø íøøø Rysunek 1.3 ilustruje rozwizanie równania [1c.13] w postaci graficznej. Rysunek 1.3 Okres przej[ciowy i stan ustalony w modelu Diamonda kt+1 45° kt+1 = ˜kt± k* k2 k1 kt k0 k1 k2 k* Rysunek 1.3 przedstawia kt+1 jako funkcj kt. Stan ustalony znajduje si w punkcie przecicia tej funkcji z lini 45°. Poniewa| funkcja kt+1 jest rosnca, wypukBa ku górze i speBnia warunki Inady, przecina ona lini 45° od góry i tylko raz. Oznacza to, |e wystpuje jeden stabilny stan równowagi dBugookresowej (pomijajc k* = 0). A zatem, z ka|dego pocztkowego poziomu kapitaBu (wyBczajc k0 = 0) gospodarka zbiega do stanu ustalonego. W równowadze dBugookresowej kapitaB, konsumpcja i produkcja na jednostk efektywnej pracy s staBe. Oznacza to, |e tempo wzrostu PKB jest równe sumie postpu technicznego oraz tempa wzrostu liczby ludno[ci, a tempo wzrostu PKB na 1 mieszkaDca jest równe postpowi technicznemu. A zatem, model Diamonda w taki sam sposób jak modele Solowa i 20 Ramseya okre[la determinanty dBugookresowego wzrostu gospodarczego.15 Gospodarka doskonale konkurencyjna w modelu Diamonda jest dynamicznie nieefektywna, mimo wystpowania endogenicznej stopy oszczdno[ci. Dynamiczna nieefektywno[ wynika z dwóch powodów. Po pierwsze, w modelu wystpuj zmiany demograficzne: gospodarstwa domowe |yj przez dwa okresy, podczas gdy gospodarka rozwija si w nieskoDczono[. Po drugie, stawka pBacy zmienia si wraz z wiekiem  osoby mBode otrzymuj wynagrodzenie równe w, za[ wynagrodzenie osób starych, którzy nie pracuj, wynosi zero. Te dwa czynniki powoduj, |e w gospodarce mo|liwa staje si nadmierna akumulacja kapitaBu. W celu wykazania dynamicznej nieefektywno[ci rozwa|my problem optymalizacyjny centralnego planisty, który maksymalizuje konsumpcj na 1 mieszkaDca Ct/(Lt + Lt 1). Poniewa| konsumpcja na 1 mieszkaDca jest liniowo zale|na od konsumpcji na 1 pracownika: Ct/(Lt + Lt 1) = (Ct/Lt)(1 + n)/(2 + n), zadanie centralnego planisty upraszcza si do maksymalizacji konsumpcji na 1 pracownika i  tym samym  konsumpcji na jednostk efektywnej pracy. W celu znalezienia poziomu konsumpcji na jednostk efektywnej pracy w stanie ustalonym (c*) dzielimy równanie PKB: Yt = Ct + It = Ct + Kt+1  Kt + ´Kt przez AtLt i wykorzystujemy fakt, |e w stanie ustalonym kt = kt+1 = k*: c* = f k* n + a + na + ´ k*. [1c.15] ( )-( ) Maksymalizacja [1c.15], okre[lajca poziom kapitaBu w zBotej regule, prowadzi do warunku zrównujcego kraDcowy produkt kapitaBu z wyra|eniem (n + a + na + ´): f ' kGOLD = n + a + na + ´ . [1c.16] ( ) Przy zaBo|eniu na H" 0, warunek zBotej reguBy [1c.16] jest identyczny jak warunek zBotej reguBy w poprzednich modelach. Dla funkcji produkcji Cobba-Douglasa o postaci f(kt) = Bkt± poziom kapitaBu w zBotej regule wynosi: 1 B± öø1-± ëø kGOLD = . [1c.17] ìø÷ø n + a + na + ´ íøøø Porównujc [1c.14] z [1c.17], czyli wielko[ kapitaBu w warunkach równowagi dBugookresowej w modelu Diamonda z wielko[ci kapitaBu w zBotej regule, widzimy, |e w 15 Tempo wzrostu PKB ogóBem w modelu z czasem dyskretnym to (Yt+1  Yt)/Yt. Po przeksztaBceniach powy|sze wyra|enie jest równe n + a + na (w stanie równowagi dBugookresowej), co w przybli|eniu jest równe n + a (na H" 0). W modelu Diamonda liczba pracowników w okresie t (Lt) nie jest równa liczbie ludno[ci (Lt + Lt 1). Jednak tempo wzrostu PKB na jednego pracownika (Yt+1/Lt+1  Yt/Lt)/(Yt/Lt) jest takie samo jak tempo wzrostu PKB na jednego mieszkaDca [Yt+1/(Lt+1 + Lt)  Yt/(Lt + Lt 1)]/[Yt/(Lt + Lt 1)] i jest równe a w stanie równowagi dBugookresowej. 21 modelu Diamonda jest mo|liwa zbyt du|a akumulacja kapitaBu w gospodarce, co oznacza dynamiczn nieefektywno[. Zjawisko to jest tym bardziej prawdopodobne, im ni|sze s: stopa preferencji czasowych Á, tempo wzrostu liczby ludno[ci n, udziaB wynagrodzenia kapitaBu fizycznego w dochodzie ±, oraz im wy|sza jest stopa amortyzacji ´. Model Diamonda  podobnie jak modele Solowa i Ramseya  potwierdza wystpowanie konwergencji warunkowej. W celu wykazania zjawiska zbie|no[ci i obliczenia wspóBczynnika informujcego o szybko[ci zbie|no[ci, linearyzujemy równanie dynamiki gospodarki [1c.13] wokóB stanu ustalonego. Rozszerzenie Taylora pierwszego rzdu wynosi: dkt+1 kt+1 H" k*+ kt kt [1c.18] ( - k* = k*+± ( - k* . ) ) dkt kt =kt+1=k* Równanie [1c.18] jest liniowym równaniem ró|nicowym pierwszego rzdu, którego rozwizaniem jest [cie|ka ruchu dla kt: t kt = k0 - k* + k*. [1c.19] ( )± Z [1c.19] mo|na obliczy tempo wzrostu gospodarczego w trakcie okresu przej[ciowego: kt+1 - kt k*-kt = 1-± ) . [1c.20] ( kt kt Równanie [1c.20] informuje, |e tempo wzrostu gospodarczego jest proporcjonalne do odlegBo[ci dzielcej gospodark od jej stanu równowagi dBugookresowej. WspóBczynnik informujcy o szybko[ci zbie|no[ci wynosi 1  ±. Na pierwszy rzut oka zbie|no[ w modelu Diamonda jest znacznie szybsza ni| w modelu Solowa. Przy rozsdnych warto[ciach parametrów, np. ± = 1/3 i n + a + ´ = 0,06, wspóBczynnik szybko[ci zbie|no[ci wynosi 4% dla modelu Solowa i 67% dla modelu Diamonda. Trzeba jednak pamita, |e wielko[ci te nie mog by bezpo[rednio ze sob porównywalne, gdy| w modelu Diamonda dBugo[ okresu jest równa dBugo[ci |ycia jednego pokolenia ludno[ci. 22 3. Modele endogeniczne Wraz z nadej[ciem na pocztku lat siedemdziesitych XX w. kryzysu zwizanego z podwy|kami cen ropy naftowej i wywoBan tym zmian dotychczasowych trendów rozwojowych wielu gospodarek zachodnich, teoria wzrostu zeszBa na drugi plan obszarów zainteresowaD ekonomistów. PrzeBom nastpiB dopiero w 1986 r. wraz z artykuBem Paula Romera (Romer, 1986), inicjujcym er endogenicznych modeli wzrostu gospodarczego.16 Modele endogeniczne  jak sama nazwa wskazuje  wyja[niaj wzrost gospodarczy w sposób endogeniczny, tj. w ramach modelu. Cecha ta stanowi przeciwieDstwo neoklasycznej teorii wzrostu, gdzie dBugookresowy wzrost zale|aB od egzogenicznego postpu technicznego, wprowadzonego do modelu wraz z innymi zaBo|eniami. Osignicie endogenicznego wzrostu gospodarczego jest mo|liwe dziki odej[ciu od neoklasycznej funkcji produkcji, zakBadajcej malejce przychody z odtwarzalnych czynników produkcji. W grupie modeli endogenicznych wystpuj co najmniej staBe przychody z takich czynników. Podstaw nowej teorii wzrostu jest wprowadzenie w struktury modelu Solowa funkcji produkcji o postaci: Y t = AK t , [1d.1] ( ) ( ) charakteryzujcej si staBymi przychodami wzgldem kapitaBu, jedynego odtwarzalnego czynnika produkcji. Wykorzystujc to|samo[ dochodu Y = C + I = C + dK/dt oraz równo[ inwestycji i oszczdno[ci I = sY (gdzie s jest egzogeniczn stop oszczdno[ci), tempo wzrostu gospodarczego w tak opisanym modelu jest równe: & Y = sA. [1d.2] Y Powy|sze równanie pokazuje, i| endogeniczny wzrost gospodarczy jest mo|liwy bez wprowadzania do modelu egzogenicznego postpu technicznego. Z równania [1d.2] wynika bowiem, |e gospodarka caBy czas rozwija si w tempie równym sA. Równanie [1d.2] informuje tak|e, i| wzrost stopy oszczdno[ci wystarczy do trwaBego przyspieszenia dBugookresowego wzrostu gospodarczego. Poniewa| funkcja produkcji ma posta Y = AK, to proste ujcie wzrostu jest znane pod nazw  modelu AK . Osignicie endogenicznego wzrostu nastpuje  ogólnie biorc  dziki wyeliminowaniu zaBo|enia o malejcych przychodach z odtwarzalnych czynników produkcji. W konkretnych modelach wprowadzenie staBych przychodów przybiera ró|n posta. 16 Pierwsze prace zawierajce elementy wspóBczesnych modeli endogenicznych powstaBy jednak znacznie wcze[niej, bo ju| w latach sze[dziesitych XX w. (zob. np. Arrow, 1962; Kaldor, Mirrlees, 1962; Uzawa, 1964, 1965; Shell, 1966; Sheshinski, 1967). 23 Model learning-by-doing Romera jest ujciem jednosektorowym, w którym dBugookresowy wzrost jest osigany dziki istnieniu w skali caBej gospodarki rosncych przychodów z odtwarzalnych czynników produkcji. W podej[ciach Lucasa i Rebelo endogeniczny wzrost jest mo|liwy dziki istnieniu dwóch sektorów gospodarki i wystpowaniu staBych przychodów w obu sektorach. Modele ze zwikszajc si liczb dóbr oraz z poprawiajc si jako[ci dóbr okre[lane s mianem modeli B+R. W modelach takich dBugookresowy wzrost jest uzyskiwany dziki endogenizacji postpu technicznego, bdcego efektem prac badawczo-rozwojowych. Przejdziemy teraz do szczegóBowej analizy kilku podstawowych teorii wzrostu endogenicznego: modelu learning-by-doing Romera, modelu Lucasa, modelu Rebelo, modelu Romera ze zwikszajc si liczb dóbr, modelu Aghiona-Howitta z poprawiajc si jako[ci dóbr oraz dodatkowo modelu Mankiwa-Romera-Weila, bdcego rozszerzonym modelem Solowa. 24 3.1. Model learning-by-doing Romera Model Romera ró|ni si od modeli neoklasycznych tym, |e nie zakBada wystpowania malejcych przychodów z odtwarzalnych czynników produkcji. Wprost przeciwnie, wiedza, jako jedyny odtwarzalny czynnik wytwórczy, wykazuje rosnce przychody na poziomie caBej gospodarki. Uzasadnieniem przyjcia tego zaBo|enia jest to, |e wiedza, która powstaje dziki inwestycjom pojedynczych przedsibiorstw, mo|e rozprzestrzenia si nieograniczenie w caBej gospodarce i tym samym mo|e by wykorzystywana przez wszystkie przedsibiorstwa bez konieczno[ci ponoszenia dodatkowych kosztów. Powy|szy mechanizm rozprzestrzeniania si wiedzy jest okre[lany angielskim terminem learning-by-doing, co oznacza nauk (czyli nabywanie wiedzy) przez praktyk. Koncepcja learning-by-doing i zaBo|enie o wystpowaniu rosncych przychodów nawizuj do pracy Arrowa z 1962 r. (Arrow, 1962). Dziki rosncym przychodom model Romera pozwala osign nieograniczony, coraz szybszy wzrost gospodarczy, bez uwzgldniania zmiennych rosncych w egzogenicznym tempie. Oznaczmy przez fi funkcj produkcji pojedynczego przedsibiorstwa: fi ai, ki, A , [1e.1] ( ) gdzie ai to poziom wiedzy danej firmy, ki to nakBady pozostaBych czynników produkcji (kapitaBu, pracy, itp.), za[ A to ogólny poziom wiedzy w gospodarce (suma wiedzy posiadanej przez N firm): A = £i=1Nai. Dla uproszczenia analizy zakBadamy, |e nakBady pozostaBych czynników s staBe (ki = const.), co oznacza, |e wiedza jest jedynym odtwarzalnym czynnikiem produkcji. Poniewa| wszystkie przedsibiorstwa s identyczne, mamy: fi(ai,ki,A) = f(a,k,A) oraz A = Na. Funkcja produkcji wykazuje rosnce przychody wzgldem wszystkich czynników wytwórczych: a, k, A, oraz staBe przychody wzgldem a i k: f »a,»k,» A > » f a, k, A oraz f »a,»k, A = » f a, k, A . [1e.2] () ( ) ( ) ( ) Poniewa| wszystkie inne czynniki produkcji poza wiedz s staBe (k = const.), funkcje produkcji mo|na zapisa w postaci: - na poziomie przedsibiorstwa: f a, k, A = f a, A , [1e.3] ( ) ( ) - na poziomie caBej gospodarki: f a, k, A = f a, k, Na = F a . [1e.4] ( ) ( ) ( ) Ró|nice w funkcjach produkcji prowadz do ró|nic w kraDcowych produkcyjno[ciach wiedzy. ZakBadamy, |e kraDcowa produkcyjno[ wiedzy na poziomie caBej gospodarki ro[nie, za[ z punktu widzenia przedsibiorstwa jest ona malejca lub staBa: 25 2 2 d f a, A d F a ( ) ( ) d" 0 oraz > 0 . [1e.5] da2 da2 Produkcja jest przeznaczana na konsumpcj (c) lub na inwestycje (i) sBu|ce tworzeniu nowej wiedzy: f = c + i. Liczba konsumentów jest równa liczbie przedsibiorstw, co oznacza, |e odpowiednie wielko[ci w przeliczeniu na 1 przedsibiorstwo s równe wielko[ciom na 1 mieszkaDca. Akumulacja wiedzy nastpuje wedBug funkcji g(i/a), wykazujcej malejce przychody i ograniczonej z góry staB ³: & a i ëø öø = g < ³ . [1e.6] ìø ÷ø a a íø øø Górne ograniczenie tempa wzrostu wiedzy jest konieczne, aby konsumpcja i u|yteczno[ nie rosBy w nieskoDczono[. Poniewa| wiedza nie amortyzuje si, da/dt e" 0. ZaBo|enia dotyczce sektora gospodarstw domowych s analogiczne do modelu Ramseya. Funkcja u|yteczno[ci ma posta: " -Át U = [1e.7] +"u(c)e dt , 0 gdzie Á > 0 jest stop preferencji czasowych. Przejdziemy teraz do wyznaczenia równowagi dla gospodarki doskonale konkurencyjnej. W tym celu maksymalizujemy funkcj u|yteczno[ci [1e.7] przy ograniczeniu [1e.6] i uwzgldnieniu faktu, |e i = f(a,A)  c oraz da/dt e" 0: " -Át U = [1e.8] +"u(c)e dt ’! max. 0 ëø f a, A c öø ( )- & & p.w. (a) a = ag ; (b) a e" 0 ; (c) a 0 dane. ( ) ìø÷ø a íøøø Powy|szy problem optymalizacyjny jest analogiczny do problemu optymalizacyjnego [1b.4] w neoklasycznym modelu Ramseya. Ró|nica polega na tym, |e w modelu Romera ograniczeniem jest równanie ruchu wiedzy, gdy| wiedza jest jedynym odtwarzalnym czynnikiem produkcji. Gospodarstwa domowe, rezygnujc z bie|cej konsumpcji, zwikszaj inwestycje i tym samym akumulacj wiedzy w gospodarce, która  w przeciwieDstwie do kapitaBu  wykazuje rosnce przychody i dlatego pozwala na szybszy wzrost produkcji z danej wielko[ci oszczdno[ci. Dodatkowo, poniewa| wiedza nie amortyzuje si, da/dt e" 0. Rozwizanie [1e.8] wymaga zastosowania teorii sterowania. Konstruujemy hamiltonian warto[ci zaktualizowanej i warunki pierwszego rzdu: 26 îø ëø f a, A c öø ( )- ùø H = u c +¸ , [1e.9] ( ) ïøag ìø÷ø úø a ïø úø íøøø ðø ûø "H "H "H & = 0; a = ; ¸& = Á¸ - ; lim e- Át¸ a = 0 . [1e.10] t’!" "c "¸ "a Z [1e.10] otrzymujemy nastpujce równania charakteryzujce dynamik gospodarki: "u ¸& "f f c öø & = ¸ g '; a = ag ; = Á - g - g 'ëø - + ; lim e- Át¸ a = 0 . [1e.11] ìø÷ø t’!" "c ¸ "a a a íøøø W celu uproszczenia obliczeD, w dalszej cz[ci analizy uwzgldniamy konkretne postacie funkcji produkcji dóbr f, funkcji produkcji wiedzy g i funkcji u|yteczno[ci u:17 ² f ëø - cf öø ëø - c öø f a, A = a± A² = a± ( ) ( ) Na ; g = / ; u c = c . [1e.12] ( ) ìø³ a ÷ø ìø³ + a ÷ø íøøø íø øø Dla powy|szych funkcji trzy pierwsze równania [1e.11] upraszczaj si do: i ³ 2 ¸& ³ ² c îøa± -1 Na -1 + ùø 0,5 -0,5 a & c = f -³ a ¸ -1 ; a = a³ 1-¸ ; = Á - - . ( ) (± ) ( ) () 2 ïø úø i ¸ a i ðø ûø ëø öø ³ + ìø³ + a ÷ø a íø øø Powy|sze równania, powikszone o warunek transwersalno[ci, opisuj dynamik gospodarki na optymalnej [cie|ce wzrostu w modelu Romera. Na ich podstawie konstruujemy wykres fazowy w przestrzeni (a,¸), przedstawiajcy graficzn posta otrzymanych wyników i wskazujcy na optymaln trajektori rozwoju gospodarki doskonale konkurencyjnej. Diagram fazowy zostaB pokazany na rysunku 1.4.18 Dynamika gospodarki w modelu learning-by-doing Romera ró|ni si od dynamiki gospodarki w modelach neoklasycznych przede wszystkim tym, |e w modelu Romera brak jest stanu ustalonego. Je[li dla pocztkowego poziomu wiedzy a(0) zostanie wybrana taka wielko[ konsumpcji, |e ¸(0) = ¸(0)S, to gospodarka znajdzie si na optymalnej trajektorii T2T2 i bdzie wykazywaBa nieograniczony wzrost gospodarczy. Mo|na wykaza (zob. Romer, 1986), |e na trajektorii tej jest speBniony warunek transwersalno[ci. Je|eli wybrana pocztkowa warto[ zmiennej ¸ bdzie inna, to gospodarka bdzie rozwija si nieoptymalnie: zbyt niski poziom konsumpcji (i odpowiadajca temu warto[ ¸(0)D) przesuwa gospodark na trajektori T3T3, na której nie jest speBniony warunek 17 ZakBadamy dodatkowo: (a) 0 < ± d" 1; (b) ± + ² > 1; (c) ³(± + ²) < Á. Pierwsze dwa zaBo|enia wynikaj std, |e kraDcowy produkt wiedzy na poziomie caBej gospodarki ro[nie, za[ z punktu widzenia przedsibiorstwa mo|e by co najwy|ej staBy. Warunek (c) jest niezbdny do istnienia optimum spoBecznego (zob. Romer, 1986). 18 Konstrukcja diagramu fazowego jest do[ skomplikowana, zwBaszcza je[li chodzi o wyznaczenie krzywej d¸/dt = 0. Osoby zainteresowane sposobem wyprowadzenia obu krzywych prosimy o kontakt z autorem. 27 transwersalno[ci (zob. Romer, 1986), natomiast zbyt du|a konsumpcja (przy ¸ równym ¸(0)M) wprowadzi gospodark na trajektori T1T1, co doprowadzi do zaniku akumulacji wiedzy i niespeBnienia warunków pierwszego rzdu. Rysunek 1.4 Dynamika gospodarki w modelu learning-by-doing Romera ¸ T3 T2 Trajektoria optymalna T3 ¸(0)D ¸& = 0 T2 ¸(0)S ¸(0)M T1 & a = 0 & a = 0 T1 a a(0) Na trajektorii optymalnej gospodarka doskonale konkurencyjna wykazuje trwaBy i coraz szybszy wzrost gospodarczy. Tempo powikszania wiedzy ro[nie, zbli|ajc si asymptotycznie do swojej górnej granicy wzrostu ³. W zwizku z tym tempo wzrostu produkcji oraz konsumpcji tak|e ro[nie, osigajc asymptotycznie górn granic ³(± + ²). Model Romera nie potwierdza wystpowania zjawiska konwergencji midzy krajami. Co wicej, model ten wskazuje na istnienie tendencji dywergencyjnych. W koncepcji Romera tempo wzrostu gospodarczego zwiksza si wraz ze wzrostem poziomu dochodu, co oznacza, |e kraje wysoko rozwinite rozwijaj si szybciej ni| kraje sBabo rozwinite. Mimo |e tempo wzrostu gospodarczego d|y asymptotycznie do tej samej górnej granicy, to jednak kraje biedne bd rozwija si wolniej, gdy| w danym momencie bd dysponowaBy mniejszym zasobem wiedzy. A zatem, ró|nice w poziomie dochodów midzy krajami bd si trwale zwiksza. Gospodarka doskonale konkurencyjna w modelu Romera nie jest optymalna w sensie Pareta. Wynika to std, |e inwestycje w wiedz dokonywane przez jedno przedsibiorstwo przyczyniaj si do wzrostu ogólnego poziomu wiedzy w gospodarce, bdcego wspólnym czynnikiem produkcji. Jednak pojedyncze przedsibiorstwo w swoich decyzjach inwestycyjnych nie uwzgldnia tych dodatnich efektów zewntrznych. KraDcowy produkt wiedzy z punktu widzenia pojedynczego przedsibiorstwa (MPaKD) jest mniejszy ni| 28 kraDcowy produkt wiedzy na poziomie caBej gospodarki (MPaCP): df a, A df a, Na ( ) ( ) ²² -1 MPaKD a"= ±a± -1A² ; MPaCP a"= ±a± -1 Na + ²a± ( ) Na N > MPaKD . ( ) da da A zatem, krzywa d¸/dt = 0 z diagramu fazowego dla gospodarki centralnie planowanej bdzie poBo|ona wy|ej ni| analogiczna krzywa dla gospodarki doskonale konkurencyjnej. Oznacza to, |e gospodarka doskonale konkurencyjna akumuluje zbyt maBo wiedzy i wykazuje ni|sze tempo wzrostu ni| gospodarka kierowana przez centralnego planist. Ten ostatni wniosek jest na pierwszy rzut oka nieco szokujcy. Ma on zwizek z tym, |e model Romera uwzgldnia dodatnie efekty zewntrzne. Przedstawiona koncepcja learning- by-doing wskazuje na potrzeb interwencji paDstwa w celu zapewnienia takiego poziomu akumulacji wiedzy, który bdzie optymalny z punktu widzenia caBej gospodarki. Bez zaanga|owania paDstwa przedsibiorstwa bd braBy pod uwag jedynie koszty i korzy[ci prywatne. W efekcie w gospodarce doskonale konkurencyjnej poziom wiedzy oraz tempo wzrostu PKB oka| si ni|sze ni| w gospodarce z paDstwem. 29 3.2. Model Lucasa Model Lucasa nale|y do grupy dwusektorowych modeli wzrostu gospodarczego, w których uwzgldnia si  oprócz kapitaBu fizycznego  równie| kapitaB ludzki. Koncepcja gospodarki skBadajcej si z dwóch sektorów nawizuje do prac Uzawy (Uzawa, 1964, 1965), dlatego te| model Lucasa nazywany jest równie| modelem Uzawy-Lucasa.19 Przedstawiony w niniejszym opracowaniu model jest oryginaln wersj pochodzc z artykuBu Roberta Lucasa (Lucas, 1988). Oryginalna wersja modelu nawizuje ponadto do koncepcji learning- by-doing i zwizanych z tym rosncych przychodów, a wic do teorii Romera, z t tylko ró|nic, |e teraz zródBem efektów zewntrznych jest akumulacja kapitaBu ludzkiego. Rosnce przychody w modelu Lucasa nie s jednak konieczne do osignicia dBugookresowego wzrostu gospodarczego. Endogeniczny wzrost jest osigany dziki istnieniu dwóch sektorów gospodarki i wystpowaniu staBych przychodów w ka|dym z nich. Oznaczmy przez H " (0;") zasób kapitaBu ludzkiego posiadany przez dan osob, a przez N(H) liczb osób z kapitaBem ludzkim w wysoko[ci H. Ka|da z takich osób przeznacza u(H) swojego czasu pracy na akumulacj kapitaBu fizycznego oraz 1  u(H) na akumulacj kapitaBu ludzkiego. Ogólna liczba ludno[ci (N), efektywna siBa robocza w produkcji dóbr (L) i przecitny poziom kapitaBu ludzkiego w gospodarce (Ha) s zatem równe: " N H HdH ( ) " " +" 0 N = N H dH ; L = . [1f.1] ( ) +" +"u(H ) N (H )HdH ; Ha = N 0 0 Dla uproszczenia analizy przyjmujemy, |e wszystkie osoby s identyczne, tote| równania [1f.1] upraszczaj si do postaci: L = uNH oraz Ha = H. ZakBadamy, |e liczba ludno[ci ro[nie w staBym tempie n (dN/dt/N = n) i jest to jedyna zmienna w modelu rosnca egzogenicznie. Technika, której zmiany okre[laBy dBugookresowy wzrost gospodarczy w modelach neoklasycznych, jest teraz staBa (A = const.). Rozpatrujemy model bez amortyzacji (´ = 0). Produkcja dóbr jest funkcj trzech czynników: kapitaBu fizycznego K, efektywnego zasobu siBy roboczej L i przecitnego poziomu kapitaBu ludzkiego w gospodarce Ha: 1-± ³ ³ Y = AK± L1-± Ha = AK± ( ) uNH Ha . [1f.2] Wprowadzenie zmiennej Ha do funkcji produkcji pozwala uwzgldni efekty zewntrzne towarzyszce akumulacji kapitaBu ludzkiego: indywidualne zwikszanie kapitaBu ludzkiego 19 Na przykBad, w modelu Uzawy z 1964 r. (Uzawa, 1964) nie wystpowaB kapitaB ludzki: w jednym sektorze byBy wytwarzane dobra konsumpcyjne, za[ w drugim  dobra kapitaBowe (inwestycyjne). 30 wpBywa na wzrost jego ogólnej wielko[ci w gospodarce i przez to na wzrost produkcyjno[ci. Jak ju| wspomnieli[my, efekty zewntrzne nie s w modelu Lucasa niezbdne do osignicia endogenicznego wzrostu gospodarczego. Funkcja produkcji wykazuje staBe przychody na poziomie przedsibiorstwa (wzgldem K i L) oraz rosnce przychody na poziomie caBej gospodarki (wzgldem K, L i Ha). Wykorzystujc to|samo[ dochodu Y = C + I, przyrost kapitaBu fizycznego mo|na zapisa w postaci: 1-± ³ & K = AK± ( ) - Nc . [1f.3] uNH Ha Akumulacja kapitaBu ludzkiego zale|y od dotychczasowego poziomu kapitaBu ludzkiego w gospodarce oraz od podziaBu czasu pracy midzy produkcj w obu sektorach gospodarki: ¶ & H = H G 1- u , [1f.4] ( ) gdzie G > 0 i G(0) = 0. Dla uzyskania endogenicznego wzrostu gospodarczego akumulacja kapitaBu ludzkiego nie mo|e wykazywa malejcych przychodów. ZakBadamy zatem, |e ¶ = 1 oraz dodatkowo, |e funkcja G jest liniowa: G = µ(1  u). Równanie [1f.4] upraszcza si tym samym do postaci: & H = H µ 1- u . [1f.5] ( ) Gospodarstwa domowe maksymalizuj funkcj u|yteczno[ci w okresie caBego |ycia: " c1-à -1 -Át [1f.6] +"e 1-à Ndt . 0 Przejdziemy teraz do analizy modelu dla gospodarki centralnie planowanej. Celem centralnego planisty jest maksymalizacja u|yteczno[ci [1f.6] przy ograniczeniach w postaci równaD ruchu dla obu rodzajów kapitaBu ([1f.3] i [1f.5]) oraz Ha = H: " c1-à -1 -Át [1f.7] +"e 1-à Ndt ’! max. 0 1-± ³ & & p.w. (a) K = AK± ( ) - Nc ; (b) H = H µ 1- u ; (c) Ha = H ; (d) K 0 i H 0 dane. uNH Ha ( ) ( ) ( ) Aby rozwiza powy|szy problem optymalizacyjny, w którym wystpuj dwie zmienne sterujce: c i u oraz dwie zmienne stanu: K i H, konstruujemy hamiltonian warto[ci zaktualizowanej: c1-à -1 1-± ³ 5!= N +¸1 ± ( ) - Nc H µ 1- u [1f.8] ( ) {} {AK uHN H }+¸ 2 1-à i warunki pierwszego rzdu: "5! "5! "5! "5! "5! & & (I) = 0 ; (II) = 0 ; (III) K = ; (IV) H = ; (V) ¸& = Á¸1 - ; 1 "c "u "¸1 "¸2 "K 31 "5! (VI) ¸& = Á¸2 - ; (VII) lim e-Át¸1K = 0 ; (VIII) lim e-Át¸2H = 0 . [1f.9] 2 t’!" t’!" "H Analiza gospodarki doskonale konkurencyjnej jest w zasadzie taka sama, z t tylko ró|nic, |e nie uwzgldnia si ograniczenia Ha = H podczas maksymalizacji. Pojedyncze jednostki w swoich decyzjach optymalizacyjnych nie bior pod uwag faktu, |e wzrost akumulacji ich kapitaBu ludzkiego wpBywa równie| na wzrost przecitnej wielko[ci kapitaBu ludzkiego w gospodarce. A zatem, spo[ród warunków pierwszego rzdu jedynie rozwizanie warunku (VI) bdzie inne w obu typach gospodarek. Z warunków (I) i (II) otrzymujemy: ¸1 = c-à oraz 1-± ) ¸1AK±u-± N1-± H1-± +³ = ¸2H µ . [1f.10] ( Pierwsze z równaD [1f.10] wskazuje, |e dobra musz by jednakowo wyceniane w obu zastosowaniach: konsumpcji i akumulacji kapitaBu. Drugie z równaD [1f.10] informuje, |e czas pracy musi by jednakowo wyceniany w produkcji i akumulacji kapitaBu ludzkiego. Warunki (III) i (IV) to pocztkowe równania ruchu dla kapitaBu fizycznego i ludzkiego ([1f.3] i [1f.5]). Z warunku (V) otrzymujemy: 1-± ³ ¸& = Á¸1 -¸1± AK± -1 uHN H . [1f.11] ( ) 1 Warunek (VI) przyjmuje inn posta dla gospodarki centralnie planowanej i doskonale konkurencyjnej: - gospodarka centralnie planowana: 1-± ³ -± ¸& = Á¸2 -¸1 1-± + ³ AK± H uN -¸2µ 1- u , [1f.12] () ( )( ) 2 - gospodarka doskonale konkurencyjna: 1-± ³ -± ¸& = Á¸2 -¸1 1-± ) ( ) ( ) AK± H uN -¸2µ 1- u . [1f.13] ( 2 Je|eli ³ = 0, tzn. gdy nie ma efektów zewntrznych, równania [1f.12] i [1f.13] s identyczne. Wystpowanie efektów zewntrznych powoduje, |e kraDcowa produkcyjno[ kapitaBu na poziomie caBej gospodarki jest wiksza ni| na poziomie prywatnym. A zatem, gospodarka doskonale konkurencyjna nie bdzie optymalna w sensie Pareta. Równania [1f.3], [1f.5], [1f.10]  [1f.12], powikszone o dwa warunki transwersalno[ci, opisuj dynamik gospodarki centralnie planowanej na optymalnej [cie|ce wzrostu. Równania [1f.3], [1f.5], [1f.10], [1f.11] i [1f.13] wraz z dwoma warunkami transwersalno[ci opisuj dynamik gospodarki doskonale konkurencyjnej na optymalnej [cie|ce. W celu rozwizania ukBadu czterech równaD ró|niczkowych szukamy stanu ustalonego, w którym konsumpcja na 1 mieszkaDca (c), kapitaB fizyczny (K), kapitaB ludzki (H) oraz 32 zmienne sprz|one ¸1 i ¸2 wykazuj staBe tempo wzrostu, za[ podziaB czasu pracy midzy akumulacj obydwu rodzajów kapitaBu (u) jest staBy: & & & c K H ¸& ¸& 1 2 a" gc = const.; a" gK = const.; a" gH = const. ; = const.; = const. [1f.14] c K H ¸1 ¸2 Aby obliczy gc, gK i gH w stanie równowagi dBugookresowej w modelu Lucasa, nale|y dokona szeregu przeksztaBceD równaD charakteryzujcych dynamik gospodarki. W tym opracowaniu ograniczymy si tylko do przedstawienia wyników.20 W stanie równowagi dBugookresowej kraDcowy produkt kapitaBu fizycznego jest staBy: 1-± ³ MPK a" ± AK± -1 uHN H = Á +à gc . [1f.15] ( ) Tempo wzrostu kapitaBu fizycznego ogóBem oraz na 1 mieszkaDca zale|y od tempa wzrostu konsumpcji na 1 mieszkaDca: gK = n + gc oraz gK / N = gc . [1f.16] W stanie równowagi dBugookresowej stopa oszczdno[ci jest staBa i wynosi: & n + gc I K ± ( ) s a" = = . [1f.17] & Y Nc + K Á +à gc Zale|no[ midzy gc i gH jest nastpujca: 1-± + ³ gH ( ) gc = . [1f.18] 1-± W tym miejscu koDczy si jednoczesna analiza gospodarki doskonale konkurencyjnej i centralnie planowanej. Tempo wzrostu kapitaBu ludzkiego gH jest bowiem inne w obydwu typach gospodarek:21 1 îø 1-± CP - gospodarka centralnie planowana: gH = - ( - n , [1f.19] )ùø ïøµÁ úø à 1-± + ³ ðø ûø 1 KD - gospodarka doskonale konkurencyjna: gH = 1-± µ Á ( ) -( - n . [1f.20] ) () à 1-± + ³ ³ ()- Podstawiajc [1f.19] i [1f.20] do [1f.18] uzyskujemy równania okre[lajce tempo wzrostu konsumpcji i kapitaBu fizycznego na 1 mieszkaDca w stanie ustalonym: 20 Osoby zainteresowane dokBadn metod przeksztaBceD równaD prosimy o kontakt z autorem. 21 Tempo wzrostu kapitaBu ludzkiego gH nie mo|e przekroczy górnej granicy µ, okre[lonej zaBo|eniami modelu. Zatem musi by speBnione: 1-± Á - n à e" 1- . 1-± + ³ µ Powy|szy warunek oznacza, |e model nie ma zastosowania w przypadkach, gdy wzgldna awersja do ryzyka jest bardzo niska (maBe Ã). 33 1-± + ³ ( ) îø 1-± CP CP - gospodarka centralnie planowana: gc = gK / N = ( - n , [1f.21] )ùø ïøµ - Á úø à 1-± ) 1-± + ³ ( ðø ûø 1-± + ³ KD KD - gospodarka doskonale konkurencyjna: gc = gK / N = µ -( - n . [1f.22] Á ) () à 1-± + ³ ³ ()- Równania [1f.19]  [1f.22] opisuj tempo wzrostu gospodarki zachowujcej si zgodnie z modelem Lucasa. Jak wida, w modelu uzyskali[my endogeniczne tempo wzrostu gospodarczego, które zwiksza si wraz ze wzrostem efektywno[ci akumulacji kapitaBu ludzkiego µ oraz maleje wraz ze wzrostem stopy dyskontowej Á. Gospodarka doskonale konkurencyjna wykazuje ni|sze tempo wzrostu ni| gospodarka centralnie planowana: ³ CP KD dla à = 1: gH - gH = Á [1f.23] ( - n > 0 . ) 1-± + ³ Na podstawie [1f.18]  [1f.23] wida, |e wystpowanie efektów zewntrznych (³ > 0) ma dwojakie skutki dla dynamiki modelu. Po pierwsze, im wiksze s efekty zewntrzne, tym wy|sze jest tempo wzrostu gospodarki centralnie planowanej w porównaniu z gospodark doskonale konkurencyjn. Po drugie, im wiksze s efekty zewntrzne, tym wy|sze jest tempo wzrostu konsumpcji na 1 mieszkaDca w porównaniu z tempem wzrostu kapitaBu ludzkiego. W przypadku gdy ³ = 0, gospodarka doskonale konkurencyjna wykazuje takie samo tempo wzrostu jak gospodarka centralnie planowana, a wzrost konsumpcji per capita jest równy wzrostowi kapitaBu ludzkiego. Przejdziemy teraz do wyznaczenia poziomu kapitaBu w warunkach równowagi dBugookresowej. W modelach neoklasycznych dla okre[lonych parametrów modelu wystpowaB jeden stan ustalony. Natomiast w modelu Lucasa wystpuje nieskoDczenie wiele stanów ustalonych, ró|nicych si zasobami kapitaBu fizycznego i ludzkiego. Gospodarka d|y do jednego z nich, w zale|no[ci od poBo|enia pocztkowego. Aby to wykaza, zdefiniujemy zmienne k i h jako znormalizowane zasoby kapitaBu fizycznego i ludzkiego, okre[lajce jednoznacznie poziomy zmiennych K i H w ka|dym okresie:22 c k t = e-(g +n)tK t oraz h t = e- gH tH t . [1f.24] ( ) ( ) ( ) ( ) Podstawiajc [1f.24] do [1f.15] otrzymujemy: 22 Normalizacja jest konieczna, gdy| poziom kapitaBu fizycznego i ludzkiego wykazuje wzrost w stanie ustalonym (zgodnie z równaniami [1f.19]  [1f.22]). Zmienne znormalizowane k i h s natomiast staBe, gdy odpowiadajce im zmienne K i H rosn w tempie równym odpowiednio gc + n i gH. 34 1 1 1-± +³ 1-± +³ 1 îøùø 1-± 1-± 1-± k = Á +à gc ± -1 ± A1-± uN 0 h a" ˜h . [1f.25] () ( )úø ïø ðøûø Równanie [1f.25] wskazuje, |e znormalizowane zasoby kapitaBu fizycznego i ludzkiego w stanie równowagi dBugookresowej s ze sob powizane wedBug [ci[le okre[lonej funkcji, której graficzn posta przedstawia rysunek 1.5. Krzywa zilustrowana na rysunku 1.5 przedstawia kombinacje wielko[ci kapitaBu fizycznego i ludzkiego odpowiadajce stanom równowagi dBugookresowej. W ka|dym punkcie na tej krzywej tempo wzrostu K i H jest takie samo, okre[lone równaniami [1f.19]  [1f.22]. Natomiast poziomy obu zmiennych rosn w miar przesuwania si po krzywej od pocztku ukBadu wspóBrzdnych. W zale|no[ci od poBo|enia pocztkowego, gospodarka zmierza do pewnego punktu na krzywej k = ˜h(1  ± + ³)/(1  ±), co pokazuj zamieszczone strzaBki. Rysunek 1.5 Równowaga dBugookresowa gospodarki w modelu Lucasa k 1-± +³ 1-± k =˜h C F B E D A h Model Lucasa bardzo dobrze nadaje si do wyja[nienia ró|nic w poziomie dochodów midzy krajami. Gospodarki, które startuj z pocztkowego punktu o niskim zasobie kapitaBu (np. A), osigaj równowag dBugookresow w punkcie z niskim poziomem kapitaBu (D). Gospodarki pocztkowo bogatsze, startujce np. z punktów B lub C, d| do stanów ustalonych F i E, charakteryzujcych si wy|szym poziomem kapitaBów ni| stan ustalony D. W ka|dym ze stanów ustalonych tempo wzrostu jest jednak takie samo. A zatem, ró|nice w poziomach dochodów midzy krajami nie znikaj: kraje biedne pozostaj biedne, za[ kraje bogate s caBy czas bogate. Analiza dynamiki okresu przej[ciowego jest skomplikowana i wymaga zastosowania metod numerycznych (zob. Mulligan, Sala-i-Martin, 1993). Przedstawimy tutaj najwa|niejsze wnioski dotyczce dynamiki okresu przej[ciowego w modelu Uzawy-Lucasa. 35 Mulligan i Sala-i-Martin rozpatruj model Lucasa bez efektów zewntrznych (³ = 0), ale z uwzgldnieniem amortyzacji kapitaBów (´K > 0 i ´H > 0). Poniewa| spo[ród dwóch zmiennych sterujcych: C i u oraz dwóch zmiennych stanu: K i H, jedynie zmienna u nie wykazuje wzrostu w stanie ustalonym, w celu uzyskania stacjonarnego stanu ustalonego pozostaBe trzy zmienne zostaBy zredukowane do dwóch: zC / K a" C / K zK / H a" K / H . [1f.26] Uwzgldniajc [1f.26], ukBad czterech nieliniowych równaD ró|niczkowych (dla zmiennych C, u, K i H) zredukowaB si do ukBadu trzech równaD ró|niczkowych (dla zmiennych u, zC/K i zK/H, które s staBe w warunkach równowagi dBugookresowej). W celu okre[lenia stabilno[ci równowagi, dokonana zostaBa linearyzacja trzech równaD ró|niczkowych wokóB stanu ustalonego. Dla ró|nych parametrów modelu (nawet z uwzgldnieniem niewielkich efektów zewntrznych) uzyskiwano zawsze dwie dodatnie i jedn ujemn warto[ wBasn macierzy charakterystycznej. Oznacza to, |e stan ustalony w modelu Lucasa jest [cie|k siodBow. Dla ka|dej pocztkowej warto[ci zmiennej stanu zK/H mo|na znalez takie warto[ci zmiennych sterujcych u i zC/K, które sprawi, |e gospodarka znajdzie si na stabilnej trajektorii i bdzie pod|aBa do punktu równowagi dBugookresowej. Rysunek 1.6 Dynamika okresu przej[ciowego w modelu Uzawy-Lucasa Wzrost produkcji u C/K Wzrost konsumpcji finalnej (Y) Wzrost kapit. fizycznego Wzrost kapit. ludzkiego Wzrost peBnej produkcjia Wzrost rejestr. PKBb a PeBna produkcja (full output) obejmuje produkcj finaln (Y) i akumulacj kapitaBu ludzkiego. b Rejestrowany PKB obejmuje produkcj finaln (Y) i 25% produkcji sektora kapitaBu ludzkiego. yródBo: Mulligan, Sala-i-Martin, 1993. Rysunek 1.6 ilustruje dynamik okresu przej[ciowego dla przypadku: à = 2, Á  n = 0,04, ± = 0,5, ´K = ´H = 0,05, A = 1, µ = 0,12. O[ odcitych przedstawia procentowe odchylenie zmiennej zK/H od jej warto[ci w stanie równowagi dBugookresowej. W punkcie 0 na tej osi stosunek kapitaBu fizycznego do ludzkiego odpowiada stanowi ustalonemu. Na lewo od tego 36 punktu zK/H jest mniejsze ni| z*K/H, co oznacza, |e w gospodarce wystpuje niedobór kapitaBu fizycznego. Na prawo od punktu 0 na osi odcitych zK/H jest wiksze ni| z*K/H, co wskazuje na wzgldny niedobór kapitaBu ludzkiego. Poszczególne cz[ci rysunku 1.6 pokazuj dynamik ró|nych zmiennych w trakcie okresu przej[ciowego w zale|no[ci od tego, czy w punkcie wyj[cia gospodarka charakteryzuje si wzgldnym niedoborem kapitaBu fizycznego czy kapitaBu ludzkiego. Wykresy z rysunku 1.6 nie s symetryczne, co oznacza, |e gospodarka inaczej reaguje na wstrzsy takie jak wojny, które niszcz gBównie kapitaB fizyczny, a inaczej na wstrzsy takie jak epidemie, niszczce gBównie kapitaB ludzki. Cz[ci VI  VIII rysunku 1.6 przedstawiaj tempo wzrostu ró|nych miar produkcji w trakcie okresu przej[ciowego. Jak wida, gospodarka wykazuje szybsze tempo wzrostu gospodarczego i szybciej osiga stan ustalony w przypadku pocztkowego niedoboru kapitaBu fizycznego ni| w przypadku pocztkowego niedoboru kapitaBu ludzkiego. Model Lucasa nie wyja[nia zatem zjawiska konwergencji  zarówno na podstawie porównania stanów równowag dBugookresowych ró|nych gospodarek, jak i na podstawie wBasno[ci okresu przej[ciowego gospodarek d|cych do tego samego stanu ustalonego. W pierwszym przypadku okazuje si, |e w stanie równowagi dBugookresowej tempo wzrostu gospodarczego nie zale|y od poziomu kapitaBów i produkcji. Oznacza to, |e kraje rozwijaj si tak samo, niezale|nie od osignitego poziomu dochodu. W drugim przypadku, gdy rozpatrujemy okres przej[ciowy gospodarek d|cych do tego samego stanu równowagi dBugookresowej, okazuje si, |e kraje sBabiej rozwinite mog rozwija si szybciej lub wolniej ni| kraje wysoko rozwinite. Zale|y to od tego, czy niski poziom rozwoju wynika z braku kapitaBu fizycznego (wówczas kraje sBabo rozwinite bd rozwija si szybciej) czy ludzkiego (wówczas kraje sBabo rozwinite bd wykazywa wolniejszy wzrost). 37 3.3. Model Rebelo Model Rebelo  podobnie jak ujcie Lucasa  zaliczany jest do dwusektorowych modeli wzrostu gospodarczego, które uwzgldniaj kapitaB w podziale na kapitaB fizyczny i kapitaB ludzki. Omawiany w niniejszym opracowaniu model zostaB przedstawiony w artykule Sergio Rebelo (Rebelo, 1991), w którym autor wykorzystaB endogeniczne teorie wzrostu do pokazania, |e dziaBania paDstwa w du|ym stopniu wyja[niaj ró|nice w tempie wzrostu gospodarczego midzy krajami. Podej[cie Rebelo jest bardzo podobne do wcze[niej omówionego modelu Lucasa. Ró|ni si od swojego poprzednika w dwóch aspektach. Po pierwsze, w modelu Rebelo nie wystpuj efekty zewntrzne i zwizane z tym rosnce przychody na poziomie caBej gospodarki. Po drugie, w akumulacji kapitaBu ludzkiego jest równie| wykorzystywany kapitaB fizyczny, a nie  jak w modelu Lucasa  tylko kapitaB ludzki. ZaBó|my, |e wszystkie osoby dysponuj w ka|dym okresie jedn jednostk czasu. Ka|da osoba posiada pewn ilo[ czasu wolnego R (R ksztaBtuje si egzogenicznie i jest staBe). Je|eli przez u oznaczymy czas pracy w produkcji dóbr, wówczas 1  R  u bdzie czasem pracy przeznaczonym na akumulacj kapitaBu ludzkiego. Liczba ludno[ci jest staBa i wynosi 1. Ka|da osoba dysponuje kapitaBem ludzkim równym H. A zatem uH to efektywna siBa robocza w produkcji dóbr, za[ (1  R  u)H to efektywna siBa robocza w akumulacji kapitaBu ludzkiego. Oznaczmy przez vK zasób kapitaBu fizycznego wykorzystywany w produkcji dóbr, za[ przez (1  v)K zasób kapitaBu fizycznego wykorzystywany w akumulacji kapitaBu ludzkiego. W obu sektorach gospodarki wystpuj staBe przychody ze skali. Funkcje produkcji s nastpujce: ± 1-± Y t = A1 v t K t u t H t , [1g.1] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ² 1-² & îøûø ðø ûø H t = A2 ðø 1- v t K t 1- R - u t H t -´ H t , [1g.2] ( ) ( ) ( )ùø îø ( ) ( )ùø ( ) ( ) () gdzie A1 i A2 to parametry okre[lajce poziom techniki, za[ ´ jest stop amortyzacji obu rodzajów kapitaBu. Produkcja dóbr finalnych jest przeznaczana na konsumpcj oraz na inwestycje w kapitaB fizyczny: & Y t = C t + I t = C t + K t + ´ K t . [1g.3] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Funkcja u|yteczno[ci gospodarstw domowych jest nastpujca: 1-à " C t -1 ( ) -Át U = [1g.4] +"e 1-à dt . 0 38 W modelu brak jest efektów zewntrznych, nie wystpuj zmiany demograficzne, stopa oszczdno[ci ksztaBtuje si endogenicznie, za[ rynki nie s zmonopolizowane. Oznacza to, |e model jest optymalny w sensie Pareta: gospodarka doskonale konkurencyjna rozwija si tak samo jak gospodarka centralnie planowana. Problem optymalizacyjny jest nastpujcy: " C1-à -1 -Át U = [1g.5] +"e 1-à dt ’! max. 0 ² 1-² ± 1-± & & p.w. (a) K = A1 vK uH - C -´ K ; (b) H = A2 îø 1- v K ùø îø 1- R - u H ùø -´ H ; ( ) ( ) ( ) ( ) ðøûø ðø ûø (c) K 0 i H 0 dane. ( ) ( ) W celu rozwizania [1g.5] konstruujemy hamiltonian warto[ci zaktualizowanej: ² 1-² C1-à -1 ± 1-± 5!= +¸1 1 vK uH - C -´ K A2 îø 1- v K ùø îø 1- R - u H ùø -´ H ( ) ( ) ( ) ( ) {A }+¸ } 2{ ðøûø ðø ûø 1-à oraz odpowiednie warunki pierwszego rzdu: "5! "5! "5! "5! "5! "5! & & (I) = 0 ; (II) = 0 ; (III) = 0 ; (IV) K = ; (V) H = ; (VI) ¸& = Á¸1 - ; 1 "C "v "u "¸1 "¸2 "K "5! (VII) ¸& = Á¸2 - ; (VIII) lim e-Át¸1K = 0 ; (IX) lim e-Át¸2H = 0 . [1g.6] 2 t’!" t’!" "H W powy|szym zadaniu optymalizacyjnym wystpuj trzy zmienne sterujce: C, v i u, oraz dwie zmienne stanu: K i H. Zmienne ¸1 i ¸2 to zmienne sprz|one zwizane z równaniami ruchu odpowiednich zmiennych stanu.23 Z warunków pierwszego rzdu [1g.6] uzyskujemy cztery równania ró|niczkowe opisujce dynamik gospodarki: [cie|k ruchu dla kapitaBu fizycznego K, kapitaBu ludzkiego H, konsumpcji C oraz jednej ze zmiennych v lub u.24 Poniewa| funkcje produkcji w obu sektorach wykazuj staBe przychody ze skali, mo|liwe jest osignicie w modelu stanu ustalonego, w którym zmienne K, H, C, I bd rosBy w staBym tempie równym g*. Dodatkowo, w tempie tym bdzie zwikszaBa si równie| wielko[ produkcji dóbr (Y) oraz szersza miara wielko[ci produkcji (Q), uwzgldniajca równie| akumulacj kapitaBu ludzkiego (wycenianego w kategoriach kapitaBu fizycznego zmienn sprz|on ¸ a" ¸2/¸1): ² 1-² ± 1-± Q = A1 vK uH +¸ A2 îø 1- v K ùø îø 1- R - u H ùø . [1g.7] ( ) ( ) ( ) ( )ûø ðø ûø ðø 23 Model Rebelo jest bardziej zBo|ony ni| model Lucasa, w którym wystpowaBy dwie zmienne sterujce. Trzecia zmienna sterujca v w modelu Rebelo jest zwizana z konieczno[ci dokonania odpowiedniego podziaBu zasobu kapitaBu pomidzy oba sektory gospodarki. 24 Zmienne v i u s ze sob [ci[le powizane (zob. [1g.10]), a zatem jedn z nich mo|na pomin. 39 Aby uzyska tempo wzrostu gospodarczego w stanie równowagi dBugookresowej g*, nale|y wykona wiele przeksztaBceD warunków pierwszego rzdu. W niniejszym opracowaniu ograniczymy si tylko do przedstawienia wyników modelu. Efektywna alokacja zasobów powoduje, |e warto[ci kraDcowych produktów kapitaBu fizycznego w obu sektorach gospodarki oraz warto[ci kraDcowych produktów kapitaBu ludzkiego w obu sektorach musz by równe:25 ² -11-² ± -1 1-± MPK(Y ) = A1± ( ) ( ) ( ) ( ) vK uH = ¸ A2² 1- v K 1- R - u H = ¸ MPK(H ) [1g.8] ( ) () ± -± ² -² MPH(Y ) = A1 vK 1-± )( ) ( ) ( ) ( ) uH = ¸ A2 1- v K 1- ² 1- R - u H = ¸ MPH(H ) [1g.9] ( ) ( ( ) ( ) Dzielc [1g.8] przez [1g.9] uzyskujemy: ± u ² v = . [1g.10] 1-± 1- R - u 1- ² 1- v Równanie [1g.10] informuje, |e kraDcowe stopy transformacji w obu sektorach gospodarki musz by sobie równe. Dodatkowo, na podstawie [1g.10] wida, |e wzrost produkcji w ka|dym sektorze nastpuje w wyniku równomiernego wzrostu zatrudnienia obu czynników wytwórczych (przy danych warto[ciach parametrów ±, ² i R, wzrost u implikuje wzrost v i odwrotnie, spadek u mo|e nastpi tylko wraz ze spadkiem v). Tempo wzrostu gospodarczego w stanie równowagi dBugookresowej w modelu Rebelo dane jest wzorem:26 & & & & & Y Q K H C I&1 1-³ ³ 1 = = = = = = g* = [1g.11] ( ) {˜A A2-³ 1- R -´ - Á}, 1 Y Q K H C I à gdzie: 1-± ³ 1-² 1-³ ² 1-± ³ ˜a" ±±³ 1-± )( ) ( ) ( )( )( ) ² 1- ² > 0 ; ³ a"" (0;1) . ( 1+ ² -± Równanie [1g.11] pokazuje, |e w modelu Rebelo wzrost gospodarczy jest ksztaBtowany endogenicznie za pomoc parametrów modelu. Na przykBad, wzrost zale|y ujemnie od R oraz dodatnio od A1 i A2. Ujemna zale|no[ wzgldem R oznacza, |e zwikszenie ilo[ci czasu wolnego przez poszczególne osoby spowalnia wzrost gospodarczy. Przyspieszenie wzrostu mo|e nastpi zatem w wyniku zwikszenia czasu pracy jednostek. Dodatnia zale|no[ g* od 25 Warto[ kraDcowego produktu czynnika jest iloczynem produktu kraDcowego wyra|onego w jednostkach fizycznych oraz ceny, po której produkt ten jest sprzedawany. W modelu miar takiej ceny jest zmienna sprz|ona zwizania z równaniem ruchu danego czynnika. A zatem, kraDcowy produkt z sektora dóbr nale|y pomno|y przez ¸1, za[ kraDcowy produkt z sektora kapitaBu ludzkiego  przez ¸2. W równaniach [1g.8] i [1g.9] wykorzystali[my jedn zmienn ¸, bdc ilorazem cen ¸2 i ¸1. 26 Osoby zainteresowane uzyskaniem dokBadnej kolejno[ci obliczeD prowadzcych do otrzymania równania [1g.11] prosimy o kontakt z autorem. 40 A1 i A2 implikuje, |e postp techniczny w dowolnym z sektorów gospodarki przyczynia si do przyspieszenia tempa wzrostu PKB. Wzrost gospodarczy w modelu mo|e by ujemny. Sytuacja taka ma miejsce, je|eli ˜A1³A21 ³(1  R)1 ³ < ´ + Á. Tempo wzrostu nie mo|e by jednak mniejsze ni|  ´, co wynika z zaBo|enia o nieujemno[ci inwestycji. Je[li chodzi o dynamik okresu przej[ciowego, to gospodarki, w których pocztkowy stosunek kapitaBu fizycznego do ludzkiego nie jest równy warto[ci K/H odpowiadajcej stanowi równowagi dBugookresowej, bd wykazywa inne tempo wzrostu gospodarczego ni| w stanie równowagi dBugookresowej.27 Pomijamy jednak szczegóBow analiz okresu przej[ciowego, gdy| nie ma ona bezpo[redniego zwizku z celem niniejszej pracy. 27 Zbie|no[ K/H do poziomu (K/H)*, odpowiadajcego stanowi ustalonemu, wystpuje, gdy ± > ². W sytuacji, gdy ² > ±, stan równowagi dBugookresowej nie jest stabilny i gospodarka o pocztkowej relacji kapitaBu fizycznego do ludzkiego nie odpowiadajcej stanowi ustalonemu nigdy nie osignie równowagi dBugookresowej. Jednak przypadek ² > ± wykluczamy, gdy| nie jest zgodny z rzeczywisto[ci. W produkcji kapitaBu ludzkiego wykorzystuje si gBównie kapitaB ludzki, za[ kapitaB fizyczny ma przede wszystkim zastosowanie w produkcji kapitaBu fizycznego. Naturalne zatem jest zaBo|enie ± > ² (zob. Barro, Sala-i-Martin, 1995, s. 182). 41 3.4. Model Romera ze zwikszajc si liczb dóbr W punktach 3.4 i 3.5 przedstawione s modele, w których wzrost gospodarczy jest osigany w wyniku endogenizacji postpu technicznego. Postp techniczny, który w neoklasycznej teorii wzrostu miaB charakter egzogeniczny, w tym i w nastpnym modelu jest efektem dziaBalno[ci sektora badawczo-rozwojowego. W modelu ze zwikszajc si liczb dóbr innowacje sektora B+R polegaj na tworzeniu nowych dóbr po[rednich, wykorzystywanych w procesie produkcji dóbr finalnych. ZakBadamy, |e nowe dobra po[rednie nie powoduj zaniechania wykorzystywania dotychczasowych czynników wytwórczych, co oznacza, |e liczba dóbr po[rednich w gospodarce zwiksza si wraz z ka|d innowacj. A zatem, w modelu ze zwikszajc si liczb dóbr innowacje maj charakter  poziomy , w przeciwieDstwie do  pionowych innowacji, polegajcych na poprawie jako[ci dóbr ju| istniejcych. Przedstawiony w niniejszym opracowaniu model pochodzi z artykuBu Paula Romera (Romer, 1990). Wykorzystywana przez Romera funkcja produkcji (zob. [1h.1]) nawizuje do funkcji u|yteczno[ci wystpujcej w mikroekonomicznych modelach Dixita i Stiglitza (Dixit, Stiglitz, 1977). Gospodarka w modelu Romera ze zwikszajc si liczb dóbr skBada si z trzech sektorów: sektora dóbr finalnych, sektora dóbr po[rednich oraz sektora B+R. Do produkcji wykorzystywane s  w zale|no[ci od sektora  kapitaB fizyczny (K), kapitaB ludzki (H), praca (L), technika (A) oraz dobra po[rednie (x). ZakBadamy, |e zasób kapitaBu ludzkiego i pracy jest staBy (H = const., L = const.). Zmienna oznaczona symbolem A okre[la poziom techniki w gospodarce; jej zmiany obrazuj wielko[ postpu technicznego. Formalnie, zmienna A jest równa liczbie dóbr po[rednich dostpnych w gospodarce. Nowe dobra po[rednie powstaj w wyniku prac badawczych prowadzonych w doskonale konkurencyjnym sektorze B+R. Ka|de dobro po[rednie produkowane jest przez monopolist, który kupuje od sektora B+R licencj na produkcj danego dobra i sprzedaje wytwarzane dobro po[rednie przedsibiorstwom dziaBajcym w sektorze dóbr finalnych. Dobra finalne mog by przeznaczane na konsumpcj lub na akumulacj kapitaBu fizycznego. W sektorze dóbr finalnych czynnikami produkcji s kapitaB ludzki, praca oraz dobra po[rednie. Funkcja produkcji ma nastpujc posta: " A " 1-± -² ± ± ± Y HY , L, x = HY L² 1-± -² = HY L² 1-± -² = HY L² x i di , [1h.1] () ( ) "x "x i i +" i=1 i=1 0 gdzie: HY  cz[ kapitaBu ludzkiego wykorzystywanego w produkcji dóbr finalnych, xi lub x(i)  nakBady i-tego dobra po[redniego, A  liczba dóbr po[rednich. Pierwsze przeksztaBcenie 42 funkcji produkcji [1h.1] wynika z zaBo|enia xi = 0 dla i > A, za[ drugie  z przyjcia kontinuum dóbr po[rednich. Produkcja jest przeznaczana na konsumpcj lub na inwestycje, równe przyrostowi kapitaBu fizycznego (przy zaBo|eniu braku amortyzacji): & Y = C + I = C + K . [1h.2] W produkcji dóbr po[rednich wykorzystuje si jedynie kapitaB fizyczny. Funkcja produkcji i-tego dobra po[redniego jest nastpujca: k i ( ) x i = , [1h.3] ( ) · gdzie k(i) jest nakBadem kapitaBu fizycznego (· > 0). Uwzgldniajc zale|no[ [1h.3], wielko[ kapitaBu fizycznego w caBej gospodarce (K) mo|na zapisa jako: " A " K =· =· =· x i di . [1h.4] ( ) "x "x ii +" i=1 i=1 0 Innowacje, powstajce w sektorze B+R, polegaj na wzro[cie liczby dóbr po[rednich. Efektywno[ prac badawczo-rozwojowych zale|y od nakBadów kapitaBu ludzkiego i od liczby dotychczasowych innowacji. Wzrost liczby dóbr po[rednich jest okre[lony równaniem: & A = µHAA , [1h.5] gdzie HA to cz[ kapitaBu ludzkiego wykorzystywanego przez sektor B+R (HY + HA = H). Jak wida, w sektorze B+R wystpuj staBe przychody wzgldem odtwarzalnego czynnika produkcji A (oraz rosnce przychody wzgldem A i HA). Brak malejcych przychodów jest warunkiem umo|liwiajcym osignicie endogenicznego wzrostu gospodarczego.28 Analiz dynamiki modelu rozpoczniemy od przypadku gospodarki rynkowej (nie u|ywamy pojcia  gospodarka doskonale konkurencyjna , poniewa| niektóre rynki s zmonopolizowane). W celu znalezienia równania opisujcego tempo wzrostu gospodarczego rozpatrujemy oddzielnie zachowania przedsibiorstw dziaBajcych w ka|dym z trzech sektorów gospodarki. Zysk przedsibiorstwa dziaBajcego w sektorze dóbr finalnych jest równy wielko[ci produkcji pomniejszonej o koszty zakupu jedynego zmiennego czynnika produkcji x po cenie p. Poniewa| wystpuj staBe przychody ze skali, problem optymalizacyjny firm przekBada si na nastpujcy problem optymalizacyjny caBej gaBzi: " 1-± -² ± [1h.6] Y +"îøH L² x(i) - p(x(i))x(i)ùø di ’! max. ðøûø 0 28 Jest to pewne podobieDstwo do modeli Lucasa i Rebelo, w których dBugookresowy wzrost byB mo|liwy dziki wystpowaniu staBych przychodów. 43 Maksymalizujc [1h.6] wzgldem x(i) uzyskujemy zale|no[ midzy optymaln wielko[ci zatrudnienia i-tego dobra po[redniego a jego cen: -± -² ± p x i = 1-± - ² HY L² x i . [1h.7] ( ) ( ( ) ) ( ) Równanie [1h.7] okre[la funkcj popytu sektora dóbr finalnych na i-te dobro po[rednie w zale|no[ci od ceny tego dobra. Poniewa| ka|de dobro po[rednie jest produkowane przez monopolist, równanie [1h.7] jest funkcj popytu na produkt takiego monopolisty. Monopolista dziaBajcy w sektorze dóbr po[rednich sprzedaje produkt napotykajc ujemnie nachylon funkcj popytu dan wzorem [1h.7]. Ponosi on koszty zmienne, równe kosztom zakupu k(i) jednostek kapitaBu fizycznego po cenie r, oraz koszty staBe, zwizane z zakupem licencji od sektora B+R na produkcj i-tego dobra po[redniego. Licencje s nabywane po cenie PA, wyznaczonej przez sektor B+R. Problem optymalizacyjny ka|dego monopolisty jest zatem nastpujcy:  = p x x - rk - PA = p x x - r· x - PA ’! max. [1h.8] ( ) ( ) Po uwzgldnieniu funkcji popytu [1h.7], formuBa maksymalizacji zysku [1h.8] pozwala obliczy cen dobra po[redniego x, jak wyznaczy monopolista: r· p = . [1h.9] 1-± - ² Równania [1h.9] i [1h.7] okre[laj optymaln wielko[ produkcji i cen ustalane przez monopolist. Wysoko[ zysku tego monopolisty zale|y tak|e od ceny PA, jak musi on zapBaci za licencj na produkcj danego dobra po[redniego. Cena PA jest wyznaczana przez przedsibiorstwa dziaBajce w doskonale konkurencyjnym sektorze B+R. Cena ta jest równa zaktualizowanej warto[ci nadwy|ki monopolu À (À a" px  rk):29 Ä " - +"r(s)ds t PA t = [1h.10] ( ) +"e À (Ä )dÄ . t Poniewa| w stanie równowagi cena PA jest staBa, "PA/"t = 0. Ró|niczkujc [1h.10] wzgldem t, otrzymujemy: À t = PAr t lub PA = À t / r t . [1h.11] ( ) ( ) ( ) ( ) 29 Symbolem   oznaczamy rzeczywisty zysk monopolu, równy ró|nicy utargu i wszystkich kosztów (Bcznie ze staBymi kosztami zakupu licencji). Natomiast À jest równe ró|nicy utargu i zmiennych kosztów produkcji, co formalnie oznacza nadwy|k producenta. Jednak z punktu widzenia przedsibiorstw dziaBajcych w sektorze B+R zysk monopolu uzyskiwany z produkcji dóbr po[rednich wynosi wBa[nie À. Cena za licencj PA jest wyznaczona w taki sposób, |eby byBa równa warto[ci zaktualizowanej strumienia potencjalnych zysków monopolu À. 44 Równania [1h.10] lub [1h.11] pokazuj, |e cena pBacona za licencj przez monopolist jest równa zaktualizowanej warto[ci strumienia przyszBych zysków czerpanych z produkcji danego dobra po[redniego.30 A zatem, przedsibiorstwa produkujce dobra po[rednie nie osigaj zysków nadzwyczajnych: nadwy|ka utargu nad zmiennymi kosztami produkcji w poszczególnych okresach dokBadnie kompensuje (wraz z odpowiednimi odsetkami) pocztkowy wydatek na zakup licencji. Wykorzystujc m. in. wzory [1h.7] i [1h.9], cen za licencj PA mo|na zapisa jako: 1 ± PA = + ² 1-± - ² HY L² x1-± -² . [1h.12] (± )( ) r W warunkach równowagi wielko[ produkcji ka|dego dobra po[redniego jest taka sama. A zatem: " 1-± -² K x i di = Ax1-± -² oraz K =· Ax Ò! x = . [1h.13] ( ) +" · A 0 Wykorzystujc zale|no[ [1h.13], funkcj produkcji [1h.1] mo|na zapisa w postaci: ± ² ± Y = HY L² Ax1-± -² = HY A LA K1-± -²·± +² -1. [1h.14] ( ) ( ) Powy|szy wzór pokazuje, |e opisywany tu model ma wBa[ciwo[ci podobne do modelu neoklasycznego z postpem technicznym zasilajcym prac i kapitaB ludzki. Funkcja produkcji wykazuje staBe przychody wzgldem wszystkich czynników i malejce przychody z kapitaBu. Efektywna alokacja zasobów wymusza zrównanie warto[ci kraDcowego produktu kapitaBu ludzkiego w sektorze dóbr finalnych i sektorze B+R, a zatem: ± ± HY -1L² Ax1-± -² = PAµ A. [1h.15] Poniewa| kapitaB ludzki w sektorze B+R jest jedynym opBacanym czynnikiem produkcji, jego wynagrodzeniem jest warto[ caBej produkcji tego sektora. Wykorzystujc równania [1h.12] i [1h.15], otrzymujemy: ± HY = r . [1h.16] µ + ² 1-± - ² (± )( ) Funkcja u|yteczno[ci gospodarstw domowych ma typow posta: " C1-à -1 e-Átdt . [1h.17] +" 1-à 0 Rozwizaniem problemu optymalizacyjnego gospodarstw domowych jest standardowe 30 Drugie z równaD [1h.11] jest typowym równaniem przedstawiajcym warto[ aktywów bezterminowych, które przynosz w ka|dym okresie À(t) czystego zysku. 45 równanie przedstawiajce tempo wzrostu konsumpcji w zale|no[ci od stopy procentowej, stopy preferencji czasowych i elastyczno[ci substytucji:31 & C r - Á = . [1h.18] C à Przejdziemy teraz do analizy równowagi dBugookresowej. W stanie ustalonym r, x, HY, HA, K/A, K/Y i C/Y s staBe, za[ Y, A, K i C rosn wedBug staBej stopy gKD: & & & & Y K C A gKD = = = = = µHA e" 0 . [1h.19] Y K C A Tempo wzrostu gospodarczego gKD obliczamy z ukBadu równaD, gdzie jednym równaniem jest tempo wzrostu uzyskane z maksymalizacji u|yteczno[ci gospodarstw domowych ([1h.18]), za[ drugim  tempo wzrostu gospodarczego otrzymane z maksymalizacji zysku przedsibiorstw ([1h.19]). Wykorzystujc formuB [1h.16] oraz eliminujc r midzy [1h.18] i [1h.19], uzyskujemy: µH -›Á ± gKD = , gdzie › a"> 0 . [1h.20] ›Ã +1 (± + ² 1-± - ² )( ) Równanie [1h.20] przedstawia wzór na endogeniczne tempo wzrostu gospodarczego w modelu ze zwikszajc si liczb dóbr dla przypadku gospodarki rynkowej. Najwa|niejszy wniosek pByncy z analizy równania [1h.20] dotyczy wystpowania efektów skali. Mianowicie, kraje z wikszym zasobem kapitaBu ludzkiego rozwijaj si szybciej. Je[li zasób kapitaBu ludzkiego jest zbyt maBy, to warunek nieujemno[ci tempa wzrostu gospodarczego z [1h.19] jest wi|cy i w gospodarce mo|e wystpowa stagnacja. A zatem, opisany tutaj model ze zwikszajc si liczb dóbr daje dobre wyja[nienie, dlaczego tempo wzrostu gospodarczego na [wiecie jest zró|nicowane i dlaczego niektóre kraje prawie w ogóle si nie rozwijaj. Za wszelkie ró|nice w tempach wzrostu odpowiedzialny jest kapitaB ludzki. Gospodarka rynkowa w opisanym modelu nie jest optymalna w sensie Pareta i wykazuje ni|sze tempo wzrostu gospodarczego ni| gospodarka centralnie planowana. W równowadze rynkowej zbyt maBy zasób kapitaBu ludzkiego jest przeznaczany na badania, gdy|  po pierwsze  sektor B+R wywoBuje dodatnie efekty zewntrzne (ka|da innowacja zwiksza produkcyjno[ nastpnych prac w sektorze B+R), za[ po drugie  produkcja sektora B+R przechodzi przez monopolist, który  stosujc ceny monopolowe  wytwarza zbyt maBo dóbr po[rednich. Aby to wykaza, rozpatrujemy problem centralnego planisty: 31 Wyprowadzenie zale|no[ci [1h.18] z [1h.17] jest analogiczne do wyprowadzenia pierwszego z równaD [1b.7] z [1b.4]. 46 " C1-à -1 e-Átdt ’! max. [1h.21] +" 1-à 0 ± ² & & p.w. (a) K = HY A LA K1-± -²·± +² -1 - C ; (b) A = µHAA ; (c) HY + HA = H . ( ) ( ) W celu rozwizania powy|szego problemu optymalizacyjnego konstruujemy hamiltonian warto[ci zaktualizowanej: ± ² C1-à -1 5!= +¸1 H - HA A LA K1-± -²·± +² -1 - C +¸2 µHAA [1h.22] () ( ) () { } { } 1-à i odpowiednie warunki pierwszego rzdu: "5! "5! "5! "5! "5! & & (I) = 0 ; (II) = 0 ; (III) K = ; (IV) A = ; (V) ¸& = Á¸1 - ; 1 "C "HA "¸1 "¸2 "K "5! (VI) ¸& = Á¸2 - ; (VII) lim e-Át¸1K = 0 ; (VIII) lim e-Át¸2H = 0 . [1h.23] 2 t’!" t’!" "A PrzeksztaBcenia warunków pierwszego rzdu [1h.23] (z pominiciem dwóch warunków transwersalno[ci) pozwalaj uzyska wzór na tempo wzrostu gospodarczego:32 µH - ˜Á ± gCP = , gdzie ˜ a" > 0 . [1h.24] ˜Ã + 1- ˜ ( ) ± + ² Równanie [1h.24] przedstawia wzór na endogeniczne tempo wzrostu gospodarczego w modelu ze zwikszajc si liczb dóbr dla przypadku gospodarki centralnie planowanej. Z porównania formuB [1h.20] z [1h.24] wynika, |e gospodarka rynkowa bdzie przeznaczaBa zbyt maBy zasób kapitaBu ludzkiego na badania i rozwój i dlatego bdzie rozwijaBa si wolniej. Równania [1h.20] i [1h.24] ró|ni si bowiem pod dwoma wzgldami. Po pierwsze, we wzorze na gKD wystpuje staBa ›, podczas gdy we wzorze na gCP wystpuje staBa ˜, mniejsza ni| ›: ± 1 ›a" =˜ . [1h.25] (± + ² 1-± - ² 1-± - ² )( ) Obie staBe › i ˜ ró|ni si midzy sob wielko[ci 1/(1  ±  ²), równ ilorazowi ceny oraz kosztu kraDcowego monopolisty produkujcego dobro po[rednie (zob. [1h.9]). Zamiana › na ˜ wynika z faktu, i| w gospodarce rynkowej dobra po[rednie s wytwarzane przez monopolist, który wyznacza cen wy|sz od kosztu kraDcowego produkcji. Im wiksza jest siBa monopolu, tzn. im wy|sza jest warto[ 1/(1  ±  ²), tym wiksza ró|nica w tempach wzrostu gospodarki rynkowej i centralnie planowanej. Po drugie, w mianowniku równania [1h.20] wystpuje staBa 1, za[ w mianowniku [1h.24]  32 Osoby zainteresowane uzyskaniem dokBadnej kolejno[ci wykonywania obliczeD prosimy o kontakt z autorem. 47 mniejsza warto[ 1  ˜. Ró|nica ta zwizana jest z uwzgldnieniem przez centralnego planist efektów zewntrznych i równie| prowadzi do szybszego tempa wzrostu gospodarki centralnie planowanej. Opisany tu model nie potwierdza wystpowania zjawiska konwergencji. Kraje bogate, z du|ym zasobem kapitaBu ludzkiego, wykazuj bowiem wy|sze tempo wzrostu gospodarczego ni| kraje sBabo rozwinite, w których zasób kapitaBu ludzkiego jest maBy. 48 3.5. Model Aghiona-Howitta z poprawiajc si jako[ci dóbr Charakterystyczn cech modelu Aghiona-Howitta z poprawiajc si jako[ci dóbr jest to, |e postp techniczny polega na poprawie jako[ci dóbr ju| istniejcych. Innowacje, które powstaj w sektorze B+R, maj charakter pionowy, tzn. prowadz do poprawy jako[ci dóbr po[rednich. W przeciwieDstwie do wcze[niejszego modelu, nowe dobra po[rednie s substytucyjne w stosunku do starych, a zatem ich wprowadzanie powoduje natychmiastow rezygnacj z dotychczasowych czynników produkcji. Wystpujcy w tym modelu mechanizm wypierania starych dóbr przez nowe jest dokBadnie tym, co Schumpeter w 1942 r. nazwaB  twórcz destrukcj . Schumpeter twierdziB, |e  twórcza destrukcja jest nieodBcznym elementem rozwoju kapitalizmu. Przedstawiony w niniejszym opracowaniu model pochodzi z artykuBu Philippe a Aghiona i Petera Howitta (Aghion, Howitt, 1992).33 Gospodarka w modelu Aghiona-Howitta skBada si z trzech sektorów: sektora dóbr finalnych, sektora dóbr po[rednich oraz sektora B+R. W sektorze B+R nieskoDczenie wiele doskonale konkurencyjnych przedsibiorstw prowadzi prace badawcze, które koDcz si sukcesem z pewnym prawdopodobieDstwem. Sukcesem jest innowacja polegajca na opracowaniu nowego dobra po[redniego, charakteryzujcego si lepsz produkcyjno[ci. Ka|demu kolejnemu dobru po[redniemu odpowiada wy|sza warto[ zmiennej A, reprezentujcej poziom techniki: t At = A0³ ³ > 1 . [1i.1] ( ) Przedsibiorstwo dokonujce innowacji uzyskuje monopol na produkcj nowego dobra po[redniego, wypierajc tym samym z rynku dotychczasowego producenta. Monopol trwa a| do momentu pojawienia si nastpnej innowacji. Dobra po[rednie s sprzedawane przedsibiorstwom dziaBajcym w sektorze dóbr finalnych. Liczba ludno[ci jest staBa. Poszczególne osoby ró|ni si midzy sob poziomem wyksztaBcenia. W gospodarce jest L1 osób niewyksztaBconych, L2 osób wyksztaBconych i L3 specjalistów (L1 = const., L2 = const., L3 = const.). Osoby niewyksztaBcone pracuj tylko w sektorze dóbr finalnych, za[ specjali[ci  tylko w sektorze B+R. Osoby wyksztaBcone pracuj w dwóch sektorach gospodarki: Lt osób pracuje w sektorze wytwarzajcym dobra po[rednie, za[ Nt  w sektorze B+R (Lt + Nt = L2). Indeks t, który pojawiB si m. in. w równaniu [1i.1], nie jest indeksem czasu: t okre[la 33 Istniej tak|e inne modele z poprawiajc si jako[ci dóbr (zob. np. Segerstrom, Anant, Dinopoulos, 1990; Grossman, Helpman, 1991), które ró|ni si od przedstawionego tutaj modelu Aghiona-Howitta. Na przykBad, w modelu Grossmana-Helpmana procesom innowacji podlega wiele dóbr, natomiast w modelu Aghiona-Howitta innowacje obejmuj jedno dobro po[rednie wystpujce w gospodarce. 49 numery kolejnych innowacji, które powstaj z ró|nym prawdopodobieDstwem. Rzeczywisty czas ma charakter cigBy i bdzie oznaczany symbolem Ä. O ile Ä = 0 jest równowa|ne t = 0, o tyle dla nastpnych okresów równo[ ta nie zachodzi, gdy| innowacje powstaj w zmiennych odstpach czasowych. Charakter powizaD midzy Ä i t jest widoczny na rysunku 1.7. Ka|da kolejna innowacja rozpoczyna nowy okres t i powoduje wzrost warto[ci zmiennej lnA o ln³. Dobra finalne (konsumpcyjne) s wytwarzane przy wykorzystaniu dobra po[redniego x oraz niewyksztaBconej siBy roboczej L1. Postp techniczny ma charakter neutralny w ujciu Hicksa.34 Wystpuj staBe przychody wzgldem obu czynników: x i L1. Poniewa| L1 = const., zmienn t mo|na pomin. Funkcja produkcji ma zatem posta: Yt = At Å" F xt , [1i.2] ( ) gdzie F (x) > 0 i F (x) < 0. Rysunek 1.7 Czas i innowacje w modelu Aghiona-Howitta z poprawiajc si jako[ci dóbr lnAt lnA6 ln³ lnA5 ln³ lnA4 ln³ lnA3 ln³ lnA2 ln³ lnA1 ln³ lnA0 Czas (Ä)a Kolejne innowacje (t) a Czas Ä jest zmienn cigB. Do celów graficznych zostaB on przedstawiony jako zmienna dyskretna. Dobro po[rednie jest produkowane zgodnie z funkcj produkcji: xt = Lt . [1i.3] Produkcja sektora B+R polega na tworzeniu innowacji. Innowacje s losowe i powstaj wedBug procesu Poissona, który ma rozkBad wykBadniczy z parametrem »Æ(Nt,L3).35 Funkcja Æ 34 Oznacza to, |e zmienna reprezentujca poziom techniki wystpuje w iloczynie z funkcj produkcji. 35 »Æ(Nt,L3) jest wspóBczynnikiem pojawiania si innowacji (arrival rate of innovations). 50 = 0 = 1 = 2 = 3 = 4 = 5 = 6 = 7 = 8 = 9 = 10 = 11 = 12 = 13 = 14 = 15 t = 0 t = 1 t = 2 t = 3 t = 4 t = 5 t = 6 wykazuje staBe przychody ze skali. Jak wida, efektywno[ prac badawczo-rozwojowych zale|y m. in. od liczby osób wyksztaBconych pracujcych w sektorze B+R (Nt). ZakBadamy, |e osoby te s niezbdne do pojawiania si innowacji: Æ(0,L3) = 0. Analiz modelu przeprowadzimy dla przypadku gospodarki rynkowej. W celu znalezienia równania opisujcego tempo wzrostu gospodarczego rozpatrujemy oddzielnie zachowania przedsibiorstw dziaBajcych w ka|dym z trzech sektorów gospodarki. Zysk firmy dziaBajcej w sektorze dóbr finalnych jest równy wielko[ci produkcji pomniejszonej o koszty zakupu dobra po[redniego x po cenie p. Poniewa| wystpuj staBe przychody ze skali, problem optymalizacyjny przedsibiorstw przekBada si na nastpujcy problem optymalizacyjny gaBzi: AF xt pt xt ’! max. [1i.4] ( )- t Maksymalizujc [1i.4] wzgldem xt, uzyskujemy funkcj popytu sektora dóbr finalnych na dobro po[rednie: pt = AF ' xt . [1i.5] ( ) t Dobro po[rednie jest wytwarzane przez monopolist, który produkuje zgodnie z funkcj produkcji [1i.3], napotyka funkcj popytu dan wzorem [1i.5] i d|y do maksymalizacji zysku À : Àt = pt xt - wLt = pt xt - wxt = îøAtF ' xt wt ùø xt ’! max., [1i.6] ( )- t t ðøûø gdzie wt jest stawk pBacy. Oznaczmy przez É a" d(px)/dx = A(F (x) + F (x)x) utarg kraDcowy monopolu. Niech falka nad dan zmienn oznacza podzielenie wBa[ciwej zmiennej przez poziom techniki At: wt % Àt % % wt a" ; É xt = F ' xt + F " xt xt ;36 Àt = . [1i.7] ( ) ( ) ( ) At At Monopolista wyznacza optymaln wielko[ produkcji zrównujc utarg kraDcowy É z kosztem kraDcowym równym stawce pBacy w, co prowadzi do nastpujcego warunku: % % É xt = wt . [1i.8] ( ) Z [1i.8] wyznaczamy optymaln wielko[ produkcji przedsibiorstwa jako odwrotn funkcj utargu kraDcowego: % % xt = É-1 wt . [1i.9] ( ) W doskonale konkurencyjnym sektorze B+R prace nad nowymi innowacjami prowadzi 36 % % % É ' x < 0 ; limÉ x = 0 ; limÉ x =" . ( ) ( ) ( ) x’!" x’!0 51 nieskoDczenie wiele przedsibiorstw. Celem ka|dego z nich jest maksymalizacja zysku: »Æ nt ,l3 Vt+1 - wtnt - wtSl3 ’! max., [1i.10] ( ) gdzie n i l3 to liczba osób wyksztaBconych oraz liczba specjalistów zatrudnianych przez pojedyncze przedsibiorstwo, Vt+1 jest warto[ci (t + 1)-ej innowacji, za[ wtS jest stawk pBacy dla specjalistów. Poniewa| Æ to funkcja o staBych przychodach, maksymalizacja [1i.10] przekBada si na nastpujcy problem optymalizacyjny caBej gaBzi: »Õ Nt Vt+1 - wt Nt - wtS L3 ’! max., [1i.11] ( ) gdzie Õ(N) a" Æ(N,L3).37 Maksymalizacja [1i.11] wzgldem Nt prowadzi do warunku: »Õ ' Nt Vt+1 = wt . [1i.12] ( ) Warto[ (t + 1)-ej innowacji wyznaczamy z równania: rVt+1 = Àt+1 - »Õ Nt+1 Vt+1 . [1i.13] ( ) Powy|sze równanie informuje, |e oczekiwany dochód z posiadania licencji na produkcj (t + 1)-ej innowacji, czyli iloczyn stopy procentowej r i warto[ci (t + 1)-ej innowacji, jest równy wielko[ci zysków monopolowych uzyskiwanych z produkcji (t + 1)-ego dobra po[redniego pomniejszonych o oczekiwan strat kapitaBow zaistniaB w sytuacji, kiedy powstanie kolejna innowacja. WspóBczynnik pojawienia si (t + 2)-ej innowacji wynosi »Õ(Nt+1). Jak wida, »Õ(Nt+1) ro[nie wraz ze wzrostem Nt+1, co oznacza, |e wiksze zasoby siBy roboczej przeznaczane na badania nad (t + 2)-g innowacj zmniejszaj warto[ (t + 1)-ej innowacji (Vt+1). Rozwizaniem modelu jest wyznaczenie optymalnego podziaBu zasobu wyksztaBconych pracowników L2 midzy produkcj w sektorze dóbr po[rednich (Lt) i w sektorze B+R (Nt). Podstawiajc [1i.13] do [1i.12], wykorzystujc wzory [1i.1] i [1i.6]  [1i.9] oraz Lt + Nt = L2, uzyskujemy równanie opisujce dynamik gospodarki w modelu Aghiona- Howitta: % ³À É L2 ) É L2 - Nt % % ( - Nt+1 () ( ) = . [1i.14] »Õ ' Nt r + »Õ Nt+1 ( ) ( ) Powy|sza formuBa jest nieliniowym równaniem ró|nicowym opisujcym dynamik zatrudnienia przez sektor B+R osób wyksztaBconych. Dla ka|dej wielko[ci Nt wzór ten okre[la w sposób uwikBany warto[ Nt+1. Lew stron [1i.14] mo|na traktowa jako kraDcowy koszt badaD C(Nt), za[ praw stron  jako kraDcow korzy[ z badaD B(Nt+1). Koszt 37 Õ 0 = 0 ; Õ ' N > 0 ; Õ " N < 0 . ( ) ( ) ( ) 52 kraDcowy ro[nie wraz ze zwikszaniem zasobów pracy przeznaczanych na badania w bie|cym okresie, za[ kraDcowa korzy[ z prowadzenia prac badawczych maleje wraz ze wzrostem zasobów pracy przeznaczanych na badania w okresie t + 1. W stanie równowagi dBugookresowej liczba osób wyksztaBconych pracujcych w sektorze B+R jest staBa: Nt = Nt+1 = N*KD. Wykorzystujc ten fakt, z warunku [1i.14] mo|emy obliczy wielko[ zatrudnienia osób wyksztaBconych w sektorze B+R: % ³À É L2 É L2 - N*KD % % - N*KD ( ) ( ). () = [1i.15] »Õ ' N*KD r + »Õ N*KD ( ) ( ) Rysunek 1.8 przedstawia rozwizanie równania [1i.14] w formie graficznej (dla przypadku C(0) < B(0)).38 Rysunek 1.8 Okres przej[ciowy i stan ustalony w modelu Aghiona-Howitta z poprawiajc si jako[ci dóbr % % ³À É L2 ( ) ( ) B 0 = ( ) r % % ³À É L2 - Nt+1 ( ) () B Nt+1 = ( ) r + »Õ Nt+1 ( ) % É L2 - Nt ( ) C Nt = ( ) »Õ ' Nt ( ) % É L2 ( ) C 0 = ( ) »Õ ' 0 ( ) Osoby wyksztaBcone pracujce w sektorze B+R N0 N2 N3 N1 N N L2 N*KD Na rysunku zaznaczono kraDcowy koszt i kraDcow korzy[ z prowadzenia prac badawczych. Dla ka|dej wielko[ci N w bie|cym okresie mo|na odczyta warto[ N w nastpnym okresie. Jak wida, istnieje ujemna zale|no[ midzy bie|c i przyszB wielko[ci zatrudnienia w sektorze B+R. Wynika to z dwóch przyczyn. Wiksze nakBady na badania w przyszBo[ci prowadz, po pierwsze, do wzrostu pBac w przyszBym okresie wt+1, za[ po drugie, do wzrostu wspóBczynnika pojawiania si innowacji »Õ(Nt+1) i przez to do szybszego 38 W przypadku, gdy C(0) e" B(0), równanie [1i.14] nie bdzie miaBo dodatniego rozwizania. W takiej sytuacji N*KD bdzie wynosiBo zero i gospodarka nie bdzie wykazywaBa wzrostu. 53 powstania nastpnej innowacji. Oba te czynniki powoduj spadek przyszBych zysków monopolistycznych, co prowadzi do zmniejszenia bie|cych nakBadów w sektorze B+R. Stacjonarna równowaga dBugookresowa wystpuje w punkcie przecicia si krzywych C(Nt) oraz B(Nt+1). W punkcie tym liczba osób wyksztaBconych pracujcych w sektorze B+R jest staBa i równa N*KD. W stanie ustalonym wspóBczynnik pojawiania si innowacji wynosi »Õ(N*KD) > 0.39 Liczba osób pracujcych w sektorze B+R w punkcie równowagi dBugookresowej (N*KD) zwiksza si wraz z: a) spadkiem stopy procentowej r, b) wzrostem jako[ci innowacji ³, c) wzrostem zasobu wyksztaBconej siBy roboczej L2, d) wzrostem wspóBczynnika pojawiania si innowacji ». Spadek stopy procentowej i wzrost jako[ci innowacji zwikszaj kraDcow korzy[ z badaD poprzez wy|sz zaktualizowan warto[ zysków monopolowych. Wzrost zasobu siBy roboczej zwiksza kraDcow korzy[ oraz zmniejsza kraDcowy koszt badaD, gdy| przyczynia si do spadku stawek pBac. Wzrost wspóBczynnika pojawiania si innowacji zmniejsza zarówno kraDcowy koszt, jak i kraDcow korzy[ z badaD, poniewa|  z jednej strony  oznacza wiksz efektywno[ zatrudnianych osób w pracach nad dan innowacj, lecz z drugiej  prowadzi do szybszego pojawienia si nastpnej innowacji i tym samym do skrócenia okresu istnienia danego monopolu. Ten pierwszy efekt jednak dominuje. Przejdziemy teraz do wyznaczenia tempa wzrostu gospodarczego w stanie równowagi dBugookresowej: lny(Ä + 1)  lny(Ä).40 W stanie ustalonym liczba osób wyksztaBconych pracujcych w sektorze B+R jest staBa, okre[lona równaniem [1i.15]. Oznacza to, |e w punkcie równowagi staBa jest tak|e wielko[ zatrudnienia w sektorze dóbr po[rednich (L) oraz produkcja ka|dego dobra po[redniego (x). A zatem, z warunków [1i.2] i [1i.1] wynika, |e ka|da innowacja powoduje wzrost produkcji ³ razy: ln yt+1 - ln yt = ln ³ . [1i.16] Tempo wzrostu gospodarczego midzy okresem Ä i Ä + 1 bdzie zatem równe ln³ razy liczba innowacji midzy okresem Ä i Ä + 1. Poniewa| w stanie ustalonym innowacje pojawiaj si wedBug rozkBadu wykBadniczego z parametrem »Õ(N*KD), oczekiwana liczba innowacji w jednostce czasu jest równa »Õ(N*KD). Std, oczekiwane tempo wzrostu gospodarczego wynosi: 39 W sytuacji przedstawionej na rysunku gospodarka, która pocztkowo nie znajduje si w stanie ustalonym, zbiega do tego punktu. Takie rozwizanie nie jest jedynym mo|liwym. Na przykBad, mo|e wystpi dwuokresowa równowaga cykliczna, w której nakBady pracy w sektorze B+R bd wysokie w okresach parzystych i niskie w okresach nieparzystych (lub na odwrót). 40 Tempo wzrostu gospodarczego wynosi lny(Ä + 1)  lny(Ä), a nie lny(t + 1)  lny(t), gdy| szukamy zmian wielko[ci produkcji w czasie rzeczywistym Ä. 54 E ln y Ä +1 ln y Ä = »Õ N*KD ln³ . [1i.17] ( )- ( ) () ( ) Równanie [1i.17] przedstawia tempo wzrostu gospodarczego w stanie ustalonym w modelu Aghiona-Howitta z poprawiajc si jako[ci dóbr. Na podstawie równania [1i.17] oraz wcze[niejszych wniosków mo|na okre[li najwa|niejsze determinanty wzrostu gospodarczego. Tempo wzrostu zwiksza si wraz ze spadkiem stopy procentowej, wzrostem zasobu wyksztaBconej siBy roboczej, wzrostem jako[ci innowacji ³ oraz wzrostem warto[ci wspóBczynnika pojawiania si innowacji ». Te dwie ostatnie zmiany wpBywaj na stop wzrostu zarówno bezpo[rednio, jak i po[rednio  poprzez dodatnie oddziaBywanie na N*KD. Charakterystyczn cech omawianego modelu jest to, |e gospodarka rynkowa mo|e rozwija si szybciej lub wolniej ni| gospodarka centralnie planowana. Centralny planista wyznacza optymaln wielko[ zatrudnienia w sektorze B+R (N*CP) z nastpujcego warunku:41 F ' L2 - N*CP ³ -1 F L2 - N*CP ( ) () ( ) = . [1i.18] »Õ ' N*CP r - »Õ N*CP ³ -1 ( ) ( ) ( ) Zatrudnieniu N*CP odpowiada [rednie tempo wzrostu gospodarczego równe: E ln y Ä +1 ln y Ä = »Õ N*CP ln³ . [1i.19] ( )- ( ) () ( ) Analogicznymi równaniami dla gospodarki rynkowej s [1i.15] i [1i.17]. Porównujc [1i.17] z [1i.19] widzimy, |e gospodarka centralnie planowana rozwija si szybciej (wolniej) ni| gospodarka rynkowa, je|eli N*CP > N*KD (N*CP < N*KD). Wielko[ci N*KD i N*CP s wyznaczane z równaD [1i.15] i [1i.18]. Jak wida, równania te ró|ni si midzy sob pod czteroma wzgldami. Po pierwsze, w [1i.15] wystpuje  prywatna stopa dyskontowa r + »Õ(N*KD), podczas gdy w [1i.18]   stopa dyskontowa na poziomie caBej gospodarki r  »Õ(N*CP)(³  1). Stopa dyskontowa na poziomie caBej gospodarki jest ni|sza ni| prywatna, gdy| dla centralnego planisty korzy[ z innowacji trwa wiecznie, podczas gdy pojedyncze przedsibiorstwo czerpie z niej korzy[ci tylko do momentu pojawienia si nastpnej innowacji. Po drugie, w równaniu [1i.15] wystpuje nadwy|ka producenta À/A, za[ w [1i.18] pojawia si wielko[ produkcji F. Po trzecie, wspóBczynnik ³ z licznika formuBy [1i.15] zostaje zastpiony przez wspóBczynnik ³  1 w równaniu [1i.18]. Wynika to std, |e prywatne przedsibiorstwo nie uwzgldnia faktu, i| nowa innowacja oznacza pojawienie si 41 Wyprowadzenie równania [1i.18] znajduje si w: Aghion, Howitt (1992) lub  w nieco zmienionej formie  Aghion, Howitt (1998). 55 straty dla dotychczasowego monopolisty. Po czwarte, utarg kraDcowy É/A wystpujcy we wzorze [1i.15], równy stawce pBacy, staje si w równaniu [1i.18] produktem kraDcowym F . Pierwsze dwie z powy|szych ró|nic sprawiaj, |e gospodarka rynkowa rozwija si wolniej ni| gospodarka centralnie planowana. Dwie kolejne ró|nice skutkuj szybszym wzrostem gospodarki rynkowej w porównaniu z centralnie planowan. Poniewa| efekty te dziaBaj w przeciwnych kierunkach, gospodarka rynkowa mo|e rozwija si szybciej lub wolniej od gospodarki centralnie planowanej. Model Aghiona-Howitta nie potwierdza wystpowania zjawiska konwergencji midzy krajami. Kraje wysoko rozwinite (o wysokim poziomie techniki, mierzonej zmienn A) bd rozwija si tak samo jak kraje sBabo rozwinite, które nie s zaawansowane technologicznie. PrawdopodobieDstwo powstania kolejnej innowacji oraz tempo wzrostu gospodarczego nie zale| bowiem od zmiennej A, okre[lajcej dotychczasowy poziom rozwoju. A zatem, nawet je[li poszczególne kraje charakteryzuj si takimi samymi warto[ciami parametrów okre[lajcych stan równowagi dBugookresowej, lecz ró|ni si poziomem rozwoju, zró|nicowanie dochodów midzy nimi bdzie rosn w czasie. 56 3.6. Rozszerzony model Solowa (model Mankiwa-Romera-Weila) Przedstawimy teraz rozszerzony model Solowa (the augmented Solow model), autorstwa N.G. Mankiwa, D. Romera i D.N. Weila (Mankiw, Romer, Weil, 1992; Romer, 2000). Mimo |e rozszerzony model Solowa stanowi kontynuacj neoklasycznej teorii wzrostu i nie jest ujciem endogenicznym, zalicza si go do nowej teorii wzrostu gBównie z dwóch powodów. Po pierwsze, powstaB on w latach dziewidziesitych, a wic w okresie nowej teorii wzrostu. Po drugie, uwzgldnienie kapitaBu ludzkiego jest pewn cech zbli|ajc ten model do grupy koncepcji endogenicznych. Model Mankiwa-Romera-Weila powstaB m. in. w celu pokazania, |e neoklasyczna teoria wzrostu dobrze wyja[nia ró|nice w poziomie dochodów midzy krajami i zjawisko konwergencji warunkowej. Dlatego te| pod koniec przedstawimy wyniki badaD empirycznych weryfikujcych prawdziwo[ wniosków pByncych z modeli Solowa (podstawowego i rozszerzonego). GBówna ró|nica midzy podstawowym i rozszerzonym modelem Solowa polega na tym, |e model w wersji rozszerzonej uwzgldnia kapitaB ludzki. KapitaB ludzki (H) jest trzecim czynnikiem produkcji, poza kapitaBem fizycznym (K) i efektywnym zasobem pracy (AL). Funkcja produkcji ma nastpujc posta: 1-± -² ² Y = K± H AL , [1j.1] ( ) gdzie ± > 0, ² > 0, ± + ² < 1. Jak wida, wprowadzenie kapitaBu ludzkiego nie zmieniBo faktu, i| funkcja produkcji charakteryzuje si wszystkimi neoklasycznymi wBasno[ciami, a mianowicie malejc kraDcow produkcyjno[ci ka|dego z czynników, staBymi przychodami ze skali oraz speBnia warunki Inady. Produkcja w tym modelu mo|e by przeznaczana na konsumpcj, na akumulacj kapitaBu fizycznego lub na akumulacj kapitaBu ludzkiego. Poziom techniki oraz siBa robocza rosn w staBych tempach, równych odpowiednio a i n, ksztaBtowanych egzogenicznie (zob. [1a.3]). Oba rodzaje kapitaBów amortyzuj si wedBug tej samej stopy, równej ´. Niech sK oznacza odsetek dochodu przeznaczany na akumulacj kapitaBu fizycznego (czyli stop oszczdno[ci), za[ sH  odsetek dochodu przeznaczany na akumulacj kapitaBu ludzkiego. Równania ruchu dla kapitaBu fizycznego i kapitaBu ludzkiego maj zatem posta: & K = sKY -´ K , [1j.2] & H = sHY -´ H . [1j.3] Analiz dynamiki modelu przeprowadzimy dla wielko[ci kapitaBów i produkcji na jednostk efektywnej pracy, oznaczonych jako k, h i y: 57 1-± -² ² K± H AL K H Y ( ) k a" ; h a" ; y a" = = k±h² . [1j.4] AL AL AL AL W celu znalezienia równaD opisujcych dynamik gospodarki ró|niczkujemy wzgldem czasu definicje k i h. W efekcie otrzymujemy: & k = sK y -() ) n + a + ´ k = sKk±h² -( n + a + ´ k , [1j.5] & h = sH y -() ) n + a +´ h = sH k±h² -( n + a + ´ h . [1j.6] Powy|sze równania opisuj dynamik gospodarki w modelu Mankiwa-Romera-Weila. S one analogiczne do równania [1a.6], przedstawiajcego dynamik w podstawowym modelu Solowa. Przyrost kapitaBu ludzkiego i fizycznego na jednostk efektywnej pracy jest równy faktycznym inwestycjom w dany rodzaj kapitaBu pomniejszonym o inwestycje restytucyjne. W stanie ustalonym wielko[ kapitaBu na jednostk efektywnej pracy jest staBa. A zatem, przyrównujc [1j.5] i [1j.6] do zera uzyskujemy zasób kapitaBu fizycznego i ludzkiego w stanie równowagi dBugookresowej: 1 ² ëøöø1-± s1-² sH -² K k* = , [1j.7] ìø÷ø n + a + ´ íøøø 1 ëø s± s1-± öø1-± -² K H h* = . [1j.8] ìø÷ø n + a + ´ íøøø Graficzn posta stanu ustalonego oraz okresu przej[ciowego przedstawia rysunek 1.9. Dynamik rozszerzonego modelu Solowa rozpatrujemy w dwuwymiarowej przestrzeni (k,h). Krzywe dk/dt = 0 i dh/dt = 0 na rysunku 1.9 zostaBy wyznaczone poprzez przyrównanie równaD [1j.5] i [1j.6] do zera. Krzywe te maj nastpujc posta funkcyjn: 1 ² sK ëøöø1-± h1-± & " krzywa k = 0 : k = , [1j.9] ìø÷ø n + a + ´ íøøø 1 ëøöø± 1-² n + a +´ & ± " krzywa h = 0 : k = h . [1j.10] ìø sH ÷ø íøøø Poniewa| ² < 1  ± i 1  ² > ±, krzywa dk/dt = 0 jest wklsBa, za[ krzywa dh/dt = 0  wypukBa. Stan ustalony znajduje si w punkcie przecicia krzywych dk/dt = 0 i dh/dt = 0 (punkt E). Podobnie jak w podstawowym modelu Solowa, stan równowagi dBugookresowej jest tu stabilny. Z ka|dego pocztkowego punktu (np. A, B, C lub D), okre[lonego pocztkowym zasobem kapitaBu fizycznego i ludzkiego, gospodarka pod|a w kierunku stanu równowagi dBugookresowej, zachowujc si zgodnie z równaniami [1j.5] i [1j.6]. 58 Rysunek 1.9 Okres przej[ciowy i stan ustalony w rozszerzonym modelu Solowa k B & h = 0 C & k = 0 k* E D A h h* W stanie równowagi dBugookresowej kapitaB fizyczny, kapitaB ludzki, konsumpcja i produkcja na jednostk efektywnej pracy s staBe. Oznacza to, |e tempo wzrostu PKB jest równe sumie postpu technicznego oraz tempa wzrostu liczby ludno[ci (czyli zmiennych ksztaBtowanych egzogenicznie), a tempo wzrostu PKB na 1 mieszkaDca jest równe postpowi technicznemu. A zatem, rozszerzony model Solowa daje tak sam odpowiedz jak model podstawowy i inne modele neoklasyczne na pytanie o przyczyny dBugookresowego wzrostu gospodarczego. W modelu Mankiwa-Romera-Weila stopy inwestycji w kapitaB fizyczny i kapitaB ludzki ksztaBtuj si egzogenicznie. Tokarski (2000) pokazuje, |e maksymalizacja konsumpcji per capita wymaga, aby stopy te byBy równe udziaBom wynagrodzeD poszczególnych czynników produkcji w dochodzie. Jednak w rzeczywisto[ci stopy inwestycji bd ni|sze od poziomu maksymalizujcego konsumpcj, poniewa| jednostki bardziej ceni konsumpcj bie|c od przyszBej i dlatego nie zdecyduj si na wybór wysokich stóp inwestycji. Oznacza to, |e model Mankiwa-Romera-Weila charakteryzuje si dynamiczn nieefektywno[ci. Model Mankiwa-Romera-Weila, podobnie jak inne modele neoklasyczne, potwierdza wystpowanie zjawiska konwergencji warunkowej. W celu formalnego wykazania zbie|no[ci i obliczenia jej szybko[ci, nale|y dokona log-linearyzacji równania opisujcego dynamik gospodarki. Logarytmujc i ró|niczkujc wzgldem czasu funkcj produkcji y = k±h² i wykorzystujc zale|no[ci [1j.5]  [1j.6], uzyskujemy równanie opisujce tempo wzrostu produkcji na jednostk efektywnej pracy w rozszerzonym modelu Solowa: 59 & ln y = ± sKk± -1h² + ² sH k± h² -1 -(± + ² n + a + ´ . [1j.11] )( ) Nastpnie stosujemy rozszerzenie Taylora pierwszego rzdu wokóB stanu ustalonego w celu znalezienia przybli|onej [cie|ki czasowej dla lny: && d ln y & &d ln y ln y H" ln y*+ × ln k - ln k* + × ln h - ln h* . [1j.12] () () d ln k d ln h dla stanu ustalonego dla stanu ustalonego Obliczajc odpowiednie pochodne i wykorzystujc fakt, |e w stanie ustalonym k i h okre[lone s wzorami [1j.7]  [1j.8], z [1j.12] otrzymujemy: & ln y = -± ( - ² n + a + ´ ln k - ln k* ² 1-± - ² n + a + ´ ln h - ln h* . [1j.13] 1-± )( )( )- ( )( )( ) Definiujc: » = 1-± - ² n + a + ´ > 0 , [1j.14] ()( ) [1j.13] mo|na zapisa w postaci: & y = » ln y*- ln y . [1j.15] () y Równanie [1j.15] jest identyczne jak równania [1a.14] i [1b.15], wBa[ciwe dla modeli Solowa i Ramseya, oraz podobne do równania [1c.20] w modelu Diamonda.42 Wszystkie te równania informuj, |e tempo wzrostu gospodarczego jest proporcjonalne do odlegBo[ci dzielcej gospodark od jej stanu równowagi dBugookresowej. Im odlegBo[ ta jest wiksza, tzn. im bardziej lny jest mniejszy od lny*, tym szybsze jest tempo wzrostu gospodarczego. Oznacza to wystpowanie zjawiska zbie|no[ci. Równanie [1j.14] przedstawia warto[ wspóBczynnika okre[lajcego szybko[ zbie|no[ci w modelu Mankiwa-Romera-Weila. Analogiczne wspóBczynniki dla modeli Solowa i Ramseya dane s wzorami [1a.13] i [1b.14] (modelu Diamonda nie porównujemy, gdy| jeden okres w modelu Diamonda nie odpowiada jednemu okresowi w modelach z czasem cigBym). Na podstawie [1j.14] i [1a.13] wida, |e w modelu Mankiwa-Romera-Weila zbie|no[ jest wolniejsza ni| w zwykBym modelu Solowa. Model Solowa (w wersji podstawowej i rozszerzonej) nie tBumaczy ró|nic w tempach wzrostu gospodarczego midzy krajami, jednak mo|na go wykorzysta do wyja[nienia ró|nic w poziomach dochodu. Zgodnie z modelem Solowa stopa oszczdno[ci (w przypadku wersji rozszerzonej  tak|e odsetek dochodu przeznaczany na akumulacj kapitaBu ludzkiego) oraz tempo wzrostu liczby ludno[ci to podstawowe czynniki okre[lajce poziom dochodu na 1 mieszkaDca. Wzrost stóp oszczdno[ci i/lub zmniejszenie si tempa wzrostu liczby ludno[ci 42 W rozszerzonym modelu Solowa wspóBczynnik zbie|no[ci, oznaczany wcze[niej symbolem ², jest oznaczony symbolem », gdy| ² zostaBo ju| wykorzystane w opisie funkcji produkcji. 60 prowadz do wy|szego poziomu dochodu w stanie równowagi dBugookresowej (i przej[ciowo wy|szego tempa wzrostu gospodarczego). Aby formalnie wykaza wpByw sK, sH i n na poziom PKB per capita w stanie ustalonym, nale|y zlogarytmowa funkcj produkcji: y* a" (Y/AL)* = k*±h*², wykorzystujc [1j.7]  [1j.8]. W efekcie otrzymujemy: ëø öø Y* ±² ± + ² ln = ln A 0 + at + ln sK + ln sH - ln n + a + ´ . [1j.16] ( ) () ìø ÷ø L*1-± - ² 1-± - ² 1-± - ² íø øø Powy|sze równanie pokazuje, |e wzrost sK i sH, jak równie| spadek n przyczyniaj si do wzrostu wielko[ci PKB per capita w stanie równowagi dBugookresowej w rozszerzonym modelu Solowa, za[ ±/(1  ±  ²) i ²/(1  ±  ²) to elastyczno[ci dochodu wzgldem sK i sH. Analogiczne równanie dla standardowego modelu Solowa ma posta (² = 0): ëø öø Y* ±± ln = ln A 0 + at + ln s - ln n + a + ´ . [1j.17] ( ) () ìø ÷ø L*1-± 1-± íø øø Równania [1j.16] i [1j.17]  uzyskane z rozszerzonego i podstawowego modelu Solowa  pokazuj najwa|niejsze czynniki okre[lajce poziom dochodów w poszczególnych krajach. W tym miejscu nasuwa si pytanie, czy rzeczywi[cie stopa oszczdno[ci, inwestycje w kapitaB ludzki i tempo wzrostu liczby ludno[ci to zmienne odpowiedzialne za ró|nice w poziomach dochodów midzy krajami. Mankiw, Romer i Weil dokonuj estymacji równaD [1j.16] i [1j.17] dla trzech ró|nych grup krajów dla okresu 1960  1985. Wyniki ich analizy wskazuj, |e podstawowy model Solowa dobrze wyja[nia kierunek wpBywu stopy oszczdno[ci i tempa wzrostu liczby ludno[ci na poziom PKB, jednak bBdnie wskazuje siB tego oddziaBywania. SiB t o wiele lepiej okre[la model w wersji rozszerzonej. Estymujc równanie [1j.17] dla 98 krajów, Mankiw, Romer i Weil uzyskali ocen parametru przy zmiennej (lns  ln(n + a + ´)) równ 1,48. Je[li zatem równanie [1j.17] byBoby prawdziwe, to udziaB wynagrodzenia kapitaBu fizycznego w dochodzie (±) musiaBby wynosi 0,60. Jednak w rzeczywisto[ci wynagrodzenie kapitaBu fizycznego jest o wiele mniejsze i 1 stanowi ok. /3 dochodu, a to oznacza, |e ±/(1  ±) uzyskane na podstawie badaD empirycznych powinno by równe 0,5. Jak zatem wida, wpByw stopy oszczdno[ci i tempa wzrostu liczby ludno[ci na poziom dochodu jest o wiele wikszy, ni| wynikaBoby to z podstawowego modelu Solowa. A zatem model ten dobrze wyja[nia kierunek powizaD midzy stop oszczdno[ci, tempem wzrostu liczby ludno[ci i poziomem dochodu oraz prawidBowo wskazuje, |e stopa oszczdno[ci i tempo wzrostu liczby ludno[ci to podstawowe 61 determinanty poziomu PKB (R2 = 0,59). Jednak podstawowy model Solowa bBdnie tBumaczy siB oddziaBywania stopy oszczdno[ci i zmian w liczbie ludno[ci na poziom dochodu. Poniewa| uzyskane z modelu Solowa ± = 0,60 mo|e odzwierciedla wynagrodzenie szerszego zasobu kapitaBu, Mankiw, Romer i Weil rozbudowuj model Solowa, wprowadzajc doD kapitaB ludzki. Na podstawie tak rozbudowanego modelu dokonuj estymacji równania [1j.16], gdzie sH, czyli stopa akumulacji kapitaBu ludzkiego, to stosunek osób uczcych si w szkoBach [rednich do ogóBu osób w wieku produkcyjnym. Szacujc równanie [1j.16] dla 98 krajów autorzy uzyskuj wspóBczynnik przy zmiennej (lnsK  ln(n + a + ´)) równy 0,73, za[ wspóBczynnik przy zmiennej (lnsH  ln(n + a + ´)) na poziomie 0,67. Powy|sze warto[ci implikuj, |e udziaB wynagrodzenia kapitaBu fizycznego w dochodzie (±) wynosi 0,31, za[ udziaB wynagrodzenia kapitaBu ludzkiego w dochodzie (²) jest równy 0,28. Takie warto[ci parametrów ± i ² uzyskane z rozszerzonego modelu Solowa s mniej wicej zgodne z rzeczywisto[ci. R2 dla oszacowanego równania regresji wynosi 0,78. Powy|sze wyniki oznaczaj, |e rozszerzony model Solowa dobrze tBumaczy (zarówno je[li chodzi o kierunek, jak i o siB oddziaBywania) ró|nice w poziomie dochodów midzy krajami, wynikajce z ró|nic w stopie oszczdno[ci, stopie akumulacji kapitaBu ludzkiego i tempie wzrostu liczby ludno[ci. Rozszerzony model Solowa wykazuje tak|e lepsze wBasno[ci w zakresie predykcji szybko[ci zbie|no[ci do stanu równowagi dBugookresowej, co potwierdzaj przeprowadzone przez Mankiwa, Romera i Weila badania empiryczne. WspóBczynnik ²-zbie|no[ci uzyskany z badaD empirycznych opartych na zwykBym modelu Solowa wynosi 0,6%, podczas gdy z teoretycznej analizy modelu wynika, |e  dla rozsdnych warto[ci parametrów  powinien on wynosi ok. 4% (por. [1a.13]). Natomiast z badaD empirycznych opartych na rozszerzonym modelu Solowa uzyskujemy wspóBczynnik ²-zbie|no[ci równy 1,4%, podczas gdy z teoretycznych wBasno[ci tego modelu powinien on wynosi ok. 2% (por. [1j.14]). Jak wida zatem, rozszerzony model Solowa lepiej ni| wariant podstawowy wyja[nia szybko[ zbie|no[ci gospodarek. Mimo |e oba podej[cia wskazuj na wystpowanie konwergencji warunkowej (co potwierdzaj tak|e wyniki badaD empirycznych), to jednak faktyczna szybko[ zbie|no[ci jest o wiele mniejsza, ni| wynika to ze standardowego modelu Solowa, który informuje o zbie|no[ci w tempie 4% rocznie.43 43 Rozszerzenie modelu Solowa, przedstawione przez Mankiwa, Romera i Weila, nie musi ogranicza si tylko do uwzgldnienia kapitaBu ludzkiego. Na przykBad, W. Nonneman i P. Vanhoudt (Nonneman, Vanhoudt, 1996) przedstawiaj jeszcze bardziej rozszerzony model Solowa, uwzgldniajcy dowoln liczb czynników produkcji: 62 Badanie Mankiwa, Romera i Weila byBo jednym z kilku, które zostaBy przeprowadzone w latach dziewidziesitych XX w. i potwierdziBy prawdziwo[ teorii neoklasycznej. W innych analizach z lat 1994 i 1995 Alwyn Young dowiódB, |e szybki wzrost gospodarczy krajów Azji Wschodniej byB przede wszystkim stymulowany akumulacj pracy i kapitaBu, a nie produktywno[ci. Z kolei Barro i Sala-i-Martin (1995) pokazali, |e rozszerzony model Solowa poprawnie wyja[nia szybko[ zbie|no[ci krajów oraz regionów USA, Japonii i niektórych paDstw Europy Zachodniej. Klenow i Rodríguez-Clare (1997) nazwali ten powrót do teorii neoklasycznej  neoklasycznym odrodzeniem (neoclassical revival). Przytoczone badania sugeruj bowiem, |e poziom i zmiany produktywno[ci s zbli|one w poszczególnych krajach, a zatem ró|nice w poziomie dochodu i tempie wzrostu gospodarczego s w du|ym stopniu spowodowane ró|nicami w zasobach kapitaBu fizycznego i ludzkiego.44 m ±1 ±2 ±m 1-"±i Y = K1 K2 KKm AL . ( ) i=1 W modelu tym m jest liczb dóbr kapitaBowych bdcych czynnikami produkcji (w standardowym modelu Solowa m jest równe 1, za[ w modelu Mankiwa-Romera-Weila, uwzgldniajcym kapitaB fizyczny i ludzki, m jest równe 2). Analiza dynamiki modelu uwzgldniajcego m czynników wytwórczych jest analogiczna do przedstawionej w tej pracy analizy modelu Mankiwa-Romera-Weila. Stosujc model Mankiwa-Romera-Weila, nie da si przekonujco wyja[ni ró|nic w poziomie dochodów w[ród krajów OECD. Dlatego te| Nonneman i Vanhoudt stosuj dla tej grupy krajów model Solowa z trzema czynnikami produkcji: kapitaBem fizycznym, kapitaBem ludzkim oraz technologicznym know-how (m = 3). Okazuje si, |e tak rozszerzony model o wiele lepiej wyja[nia ró|nice w poziomach dochodów midzy krajami OECD (R2 dla m = 3 wynosi 0,7, podczas gdy dla m = 2 R2 jest równe 0,2-0,3, za[ dla m = 1 R2  0,0-0,1). Tokarski (2007b) rozszerza model Nonnemana-Vanhoudta o elementy teorii optymalnego sterowania i oblicza optymalne stopy inwestycji w N-kapitaBowym modelu wzrostu gospodarczego. Pokazuje on, |e optymalne stopy inwestycji (maksymalizujce sum zdyskontowanej u|yteczno[ci konsumpcji konsumenta w nieskoDczonym horyzoncie czasowym) zale| m. in. od stopy dyskontowej typowego konsumenta oraz od odwrotno[ci midzyokresowej substytucji konsumpcji. 44 Ten ostatni wniosek jest jednak dyskusyjny. Na przykBad, Easterly i Levine (2002) wskazuj, |e akumulacja czynników wytwórczych (pracy i kapitaBu) nie jest najwa|niejszym czynnikiem wyja[niajcym zró|nicowanie poziomów dochodu i temp wzrostu gospodarczego na [wiecie. 63 4. Podsumowanie 1. Modele wzrostu gospodarczego mo|na podzieli na dwie grupy: modele neoklasyczne i modele endogeniczne. Pierwsze z nich charakteryzuj si neoklasyczn funkcj produkcji, zakBadajc wystpowanie malejcych przychodów z odtwarzalnych czynników produkcji oraz staBych przychodów ze skali. Natomiast w modelach endogenicznych wystpuj co najmniej staBe przychody z odtwarzalnych czynników produkcji. Najwa|niejsze modele neoklasyczne to modele Solowa, Ramseya i Diamonda. Podstawowe modele endogeniczne to model learning-by-doing Romera, model Lucasa, model Rebelo, modele ze zwikszajc si liczb dóbr oraz modele z poprawiajc si jako[ci dóbr. Do nowej teorii wzrostu zaliczamy tak|e model Mankiwa-Romera-Weila, stanowicy rozszerzon wersj modelu Solowa. 2. Neoklasyczna teoria wzrostu nie tBumaczy dobrze determinant dBugookresowego wzrostu gospodarczego. Zgodnie z tymi modelami, dBugookresowy wzrost gospodarczy zale|y od szeroko rozumianego postpu technicznego, który ma charakter egzogeniczny. Modele neoklasyczne mo|na natomiast wykorzysta do wyja[nienia ró|nic w poziomach dochodu midzy krajami. Na przykBad, model Solowa w wersji rozszerzonej wskazuje, |e ró|nice w stopie oszczdno[ci, stopie akumulacji kapitaBu ludzkiego oraz tempie wzrostu liczby ludno[ci w du|ej mierze wyja[niaj ró|nice w poziomach dochodu per capita midzy krajami. 3. Modele endogeniczne  w przeciwieDstwie do neoklasycznych  dobrze obja[niaj determinanty dBugookresowego wzrostu gospodarczego. Wzrost ten jednak w poszczególnych modelach tej grupy zale|y od ró|nych czynników. Wy|sze inwestycje w kapitaB ludzki, wikszy zasób kapitaBu ludzkiego, zwikszenie czasu pracy, wiksze nakBady na B+R oraz wy|sza efektywno[ prac badawczo-rozwojowych to tylko niektóre czynniki zapewniajce  zgodnie z teori endogeniczn  szybszy wzrost gospodarczy. 4. Zjawisko konwergencji warunkowej typu ², definiowanej jako sytuacja, w której gospodarki sBabiej rozwinite wykazuj szybsze tempo wzrostu gospodarczego ni| gospodarki wy|ej rozwinite pod warunkiem, |e d| one do tego samego stanu równowagi dBugookresowej, jest potwierdzone przez wszystkie modele neoklasyczne. Modele te ró|ni si jednak midzy sob szacunkami wysoko[ci wspóBczynnika informujcego o szybko[ci zbie|no[ci. Natomiast endogeniczne modele wzrostu nie wskazuj na wystpowanie zjawiska konwergencji. Wprost przeciwnie, z niektórych uj 64 endogenicznych wynika, |e tempo wzrostu gospodarczego ro[nie wraz ze wzrostem poziomu dochodu, co oznacza wystpowanie tendencji dywergencyjnych. 5. Przedstawione w niniejszym opracowaniu podstawowe modele mo|na rozbudowywa w celu wyja[nienia wpBywu wielu innych czynników na wzrost gospodarczy. Mo|liwe kierunki rozszerzeD obejmuj wprowadzenie do modelu paDstwa (zarówno w zakresie wydatków, jak i podatków), uwzgldnienie endogenicznego przyrostu naturalnego czy te| otwarcie gospodarek i uwzgldnienie wymiany z zagranic. 65 Najwa|niejsze pozycje bibliograficzne (w celu uzyskania peBnej bibliografii, prosimy o kontakt z autorem) Podrczniki Barro Robert, Xavier Sala-i-Martin, Economic Growth, The MIT Press, Cambridge  London 2003. Chiang Alpha C., Elements of Dynamic Optimization, McGraw-Hill, New York  St. Louis  San Francisco 1992. Chiang Alpha C., Podstawy ekonomii matematycznej, PWE, Warszawa 1994. Romer David, Makroekonomia dla zaawansowanych, PWN, Warszawa 2000. ArtykuBy Aghion Philippe, Peter Howitt, A Model of Growth through Creative Destruction, "Econometrica", 60, 1992, s. 323 - 351. Cass David, Optimum Growth in an Aggregative Model of Capital Accumulation,  Review of Economic Studies , 32, 1965, s. 233  240. Diamond Peter A., National Debt in a Neoclassical Growth Model, "American Economic Review", 55, 1965, s. 1126 - 1150. Domar Evsey D., Capital Expansion, Rate of Growth, and Employment, "Econometrica", 14, 1946, s. 137 - 147. Harrod Roy, An Essay in Dynamic Theory, "Economic Journal", 49, 1939, s. 14 - 33. Koopmans Tjalling C., On the Concept of Optimal Economic Growth, w: The Econometric Approach to Development Planning, North Holland, Amsterdam 1965. Lucas Robert E., On the Mechanics of Economic Development,  Journal of Monetary Economics , 22, 1988, s. 3  42. Mankiw N. Gregory, David Romer, David N. Weil, A Contribution to the Empirics of Economic Growth, "Quarterly Journal of Economics", 107, 1992, s. 407 - 437. Ramsey Frank, A Mathematical Theory of Saving,  Economic Journal , 38, 1928, s. 543  559. Rebelo Sergio, Long-Run Policy Analysis and Long-Run Growth,  Journal of Political Economy , 99, 1991, s. 500  521. Romer Paul M., Increasing Returns and Long-Run Growth,  Journal of Political Economy , 94, 1986, s. 1002  1037. Romer Paul M., Endogenous Technological Change,  Journal of Political Economy , 98, 1990, s. S71  S102. Solow Robert M., A Contribution to the Theory of Economic Growth, "Quarterly Journal of Economics", 70, 1956, s. 65 - 94. Swan Trevor W., Economic Growth and Capital Accumulation,  Economic Record , 32, 1956, s. 334  361. 66

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Modele wzrostu, rozwoju gospodarczego
MODELE WZROSTU GOSPODARCZEGO
MODELE WZROSTU BAKTERII PSEUDOMONAS W PRODUKTACH GOTOWYCH DO SPOÅ»
NiBS 3 Rozklad trojkatny Modele Starzenie obiektow nieodnawianych
modele rownan
kultura org Modele i teorie
16 modele organizacji
Jak najbogatsi ukradli społeczeństwom cały wzrost PKB (2016)
05 Modele matematyczne charakterystyk przepływowych oporów pneumatycznychidU73
narodowe modele administracji
EPC typy modele
Roślina wzrost i rozwój

więcej podobnych podstron