M E T O D Y N U M E R Y C Z N E
W y k Ba d 3 .
d r h a b . i n |. K a t a r z y n a Z a k r z e w s k a , p r o f . A G H
1
M e t . N u m e r . w y k Ba d 3
P l a n
" A p r o k s y m a c j a
" I n t e r p o l a c j a w i e l o m i a n o w a
" P r z y k Ba d y
2
M e t . N u m e r . w y k Ba d 3
A p r o k s y m a c j a
M e t o d y n u m e r y c z n e z a j m u j s i r o z w i z y w a n i e m z a d a D
m a t e m a t y c z n y c h z a p o m o c d z i a Ba D a r y t m e t y c z n y c h . Z a c h o d z i
z a t e m p o t r z e b a p r z y b l i |a n i a w i e l k o [c i n i e a r y t m e t y c z n y c h
w i e l k o [c i a m i a r y t m e t y c z n y m i i b a d a n i a b Bd w w y w o Ba n y c h
t a k i m i p r z y b l i |e n i a m i . W y b r p r z y b l i |e n i a z a l e |y o d t e g o ,
k t r y m z m o |l i w y c h k r y t e r i w p o s Bu |y m y s i w o c e n i e
s k u t e c z n o [c i d a n e g o p r z y b l i |e n i a .
J a k i j e s t d o p u s z c z a l n y b Bd w y n i k u ?
J a k s z y b k o m o |n a o t r z y m a r o z w i z a n i e j a k a j e s t
s z y b k o [ z b i e |n o [c i d a n e j m e t o d y , n p . p r o c e s u
i t e r a c y j n e g o ?
3
M e t . N u m e r . w y k Ba d 3
1
C o t o j e s t i n t e r p o l a c j a ?
D a n e s p u n k t y ( x 0 , y 0 ) , ( x 1 , y 1 ) , & . ( x n , y n ) . Z n a l e z n i e z n a n
w a r t o [ y d l a d o w o l n e g o x .
4
M e t . N u m e r . w y k Ba d 3
R |n i c a p o m i d z y
a p r o k s y m a c j i i n t e r p o l a c j
i n t e r p o l a c j a
a p r o k s y m a c j a
5
M e t . N u m e r . w y k Ba d 3
A p r o k s y m a c j a
C h c e m y p r z y b l i |y f u n k c j f ( x ) k o m b i n a c j ( n a j c z [c i e j
l i n i o w ) f u n k c j i n a l e |c y c h d o p e w n e j s z c z e g l n e j k l a s y .
K l a s y f u n k c j i :
d l a N p i e r w s z y c h w y r a z w s z e r e g u T a y l o r a
{ x n } ( n = 0 , 1 , . . . )
o g l n i e j : p n ( x ) j e s t w i e l o m i a n e m s t o p n i a n
{ p n ( x ) } ( n = 0 , 1 , . . . )
{ s i n ( n x ) , c o s ( n x ) } ( n = 0 , 1 , 2 . . . ) w i e l o m i a n y t r y g o n o m e t r y c z n e
N a j w i k s z e z n a c z e n i e p o s i a d a a p r o k s y m a c j a w i e l o m i a n o w a
6
M e t . N u m e r . w y k Ba d 3
2
A p r o k s y m a c j a
A p r o k s y m a c j a l i n i o w a f u n k c j i f ( x )
f ( x ) H" a 0 g 0 ( x ) + a 1 g 1 ( x ) + . . . + a m g m ( x )
k l a s y f u n k c j i :
{ g n ( x ) } ( n = 0 , 1 , . . . )
w s p Bc z y n n i k i s t a Be : a i ( i = 0 , 1 , . . . , m )
P r z y b l i |e n i a l i n i o w e s t o s u j e s i p o n i e w a | b a d a n i e a p r o k s y m a c j i
k o m b i n a c j a m i n i e l i n i o w y m i f u n k c j i p r z y b l i |a j c y c h j e s t b a r d z o
t r u d n e j a k a n a l i z a w i k s z o [c i z a g a d n i e D n i e l i n i o w y c h .
C z a s a m i s t o s u j e s i p r z y b l i |e n i a w y m i e r n e :
a 0 g 0 ( x ) + a 1 g 1 ( x ) + . . . + a m g m ( x )
f ( x ) H"
b 0 g 0 ( x ) + b 1 g 1 ( x ) + . . . + b k g k ( x )
7
M e t . N u m e r . w y k Ba d 3
A p r o k s y m a c j a
K r y t e r i a w y b o r u s t a By c h w s p Bc z y n n i k w a i ( i = 0 , 1 , . . . , m )
T r z y t y p y p r z y b l i |e D o d u |y m z n a c z e n i u
" p r z y b l i |e n i e i n t e r p o l a c y j n e
w s p Bc z y n n i k i s t a k d o b r a n e , a b y w p u n k t a c h
x i ( i = 1 , 2 , . . . , p )
f u n k c j a p r z y b l i |a j c a w r a z z j e j p i e r w s z y m i r i p o c h o d n y m i ( r i j e s t
l i c z b c a Bk o w i t n i e u j e m n ) b y Ba z g o d n a z f ( x ) i j e j p o c h o d n y m i ( z
d o k Ba d n o [c i d o b Bd w z a o k r g l e D)
8
M e t . N u m e r . w y k Ba d 3
A p r o k s y m a c j a
a i ( i = 0 , 1 , . . . , m )
K r y t e r i a w y b o r u s t a By c h w s p Bc z y n n i k w
" p r z y b l i |e n i e [r e d n i o k w a d r a t o w e
s z u k a m y m i n i m u m w y r a |e n i a b d c e g o c a Bk z k w a d r a t u
r |n i c y p o m i d z y f ( x ) i j e j p r z y b l i |e n i e m w p r z e d z i a l e
< x 1 , x 2 > l u b s u m w a |o n k w a d r a t w b Bd w r o z c i g n i t
n a z b i r d y s k r e t n y p u n k t w z p r z e d z i a Bu < x 1 , x 2 >
" p r z y b l i |e n i e j e d n o s t a j n e
z n a l e z i e n i e n a j m n i e j s z e g o m a k s i m u m r |n i c y m i d z y f ( x ) i
j e j p r z y b l i |e n i e m w p r z e d z i a l e < x 1 , x 2 >
9
M e t . N u m e r . w y k Ba d 3
3
M e t o d a n a j m n i e j s z y c h k w a d r a t w
R e g r e s j a l i n i o w a
2
n
2
P o s t u l a t m e t o d y S = [ y i - ( a x i + b ) ] = m i n
"
i
y
6 0
f ( x ) = a x + b
a = 3 . 2 3 , b = - 2 . 0 8
4 0
y i
2 0
f ( x i )
0
4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6
x i
x
1 0
M e t . N u m e r . w y k Ba d 3
M e t o d a n a j m n i e j s z y c h k w a d r a t w
R e g r e s j a l i n i o w a
W a r u n e k m i n i m u m f u n k c j i d w u z m i e n n y c h :
2 2
"S "S
= 0 = 0
"a "b
O t r z y m u j e m y u k Ba d r w n a D l i n i o w y c h d l a n i e w i a d o m y c h a i b
a x i 2 + b x i = x i y i
" " "
a x i + b n = y i
" "
R o z w i z u j c t e n u k Ba d r w n a D u z y s k u j e s i w y r a |e n i a n a
w s p Bc z y n n i k i a i b s z u k a n e j p r o s t e j f ( x ) = a x + b
1 1
M e t . N u m e r . w y k Ba d 3
M e t o d a n a j m n i e j s z y c h k w a d r a t w
R e g r e s j a l i n i o w a
n x y - " "
x y
"
i i i i
a =
W
2
x y x x y
" " - " "
i i i i i
b =
W
g d z i e : W ( w y z n a c z n i k g B w n y u k Ba d u r w n a D) w y r a |a s i
w z o r e m
2
W = n x i 2 - ( x i )
" "
1 2
M e t . N u m e r . w y k Ba d 3
4
M e t o d a n a j m n i e j s z y c h k w a d r a t w
R e g r e s j a l i n i o w a
Z p r a w s t a t y s t y k i m o |n a w y p r o w a d z i w y r a |e n i a n a o d c h y l e n i a
s t a n d a r d o w e u ( a ) i u ( b ) o b u p a r a m e t r w p r o s t e j a , b :
2
n S
u ( a ) =
n - 2 W
x i 2
"
u ( b ) = u ( a )
n
1 3
M e t . N u m e r . w y k Ba d 3
A p r o k s y m a c j a w i e l o m i a n o w a
Z a s t o s o w a n i e w o b l i c z e n i a c h w i e l o m i a n w j a k o f u n k c j i
p r z y b l i |a j c y c h w i |e s i z f a k t e m , |e m a s z y n a c y f r o w a
w y k o n u j e w p r a k t y c e d z i a Ba n i a a r y t m e t y c z n e .
W s p l n w Ba [c i w o [c i p o t g z m i e n n e j i w i e l o m i a n w
t r y g o n o m e t r y c z n y c h ( a t a k |e f u n k c j i w y k Ba d n i c z y c h ) j e s t t o ,
|e w p r z y b l i |e n i a c h k o r z y s t a j c y c h z k a |d e j z t y c h k l a s
p r z e s u n i c i e u k Ba d u w s p Br z d n y c h z m i e n i a w s p Bc z y n n i k i ,
a l e n i e z m i e n i a p o s t a c i p r z y b l i |e n i a .
J e |e l i P ( x ) j e s t w i e l o m i a n e m l u b f u n k c j w y m i e r n t o
P ( x + ) j e s t r w n i e | t e j p o s t a c i , a j e [l i T ( x ) j e s t l i n i o w y m
l u b w y m i e r n y m p r z y b l i |e n i e m z b u d o w a n y m z s i n u s w l u b
c o s i n u s w , t o t a k i e j e s t r w n i e | T ( x + ) .
1 4
M e t . N u m e r . w y k Ba d 3
A p r o k s y m a c j a w i e l o m i a n o w a
P r z y b l i |e n i a f u n k c j a m i
{ x n } ( n = 0 , 1 , . . . )
m a j t a k z a l e t , |e p r z y z m i a n i e s k a l i z m i e n n e j z m i e n i a j
s i t y l k o w s p Bc z y n n i k i , a n i e z m i e n i a s i k s z t a Bt
p r z y b l i |e n i a . P r z y k Ba d : w i e l o m i a n P ( k x ) j e s t r w n i e |
w i e l o m i a n e m z m i e n n e j x .
T e j w Ba s n o [c i n i e m a j p r z y b l i |e n i a t r y g o n o m e t r y c z n e , g d y |
d l a n i e c a Bk o w i t e g o k n a o g B s i n ( n k x ) n i e j e s t e l e m e n t e m
k l a s y
{ s i n ( n x ) } ( n = 0 , 1 , 2 . . . )
1 5
M e t . N u m e r . w y k Ba d 3
5
A p r o k s y m a c j a w i e l o m i a n o w a
N a j c z [c i e j w y b i e r a s i w i e l o m i a n y g d y | m o |n a
Ba t w o :
o b l i c z a i c h w a r t o [c i
r |n i c z k o w a
c a Bk o w a
1 6
M e t . N u m e r . w y k Ba d 3
A p r o k s y m a c j a w i e l o m i a n o w a
Z p r z y b l i |e D w i e l o m i a n o w y c h w y w o d z s i m e t o d y :
" i n t e r p o l a c j i
" e k s t r a p o l a c j i
" r |n i c z k o w a n i a n u m e r y c z n e g o
" k w a d r a t u r
" r o z w i z y w a n i a n u m e r y c z n e g o r w n a D r |n i c z k o w y c h
z w y c z a j n y c h
P o w i z a n i a p o m i d z y t y m i m e t o d a m i s Ba t w o d o s t r z e g a l n e ,
g d y | m e t o d y i n t e r p o l a c y j n e s p o d s t a w w z o r w r |n i c z k o w a n i a
n u m e r y c z n e g o , k w a d r a t u r i r o z w i z y w a n i a n u m e r y c z n e g o
r w n a D r |n i c z k o w y c h .
1 7
M e t . N u m e r . w y k Ba d 3
I N T E R P O L A C J A W I E L O M I A N O W A
Z a Bo |e n i e :
W p r z e d z i a l e [ a , b ] d a n y c h j e s t ( n + 1 ) r |n y c h p u n k t w x 0 , x 1 , & , x n ,
k t r e n a z y w a m y w z Ba m i i n t e r p o l a c j i , o r a z w a r t o [c i p e w n e j f u n k c j i
y = f ( x ) w t y c h p u n k t a c h :
f ( x i ) = y i d l a i = 0 , 1 , . . . , n .
i n t e r p o l a c j a
1 8
M e t . N u m e r . w y k Ba d 3
6
I N T E R P O L A C J A W I E L O M I A N O W A
Z a d a n i e i n t e r p o l a c j i :
W y z n a c z e n i e p r z y b l i |o n y c h w a r t o [c i f u n k c j i w p u n k t a c h n i e b d c y c h
w z Ba m i o r a z o s z a c o w a n i e b Bd u t y c h p r z y b l i |o n y c h w a r t o [c i .
1 . W t y m c e l u n a l e |y z n a l e z f u n k c j F ( x ) , z w a n f u n k c j
i n t e r p o l u j c , k t r a b d z i e p r z y b l i |a f u n k c j f ( x ) w p r z e d z i a l e
[ a , b ] .
2 . F u n k c j a F ( x ) w w z Ba c h i n t e r p o l a c j i p r z y j m u j e t a k i e s a m e w a r t o [c i
c o f u n k c j a y = f ( x ) .
3 . W z a g a d n i e n i u i n t e r p o l a c j i w i e l o m i a n o w e j f u n k c j a F ( x ) j e s t
w i e l o m i a n e m s t o p n i a c o n a j w y |e j n .
T w i e r d z e n i e
I s t n i e j e d o k Ba d n i e j e d e n w i e l o m i a n i n t e r p o l a c y j n y s t o p n i a c o n a j w y |e j
n ( n e"0 ) , k t r y w p u n k t a c h x 0 , x 1 , & , x n p r z y j m u j e w a r t o [c i y 0 , y 1 , & ,
y n .
1 9
M e t . N u m e r . w y k Ba d 3
I n t e r p o l a c j a - m e t o d a b e z p o [r e d n i a
P r z e z n + 1 p u n k t w ( x 0 , y 0 ) , ( x 1 , y 1 ) , & . ( x n , y n ) p r z e c h o d z i
d o k Ba d n i e j e d e n w i e l o m i a n s t o p n i a n
y = a 0 + a 1 x + . . . . . . . . . . + a n x n .
. . . . . . . . . .
g d z i e a 0 , a 1 , & . a n s s t a By m i w s p Bc z y n n i k a m i ( R )
" U Bo |y n + 1 r w n a D a b y z n a l e z n + 1 s t a By c h
" P o d s t a w i w a r t o [ x d o w i e l o m i a n u , a b y z n a l e z y
2 0
M e t . N u m e r . w y k Ba d 3
P r z y k Ba d
T a b e l a 1 P r d k o [ v j a k o f u n k c j a c z a s u t
1 0 0 0
t ( s ) v ( m / s )
8 0 0
d a n e
0 0
6 0 0
1 0 2 2 7 . 0 4
4 0 0
1 5 3 6 2 . 7 8
2 0 0
2 0 5 1 7 . 3 5
0
2 2 . 5 6 0 2 . 9 7
0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0
3 0 9 0 1 . 6 7
c z a s t ( s )
Z n a l e z p r d k o [ w c h w i l i t = 1 6 s s t o s u j c m e t o d
b e z p o [r e d n i d l a d w c h p u n k t w
2 1
M e t . N u m e r . w y k Ba d 3
7
p r e d k o s c v ( m / s )
I n t e r p o l a c j a l i n i o w a
v ( t ) = a 0 + a 1 t
y
v ( 1 5 ) = a 0 + a 1 ( 1 5 ) = 3 6 2 . 7 8
( x 1 , y 1 )
v ( 2 0 ) = a 0 + a 1 ( 2 0 ) = 5 1 7 . 3 5
( x 0 , y 0 )
f 1 ( x )
R o z w i z a n i e u k Ba d u r w n a D
x
a 0 = - 1 0 0 . 9 3
a 1 = 3 0 . 9 1 4
A z a t e m v ( t ) = - 1 0 0 . 9 3 + 3 0 . 9 1 4 t , 1 5 d" t d" 2 0
v ( 1 6 ) = - 1 0 0 . 9 3 + 3 0 . 9 1 4 ( 1 6 ) = 3 9 3 . 7 m / s
2 2
M e t . N u m e r . w y k Ba d 3
I n t e r p o l a c j a k w a d r a t o w a
N i e m o |n a o b e c n i e w y [w i e t l i t e g o o b r a z u .
v ( t ) = a 0 + a 1 t + a 2 t 2 y
( x 1 , y 1 )
2
v ( 1 0 ) = a 0 + a 1 ( 1 0 ) + a 2 ( 1 0 ) = 2 2 7 . 0 4
( x 2 , y 2 )
2
v ( 1 5 ) = a 0 + a 1 ( 1 5 ) + a 2 ( 1 5 ) = 3 6 2 . 7 8
f 2 ( x )
2
( x 0 , y 0 )
v ( 2 0 ) = a 0 + a 1 ( 2 0 ) + a 2 ( 2 0 ) = 5 1 7 . 3 5
R o z w i z a n i e u k Ba d u r w n a D
x
a 0 = 1 2 . 0 5 a 1 = 1 7 . 7 3 3 a 2 = 0 . 3 7 6 6
2
v ( t ) = 1 2 . 0 5 + 1 7 . 7 3 3 t + 0 . 3 7 6 6 t , 1 0 d" t d" 2 0
2
v ( 1 6 ) = 1 2 . 0 5 + 1 7 . 7 3 3 ( 1 6 ) + 0 . 3 7 6 6 ( 1 6 ) = 3 9 2 . 1 9 m / s
2 3
M e t . N u m e r . w y k Ba d 3
I n t e r p o l a c j a k w a d r a t o w a
v ( t ) = 1 2 . 0 5 + 1 7 . 7 3 3 t + 0 . 3 7 6 6 t 2 , 1 0 d" t d" 2 0
v ( 1 6 ) = 3 9 2 . 1 9 m / s
1 0 0 0
8 0 0
B Bd w z g l d n y
6 0 0
3 9 2 . 1 9 - 3 9 3 . 7 0
"a = 1 0 0
4 0 0
3 9 2 . 1 9
2 0 0
= 0 . 3 8 4 1 0 %
0
0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0
t ( s )
2 4
M e t . N u m e r . w y k Ba d 3
8
V ( m / s )
I n t e r p o l a c j a s z e [c i e n n a
y
( x 3 , y 3 )
v ( t ) = a 0 + a 1 t + a 2 t 2 + a 3 t 3 ( x 1 , y 1 )
( x 2 , y 2 ) f 3 ( x )
( x 0 , y 0 )
2 3
v ( 1 0 ) = 2 2 7 . 0 4 = a 0 + a 1 ( 1 0 ) + a 2 ( 1 0 ) + a 3 ( 1 0 )
x
2 3
v ( 1 5 ) = 3 6 2 . 7 8 = a 0 + a 1 ( 1 5 ) + a 2 ( 1 5 ) + a 3 ( 1 5 )
2 3
v ( 2 0 ) = 5 1 7 . 3 5 = a 0 + a 1 ( 2 0 ) + a 2 ( 2 0 ) + a 3 ( 2 0 )
2 3
v ( 2 2 . 5 ) = 6 0 2 . 9 7 = a 0 + a 1 ( 2 2 . 5 ) + a 2 ( 2 2 . 5 ) + a 3 ( 2 2 . 5 )
2 5
M e t . N u m e r . w y k Ba d 3
I n t e r p o l a c j a s z e [c i e n n a
Z a d a n i e d o m o w e
R o z w i z a u k Ba d r w n a D:
a 0 + 1 0 a 1 + 1 0 0 a 2 + 1 0 0 0 a 3 = 2 2 7 . 0 4
a 0 + 1 5 a 1 + 2 2 5 a 2 + 3 3 7 5 a 3 = 3 6 2 . 7 8
a 0 + 2 0 a 1 + 4 0 0 a 2 + 8 0 0 0 a 3 = 5 1 7 . 3 5
a 0 + 2 2 . 5 a 1 + 5 0 6 . 2 5 a 2 + 1 1 3 9 0 . 6 2 5 a 3 = 6 0 2 . 9 7
P o d a i n a r y s o w a v ( t )
2 6
M e t . N u m e r . w y k Ba d 3
I n t e r p o l a c j a s z e [c i e n n a - r o z w i z a n i e
a 0 = - 4 . 2 5 4 0
a 1 = 2 1 . 2 6 6
a 2 = 0 . 1 3 2 0 4
1 0 d" t d" 2 2 . 5
a 3 = 0 . 0 0 5 4 3 4 7
v ( t ) = - 4 . 2 5 4 0 + 2 1 . 2 6 6 t + 0 . 1 3 2 0 4 t 2 + 0 . 0 0 5 4 3 4 7 t 3 ,
v ( 1 6 ) = 3 9 2 . 0 6 m / s
3 9 2 . 0 6 - 3 9 2 . 1 9
B Bd w z g l d n y "a = 1 0 0
3 9 2 . 0 6
= 0 . 0 3 3 2 6 9 %
2 7
M e t . N u m e r . w y k Ba d 3
9
P o r w n a n i e
R z d w i e l o m i a n u 1 2 3
v ( t = 1 6 ) m / s 3 9 3 . 7 3 9 2 . 1 9 3 9 2 . 0 6
b Bd w z g l d n y - - - - - - - - - - 0 . 3 8 4 1 0 % 0 . 0 3 3 2 6 9 %
2 8
M e t . N u m e r . w y k Ba d 3
O b l i c z e n i a p r z e m i e s z c z e n i a
o d t = 1 1 s d o t = 1 6 s
v ( t ) = - 4 . 2 5 4 0 + 2 1 . 2 6 6 t + 0 . 1 3 2 0 4 t 2 + 0 . 0 0 5 4 3 4 7 t 3 , 1 0 d" t d" 2 2 . 5
1 6
s ( 1 6 ) - s ( 1 1 ) = v ( t ) d t
+"
1 1
1 6
= ( - 4 . 2 5 4 0 + 2 1 . 2 6 6 t + 0 . 1 3 2 0 4 t 2 + 0 . 0 0 5 4 3 4 7 t 3 ) d t
+"
1 1
1 6
#
t 2 t 3 t 4 #
= 4 . 2 5 4 0 t + 2 1 . 2 6 6 + 0 . 1 3 2 0 4 + 0 . 0 0 5 4 3 4 7
#- #
2 3 4
# #1 1
= 1 6 0 5 m
2 9
M e t . N u m e r . w y k Ba d 3
O b l i c z e n i a p r z y s p i e s z e n i a
2
( t ) = - 4 . 2 5 4 0 + 2 1 . 2 6 6 t + 0 . 1 3 2 0 4 + 0 . 0 0 5 4 3 4 7 t 3 , 1 0 d" t d" 2 2 . 5
d
a ( t ) = v ( t )
d t
d
2
= ( - 4 . 2 5 4 0 + 2 1 . 2 6 6 t + 0 . 1 3 2 0 4 t + 0 . 0 0 5 4 3 4 7 t 3 )
d t
2
= 2 1 . 2 6 6 + 0 . 2 6 4 0 8 t + 0 . 0 1 6 3 0 4 t , 1 0 d" t d" 2 2 . 5
a ( 1 6 ) = 2 1 . 2 6 6 + 0 . 2 6 4 0 8 ( 1 6 ) + 0 . 0 1 6 3 0 4 ( 1 6 ) 2
2
= 2 9 . 6 6 5 m / s
3 0
M e t . N u m e r . w y k Ba d 3
1 0
W z r i n t e r p o l a c y j n y N e w t o n a
( x 0 , y 0 ) ,
I n t e r p o l a c j a l i n i o w a : d a n e s p u n k t y ( x 1 , y 1 ) ,
s z u k a m y
f 1 ( x ) = b 0 + b 1 ( x - x 0 )
b 0 = f ( x 0 )
f ( x 1 ) - f ( x 0 )
b 1 =
x 1 - x 0
3 1
M e t . N u m e r . w y k Ba d 3
P r z y k Ba d
T a b e l a 1 P r d k o [ v j a k o f u n k c j a c z a s u t
1 0 0 0
t ( s ) v ( m / s )
8 0 0
d a n e
0 0
6 0 0
1 0 2 2 7 . 0 4
4 0 0
1 5 3 6 2 . 7 8
2 0 0
2 0 5 1 7 . 3 5
0
2 2 . 5 6 0 2 . 9 7
0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0
3 0 9 0 1 . 6 7
c z a s t ( s )
Z n a l e z p r d k o [ w c h w i l i t = 1 6 s s t o s u j c m e t o d N e w t o n a
3 2
M e t . N u m e r . w y k Ba d 3
I n t e r p o l a c j a l i n i o w a
v ( t ) = b 0 + b 1 ( t - t 0 )
W i a d o m o , |e :
Z n a j d u j e m y :
t 0 = 1 5 , v ( t 0 ) = 3 6 2 . 7 8 b 0 = v ( t 0 ) = 3 6 2 . 7 8
t 1 = 2 0 , v ( t 1 ) = 5 1 7 . 3 5 v ( t 1 ) - v ( t 0 )
b 1 = = 3 0 . 9 1 4
t 1 - t 0
A z a t e m :
v ( t ) = b 0 + b 1 ( t - t 0 ) =
= 3 6 2 . 7 8 + 3 0 . 9 1 4 ( t - 1 5 ) , 1 5 d" t d" 2 0
J a k o z a d a n i e d o m o w e , p r o s z s p r a w d z i c z y w y n i k u z y s k a n y
j e s t z g o d n y z w y n i k i e m i n t e r p o l a c j i b e z p o [r e d n i e j
3 3
M e t . N u m e r . w y k Ba d 3
1 1
p r e d k o s c v ( m / s )
I n t e r p o l a c j a l i n i o w a
v ( t ) = b 0 + b 1 ( t - t 0 )
S z u k a n a p r d k o [ w c h w i l i t = 1 6 s w y n o s i :
v ( t ) = b 0 + b 1 ( t - t 0 ) =
= 3 6 2 . 7 8 + 3 0 . 9 1 4 ( 1 6 - 1 5 )
= 3 9 3 . 6 9 m / s
5 2 0
5 0 0
d a n e
4 8 0
4 6 0
4 4 0
4 2 0
4 0 0
3 8 0
3 6 0
1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 2 0
c z a s t ( s )
3 4
M e t . N u m e r . w y k Ba d 3
I n t e r p o l a c j a k w a d r a t o w a
( x 0 , y 0 ) ,
D a n e s p u n k t y ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) ,
s z u k a m y
f 2 ( x ) = b 0 + b 1 ( x - x 0 ) + b 2 ( x - x 0 ) ( x - x 1 )
b 0 = f ( x 0 )
f ( x 1 ) - f ( x 0 )
b 1 =
x 1 - x 0
f ( x 2 ) - f ( x 1 ) f ( x 1 ) - f ( x 0 )
-
x 2 - x 1 x 1 - x 0
b 2 =
x 2 - x 0
3 5
M e t . N u m e r . w y k Ba d 3
I n t e r p o l a c j a k w a d r a t o w a
W i a d o m o , |e :
Z n a j d u j e m y :
t 0 = 1 0 , v ( t 0 ) = 2 2 7 . 0 4
b 0 = v ( t 0 ) = 2 2 7 . 0 4
t 1 = 1 5 , v ( t 1 ) = 3 6 2 . 7 8
v ( t 1 ) - v ( t 0 ) 3 6 2 . 7 8 - 2 2 7 . 0 4
t 2 = 2 0 , v ( t 2 ) = 5 1 7 . 3 5 b 1 = = =
t 1 - t 0 1 5 - 1 0
= 2 7 . 1 4 8
v ( t 2 ) - v ( t 1 ) v ( t 1 ) - v ( t 0 )
-
t 2 - t 1 t 1 - t 0 3 0 . 9 1 4 - 2 7 . 1 4 8
b 2 = = =
t 2 - t 0 1 0
= 0 . 3 7 6 6 0
3 6
M e t . N u m e r . w y k Ba d 3
1 2
v ( m / s )
I n t e r p o l a c j a k w a d r a t o w a
A z a t e m :
v ( t ) = b 0 + b 1 ( t - t 0 ) + b 2 ( t - t 0 ) ( t - t 1 ) =
= 2 2 7 . 0 4 + 2 7 . 1 4 8 ( t - 1 0 ) + 0 . 3 7 6 6 0 ( t - 1 0 ) ( t - 1 5 ) , 1 0 d" t d" 2 0
d l a t = 1 6 s :
v ( 1 6 ) = b 0 + b 1 ( 1 6 - t 0 ) + b 2 ( 1 6 - t 0 ) ( 1 6 - t 1 ) =
= 2 2 7 . 0 4 + 2 7 . 1 4 8 ( 1 6 - 1 0 ) + 0 . 3 7 6 6 0 ( 1 6 - 1 0 ) ( 1 6 - 1 5 )
= 3 9 2 . 1 9 m / s
J a k o z a d a n i e d o m o w e , p r o s z s p r a w d z i c z y w y n i k u z y s k a n y
j e s t z g o d n y z w y n i k i e m i n t e r p o l a c j i b e z p o [r e d n i e j
3 7
M e t . N u m e r . w y k Ba d 3
I n t e r p o l a c j a k w a d r a t o w a
5 5 0
5 0 0
d a n e
4 5 0
4 0 0
3 5 0
3 0 0
2 5 0
2 0 0
9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 2 0 2 1
c z a s t ( s )
B Bd w z g l d n y w o d n i e s i e n i u d o p o p r z e d n i e j i n t e r p o l a c j i
3 9 2 . 1 9 - 3 9 3 . 6 9
"a = x 1 0 0
3 9 2 . 1 9
= 0 . 3 8 5 0 2 %
3 8
M e t . N u m e r . w y k Ba d 3
O g l n a f o r m u Ba
f 2 ( x ) = b 0 + b 1 ( x - x 0 ) + b 2 ( x - x 0 ) ( x - x 1 )
g d z i e
b 0 = f [ x 0 ] = f ( x 0 )
f ( x 1 ) - f ( x 0 )
i l o r a z r |n i c o w y p i e r w s z e g o r z d u
b 1 = f [ x 1 , x 0 ] =
x 1 - x 0
f ( x 2 ) - f ( x 1 ) f ( x 1 ) - f ( x 0 )
-
f [ x 2 , x 1 ] - f [ x 1 , x 0 ] x 2 - x 1 x 1 - x 0
b 2 = f [ x 2 , x 1 , x 0 ] = =
x 2 - x 0 x 2 - x 0
A z a t e m
i l o r a z r |n i c o w y d r u g i e g o r z d u
f 2 ( x ) = f [ x 0 ] + f [ x 1 , x 0 ] ( x - x 0 ) + f [ x 2 , x 1 , x 0 ] ( x - x 0 ) ( x - x 1 )
3 9
M e t . N u m e r . w y k Ba d 3
1 3
v ( m / s )
O g l n a f o r m u Ba
M a j c ( n + 1 ) p u n k t w
( x 0 , y 0 ) , ( x 1 , y 1 ) , . . . . . . , ( x n - 1 , y n - 1 ) , ( x n , y n )
f n ( x ) = b 0 + b 1 ( x - x 0 ) + . . . . + b n ( x - x 0 ) ( x - x 1 ) . . . ( x - x n - 1 )
g d z i e
b 0 = f [ x 0 ]
b 1 = f [ x 1 , x 0 ]
b 2 = f [ x 2 , x 1 , x 0 ]
M
b n - 1 = f [ x n - 1 , x n - 2 , . . . . , x 0 ]
b n = f [ x n , x n - 1 , . . . . , x 0 ]
4 0
M e t . N u m e r . w y k Ba d 3
I n t e r p o l a c j a s z e [c i e n n a
W i e l o m i a n 3 - c i e g o s t o p n i a , m a j c d a n e ( x 0 , y 0 ) , ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) , i ( x 3 , y 3 ) , m a p o s t a
f 3 ( x ) = f [ x 0 ] + f [ x 1 , x 0 ] ( x - x 0 ) + f [ x 2 , x 1 , x 0 ] ( x - x 0 ) ( x - x 1 )
+ f [ x 3 , x 2 , x 1 , x 0 ] ( x - x 0 ) ( x - x 1 ) ( x - x 2 )
b 0
x 0 f ( x 0 ) b 1
f [ x 1 , x 0 ] b 2
x 1 f ( x 1 ) f [ x 2 , x 1 , x 0 ] b 3
f [ x 2 , x 1 ] f [ x 3 , x 2 , x 1 , x 0 ]
x 2 f ( x 2 ) f [ x 3 , x 2 , x 1 ]
f [ x 3 , x 2 ]
x 3 f ( x 3 )
4 1
M e t . N u m e r . w y k Ba d 3
I n t e r p o l a c j a s z e [c i e n n a
Z a d a n i e d o m o w e
Z n a l e z r w n a n i e n a p r d k o [ i o b l i c z y v ( 1 6 s ) n a p o d s t a w i e
i n t e r p o l a c j i s z e [c i e n n e j N e w t o n a :
v ( t ) = b 0 + b 1 ( t - t 0 ) + b 2 ( t - t 0 ) ( t - t 1 ) + b 3 ( t - t 0 ) ( t - t 1 ) ( t - t 2 )
D a n e
t 0 = 1 0 , v ( t 0 ) = 2 2 7 . 0 4
Z n a l e z w s p Bc z y n n i k i b i
t 1 = 1 5 , v ( t 1 ) = 3 6 2 . 7 8
t 2 = 2 0 , v ( t 2 ) = 5 1 7 . 3 5
t 3 = 2 2 . 5 , v ( t 3 ) = 6 0 2 . 9 7
Z n a l e z d r o g p r z e b y t w c z a s i e o d 1 1 s d o 1 6 s . Z n a l e z
p r z y s p i e s z e n i e w c h w i l i t = 1 6 s .
4 2
M e t . N u m e r . w y k Ba d 3
1 4
R o z w i z a n i e
b 0
t 0 = 1 0 2 2 7 . 0 4 b 1
2 7 . 1 4 8 b 2
t 1 = 1 5 , 3 6 2 . 7 8 0 . 3 7 6 6 0 b 3
3 0 . 9 1 4 5 . 4 3 4 7 x 1 0 - 3
t 2 = 2 0 , 5 1 7 . 3 5 0 . 4 4 4 5 3
3 4 . 2 4 8
t 3 = 2 2 . 5 , 6 0 2 . 9 7
b 0 = 2 2 7 . 0 4 ; b 1 = 2 7 . 1 4 8 ; b 2 = 0 . 3 7 6 6 0 ; b 3 = 5 . 4 3 4 7 * 1 0 - 3
4 3
M e t . N u m e r . w y k Ba d 3
P o r w n a n i e
R z d w i e l o m i a n u 1 2 3
v ( t = 1 6 ) 3 9 3 . 6 9 3 9 2 . 1 9 3 9 2 . 0 6
m / s
B Bd w z g l d n y - - - - - - - - - - 0 . 3 8 5 0 2 % 0 . 0 3 3 4 2 7 %
p r z y b l i |e n i a
4 4
M e t . N u m e r . w y k Ba d 3
I n t e r p o l a c j a z r w n o - o d l e g By m i w z Ba m i
D a n e s w a r t o [c i f u n k c j i f ( x i ) = y i d l a i = 0 , 1 , & n w p u n k t a c h
r o z m i e s z c z o n y c h w j e d n a k o w y c h o d s t p a c h :
x i = x 0 + i h
P i e r w s z y w i e l o m i a n i n t e r p o l a c y j n y N e w t o n a m a p o s t a :
y 0 2 y 0
I
N n ( x ) = y 0 + ( x - x o ) + ( x - x o ) ( x - x 1 ) + . . . +
1 ! h 2 ! h 2
n y 0
+ ( x - x o ) ( x - x 1 ) . . . . . ( x - x n - 1 )
n ! h n
g d z i e "k f ( x 0 ) j e s t r |n i c a p r o g r e s y w n a k - t e g o r z d u
4 5
M e t . N u m e r . w y k Ba d 3
1 5
I n t e r p o l a c j a z r w n o - o d l e g By m i w z Ba m i
W i e l o m i a n i n t e r p o l a c y j n y N e w t o n a j e s t k o r z y s t n y w p o b l i |u
p o c z t k u t a b l i c y . W p o b l i |u k o Dc a t a b l i c y s t o s u j e m y
y n - 1 2 y n - 2
I I
N n ( x ) = y n + ( x - x n ) + ( x - x n ) ( x - x n - 1 ) + . . . +
1 ! h 2 ! h 2
n y 0
+ ( x - x n ) ( x - x n - 1 ) . . . . . ( x - x 1 )
n ! h n
d r u g i w i e l o m i a n i n t e r p o l a c y j n y N e w t o n a z r |n i c a m i w s t e c z n y m i
4 6
M e t . N u m e r . w y k Ba d 3
R |n i c e p r o g r e s y w n e
y i = f ( x i + h ) - f ( x i ) = y i + 1 - y i
2 y i = ( y i ) = y i + 1 - y i
R |n i c e w s t e c z n e
"y i = f ( x i ) - f ( x i - h ) = y i - y i - 1
"2 y i = "( "y i ) = "y i - "y i - 1
4 7
M e t . N u m e r . w y k Ba d 3
W z r i n t e r p o l a c y j n y L a g r a n g e a
I n a c z e j :
n
( x - x 0 ) ( x - x 1 ) . . . ( x - x j - 1 ) ( x - x ) . . . ( x - x n )
j + 1
W n ( x ) = f ( x )
" j
( x j - x 0 ) ( x j - x 1 ) . . . ( x j - x j - 1 ) ( x - x j + 1 ) . . . ( x - x n )
j = 0
j j
O g l n i e :
n n
n ( x ) n ( x )
W n ( x ) = f ( x ) = f ( x ) ( x - x j ) ' n ( x j )
" j " j
j = 0 #n ( x ) # j = 0
# #
( x - x ) # #
j
x
# - x j #
# #
x = x
j
g d z i e : n ( x ) = ( x - x 0 ) ( x - x 1 ) . . . ( x - x n )
n ( x j ) j e s t w a r t o [c i p o c h o d n e j w i e l o m i a n u n ( x ) p u n k c i e x j
b d c y m z e r e m t e g o w i e l o m i a n u
4 8
M e t . N u m e r . w y k Ba d 3
1 6
P r z y k Ba d
T a b e l a 1 P r d k o [ v j a k o f u n k c j a c z a s u t
1 0 0 0
t ( s ) v ( m / s )
8 0 0
d a n e
0 0
6 0 0
1 0 2 2 7 . 0 4
4 0 0
1 5 3 6 2 . 7 8
2 0 0
2 0 5 1 7 . 3 5
0
2 2 . 5 6 0 2 . 9 7
0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0
3 0 9 0 1 . 6 7
c z a s t ( s )
Z n a l e z p r d k o [ w c h w i l i t = 1 6 s s t o s u j c m e t o d i n t e r p o l a c j i
w i e l o m i a n e m L a g r a n g e a d l a d w c h p u n k t w
4 9
M e t . N u m e r . w y k Ba d 3
I n t e r p o l a c j a l i n i o w a w i e l o m i a n e m
L a g r a n g e a
1
v ( t ) = " L i ( t ) v ( t i ) = L 0 ( t ) v ( t 0 ) + L 1 ( t ) v ( t 1 )
i = 0
Z n a j d u j e m y :
W i a d o m o , |e :
1 - t - t 1
t
t
j
t 0 = 1 5 , v ( t 0 ) = 3 6 2 . 7 8
L 0 ( t ) = =
"
t 0 j
j = 0 - t t 0 - t 1
t 1 = 2 0 , v ( t 1 ) = 5 1 7 . 3 5 j `" 0
1 - t - t 0
t
t
j
L 1 ( t ) = =
"
t 1
j = 0 - t j t 1 - t 0
j `"1
A z a t e m :
t - t 1 t - t 0
v ( t ) = v ( t 0 ) + v ( t 1 ) =
t 0 - t 1 t 1 - t 0
t - 2 0 t - 1 5
= 3 6 2 . 7 8 + 5 1 7 . 3 5
1 5 - 2 0 2 0 - 1 5
J a k o z a d a n i e d o m o w e , p r o s z s p r a w d z i c z y w y n i k u z y s k a n y
j e s t z g o d n y z w y n i k i e m i n t e r p o l a c j i b e z p o [r e d n i e j
5 0
M e t . N u m e r . w y k Ba d 3
I n t e r p o l a c j a l i n i o w a w i e l o m i a n e m
L a g r a n g e a
1 6 - 2 0 1 6 - 1 5
v ( 1 6 ) = ( 3 6 2 . 7 8 ) + ( 5 1 7 . 3 5 )
1 5 - 2 0 2 0 - 1 5
= 0 . 8 ( 3 6 2 . 7 8 ) + 0 . 2 ( 5 1 7 . 3 5 ) =
= 3 9 3 . 7 m / s
5 2 0
5 0 0
d a n e
4 8 0
4 6 0
4 4 0
4 2 0
4 0 0
3 8 0
3 6 0
1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 2 0
c z a s t ( s )
5 1
M e t . N u m e r . w y k Ba d 3
1 7
p r e d k o s c v ( m / s )
v ( m / s )
I n t e r p o l a c j a k w a d r a t o w a
( x 0 , y 0 ) ,
D a n e s p u n k t y ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 )
2
s z u k a m y
v ( t ) = L i ( t ) v ( t i ) =
"
i = 0
= L 0 ( t ) v ( t 0 ) + L 1 ( t ) v ( t 1 ) + L 2 ( t ) v ( t 2 )
2 - t
t
j
L i ( t ) =
"
t i j
j = 0 - t
j `"i
5 2
M e t . N u m e r . w y k Ba d 3
I n t e r p o l a c j a k w a d r a t o w a
Z n a j d u j e m y :
W i a d o m o , |e :
2 - t - t 1 ) ( t - t 2 )
t
( t
j
t 0 = 1 0 , v ( t 0 ) = 2 2 7 . 0 4
L 0 ( t ) = =
"
t 0 j
j = 0 - t ( t 0 - t 1 ) ( t 0 - t 2 )
j `"0
t 1 = 1 5 , v ( t 1 ) = 3 6 2 . 7 8
2 - t - t 0 ) ( t - t 2 )
t
( t
j
L 1 ( t ) = =
"
t 2 = 2 0 , v ( t 2 ) = 5 1 7 . 3 5
t 1 j
j = 0 - t ( t 1 - t 0 ) ( t 1 - t 2 )
j `"1
2 - t - t 0 ) ( t - t 1 )
t
( t
j
L 2 ( t ) = =
"
t 2 j
j = 0 - t ( t 2 - t 0 ) ( t 2 - t 1 )
j `"2
A z a t e m :
t - t 1 t - t 2 t - t 0 t - t 2 t - t 0 t - t 1
v ( t ) = v ( t 0 ) + v ( t 1 ) + v ( t 2 )
t 0 - t 1 t 0 - t 2 t 1 - t 0 t 1 - t 2 t 2 - t 0 t 2 - t 1
5 3
M e t . N u m e r . w y k Ba d 3
I n t e r p o l a c j a k w a d r a t o w a
d l a t = 1 6 s :
( 1 6 - 1 5 ) ( 1 6 - 2 0 ) ( 1 6 - 1 0 ) ( 1 6 - 2 0 )
v ( 1 6 ) = ( 2 2 7 . 0 4 ) + ( 3 6 2 . 7 8 )
( 1 0 - 1 5 ) ( 1 0 - 2 0 ) ( 1 5 - 1 0 ) ( 1 5 - 2 0 )
( 1 6 - 1 0 ) ( 1 6 - 1 5 )
+ ( 5 1 7 . 3 5 ) =
( 2 0 - 1 0 ) ( 2 0 - 1 5 )
= ( - 0 . 0 8 ) ( 2 2 7 . 0 4 ) + ( 0 . 9 6 ) ( 3 6 2 . 7 8 ) + ( 0 . 1 2 ) ( 5 1 7 . 3 5 )
= 3 9 2 . 1 9 m / s
J a k o z a d a n i e d o m o w e , p r o s z s p r a w d z i c z y w y n i k u z y s k a n y
j e s t z g o d n y z w y n i k i e m i n t e r p o l a c j i b e z p o [r e d n i e j i m e t o d
N e w t o n a .
5 4
M e t . N u m e r . w y k Ba d 3
1 8
I n t e r p o l a c j a k w a d r a t o w a
5 5 0
5 0 0
d a n e
4 5 0
4 0 0
3 5 0
3 0 0
2 5 0
2 0 0
9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 2 0 2 1
c z a s t ( s )
B Bd w z g l d n y w o d n i e s i e n i u d o p o p r z e d n i e j i n t e r p o l a c j i
3 9 2 . 1 9 - 3 9 3 . 7 0
"a = 1 0 0
3 9 2 . 1 9
= 0 . 3 8 5 0 2 %
5 5
M e t . N u m e r . w y k Ba d 3
I n t e r p o l a c j a s z e [c i e n n a
Z a d a n i e d o m o w e
Z n a l e z r w n a n i e n a p r d k o [ i o b l i c z y v ( 1 6 s ) n a p o d s t a w i e
i n t e r p o l a c j i s z e [c i e n n e j L a g r a n g e a
D a n e
t 0 = 1 0 , v ( t 0 ) = 2 2 7 . 0 4
t 1 = 1 5 , v ( t 1 ) = 3 6 2 . 7 8
t 2 = 2 0 , v ( t 2 ) = 5 1 7 . 3 5
t 3 = 2 2 . 5 , v ( t 3 ) = 6 0 2 . 9 7
Z n a l e z d r o g p r z e b y t w c z a s i e o d 1 1 s d o 1 6 s . Z n a l e z
p r z y s p i e s z e n i e w c h w i l i t = 1 6 s .
P o r w n a w y n i k i z u z y s k a n y m i n a p o d s t a w i e i n t e r p o l a c j i m e t o d
b e z p o [r e d n i e j i N e w t o n a .
5 6
M e t . N u m e r . w y k Ba d 3
P o r w n a n i e
R z d w i e l o m i a n u 1 2 3
v ( t = 1 6 ) 3 9 3 . 6 9 3 9 2 . 1 9 3 9 2 . 0 6
m / s
B Bd w z g l d n y - - - - - - - - - - 0 . 3 8 5 0 2 % 0 . 0 3 3 4 2 7 %
p r z y b l i |e n i a
5 7
M e t . N u m e r . w y k Ba d 3
1 9
v ( m / s )
W z r i n t e r p o l a c y j n y L a g r a n g e a -
p r z y k Ba d
N i e c h d a n e b d p u n k t y : 0 , 1 , 3 , 6 . Z n a l e z w i e l o m i a n i n t e r p o l a c y j n y
L a g r a n g e a , k t r y b d z i e p r z y b l i |a f u n k c j
f ( x ) = 2 "s i n # " x #
# #
6
# #
R o z w i z a n i e :
W a r t o [c i f u n k c j i f ( x ) w w z Ba c h i n t e r p o l a c j i s n a s t p u j c e :
y 0 = f ( 0 ) = 0 , y 1 = f ( 1 ) = 1 , y 2 = f ( 3 ) = 2 , y 3 = f ( 6 ) = 0 .
M o |n a p o k a z a , |e w i e l o m i a n i n t e r p o l a c y j n y L a g r a n g e a p r z y j m u j e
p o s t a :
x 3 1 1 x 2 1 7 x
W 3 ( x ) = - - +
9 0 9 0 1 5
5 8
M e t . N u m e r . w y k Ba d 3
W z r i n t e r p o l a c y j n y L a g r a n g e a -
p r z y k Ba d
5
0
f u n k c j a f ( x )
- 5
- 1 0
w i e l o m i a n
i n t e r p o l a c y j n y W 3 ( x )
- 1 5
2 s i n ( / 6 "x )
x 3 1 1 x 2 1 7 x
- 2 0
W 3 ( x ) = - - +
9 0 9 0 1 5
- 2 5
- 1 5 - 1 0 - 5 0 5 1 0 1 5
x
W i e l o m i a n i n t e r p o l a c y j n y p r z y b l i |a f u n k c j f ( x ) t y l k o p o m i d z y
s k r a j n y m i w z Ba m i , t z n . w p r z e d z i a l e [ 0 , 6 ] .
I m m n i e j s z e o d l e g Bo [c i m i d z y w z Ba m i , t y m l e p s z e p r z y b l i |e n i e
u z y s k u j e m y
5 9
M e t . N u m e r . w y k Ba d 3
O s z a c o w a n i e b Bd u w z o r u
i n t e r p o l a c y j n e g o
Z j a k d o k Ba d n o [c i w i e l o m i a n i n t e r p o l a c y j n y W n ( x ) p r z y b l i |a
f u n k c j f ( x ) w p o z o s t a By c h p u n k t a c h l e |c y c h w e w n t r z p r z e d z i a Bu
< a , b > ?
Z a k Ba d a m y , |e f u n k c j a f ( x ) w r o z p a t r y w a n y m p r z e d z i a l e < a , b >
m a p o c h o d n e d o r z d u ( n + 1 ) w Bc z n i e .
( n + 1 )
s u p f ( x )
n
x "< a , b >
f ( x ) - W n ( x ) d" " ( x - x i )
"
( n + 1 ) ! i = 0
z a l e |y o d w y b o r u w z B w i n t e r p o l a c j i
6 0
M e t . N u m e r . w y k Ba d 3
2 0
y
I n t e r p o l a c j a z a p o m o c f u n k c j i s k l e j a n y c h - s p l i n e
M o t y w a c j a
W a d y i n t e r p o l a c j i w i e l o m i a n o w e j :
P o g o r s z e n i e w y n i k w i n t e r p o l a c j i p r z y z w i k s z a n i u l i c z b y w z B w .
P r z y k Ba d :
f ( x ) = x
Z j a w i s k o R u n g e g o ( p r z y k Ba d zl e u w a r u n k o w a n e g o z a d a n i a ) :
I n t e r p o l a c j a w i e l o m i a n a m i w y s o k i c h s t o p n i p r z y s t a By c h o d l e g Bo [c i a c h
w z B w p r o w a d z i d o p o w a |n y c h o d c h y l e D o d i n t e r p o l o w a n e j f u n k c j i
z w Ba s z c z a n a k o Dc a c h p r z e d z i a Bu . I n t e r p o l a c j a n a [r o d k o w y c h
c z [c i a c h p r z e d z i a Bu j e s t n a t o m i a s t b a r d z o d o b r a i u |y t e c z n a
1
f ( x ) =
P r z y k Ba d :
1 + 2 5 x 2
6 1
M e t . N u m e r . w y k Ba d 3
I n t e r p o l a c j a w i e l o m i a n o w a s z c z e g l n y c h f u n k c j i
f ( x ) = x
6 2
M e t . N u m e r . w y k Ba d 3
Z j a w i s k o R u n g e g o
6 3
M e t . N u m e r . w y k Ba d 3
2 1
I n t e r p o l a c j a z a p o m o c l i n i o w y c h
f u n k c j i s k l e j a n y c h
M a j c d a n e p u n k t y :
( x 0 , y 0 ) , ( x 1 , y 1 ) , . . . ( x n - 1 , y n - 1 ) , ( x n , y n )
p r o w a d z i m y l i n i e p r o s t e p o m i d z y p u n k t a m i .
6 4
M e t . N u m e r . w y k Ba d 3
I n t e r p o l a c j a z a p o m o c l i n i o w y c h
f u n k c j i s k l e j a n y c h
f ( x 1 ) - f ( x 0 )
x 0 d" x d" x 1
f ( x ) = f ( x 0 ) + ( x - x 0 )
x 1 - x 0
f ( x 2 ) - f ( x 1 )
x 1 d" x d" x 2
f ( x ) = f ( x 1 ) + ( x - x 1 )
x 2 - x 1
.
n a c h y l e n i e p r o s t e j
.
p o m i d z y w z Ba m i
.
f ( x n ) - f ( x n - 1 )
f ( x ) = f ( x n - 1 ) + ( x - x n - 1 )
x n - 1 d" x d" x n
x n - x n - 1
6 5
M e t . N u m e r . w y k Ba d 3
I n t e r p o l a c j a k w a d r a t o w a z a p o m o c
f u n k c j i s k l e j a n y c h
M a j c d a n e p u n k t y :
( x 0 , y 0 ) , ( x 1 , y 1 ) , . . . ( x n - 1 , y n - 1 ) , ( x n , y n )
z a p i s u j e m y r |n e f u n k c j e k w a d r a t o w e p o m i d z y k a |d p a r
p u n k t w .
6 6
M e t . N u m e r . w y k Ba d 3
2 2
I n t e r p o l a c j a k w a d r a t o w a z a p o m o c
f u n k c j i s k l e j a n y c h
f ( x ) = a 1 x 2 + b 1 x + c 1 x 0 d" x d" x 1
f ( x ) = a 2 x 2 + b 2 x + c 2
x 1 d" x d" x 2
.
.
.
f ( x ) = a n x 2 + b n x + c n x n - 1 d" x d" x n
a i , b i , c i
Z n a l e z w s p Bc z y n n i k i i = 1 , 2 , . . . , n
M a m y 3 n n i e w i a d o m y c h c z y l i p o t r z e b u j e m y 3 n r w n a D
6 7
M e t . N u m e r . w y k Ba d 3
I n t e r p o l a c j a k w a d r a t o w a z a p o m o c
f u n k c j i s k l e j a n y c h
K a |d a p a r a b o l a p r z e c h o d z i p r z e z d w a s s i e d n i e p u n k t y ,
c z y l i m a m y 2 n r w n a D
f ( x 0 ) = a 1 x 0 2 + b 1 x 0 + c 1
f ( x 1 ) = a 1 x 1 2 + b 1 x 1 + c 1
.
.
.
f ( x i - 1 ) = a i x i - 1 2 + b i x i - 1 + c i
f ) = a i x i 2 + b i x i + c i
. ( x i
.
.
f ( x n - 1 ) = a n x n - 1 2 + b n x n - 1 + c n
f ( x n ) = a n x n 2 + b n x n + c n
6 8
M e t . N u m e r . w y k Ba d 3
I n t e r p o l a c j a k w a d r a t o w a z a p o m o c
f u n k c j i s k l e j a n y c h
D o d a t k o w e w a r u n k i o t r z y m u j e m y |d a j c c i g Bo [c i
p i e r w s z y c h p o c h o d n y c h w n - 1 w e w n t r z n y c h p u n k t a c h
w z Bo w y c h :
a 1 x 2 + b 1 x + c 1
2 a 1 x + b 1
f ' ( x )
d l a f ( x )
2 a 2 x + b 2
a 2 x 2 + b 2 x + c 2
a z a t e m
2 a 1 x 1 + b 1 = 2 a 2 x 1 + b 2
.
.
.
2 a n - 1 x n - 1 + b n - 1 = 2 a n x n - 1 + b n
6 9
M e t . N u m e r . w y k Ba d 3
2 3
I n t e r p o l a c j a k w a d r a t o w a z a p o m o c
f u n k c j i s k l e j a n y c h
P r o w a d z i t o d o n - 1 r w n a D p o s t a c i : 2 a 1 x 1 + b 1 - 2 a 2 x 1 - b 2 = 0
2 a 2 x 2 + b 2 - 2 a 3 x 2 - b 3 = 0
.
.
.
2 a i x i + b i - 2 a i + 1 x i - b i + 1 = 0
.
.
.
2 a n - 1 x n - 1 + b n - 1 - 2 a n x n - 1 - b n = 0
C a Bk o w i t a l i c z b a r w n a D w y n o s i 2 n + ( n - 1 ) = 3 n - 1
P o t r z e b n e j e d n o r w n a n i e m o |e p r z y j p o s t a n p . a 1 = 0
P i e r w s z a f u n k c j a s k l e j a n a j e s t l i n i o w a .
7 0
M e t . N u m e r . w y k Ba d 3
P r z y k Ba d
T a b e l a 1 P r d k o [ v j a k o f u n k c j a c z a s u t
1 0 0 0
t ( s ) v ( m / s )
8 0 0
d a n e
0 0
6 0 0
1 0 2 2 7 . 0 4
4 0 0
1 5 3 6 2 . 7 8
2 0 0
2 0 5 1 7 . 3 5
0
2 2 . 5 6 0 2 . 9 7
0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0
3 0 9 0 1 . 6 7
c z a s t ( s )
Z n a l e z p r d k o [ w c h w i l i t = 1 6 s s t o s u j c m e t o d i n t e r p o l a c j i
z a p o m o c k w a d r a t o w y c h f u n k c j i s k l e j a n y c h
7 1
M e t . N u m e r . w y k Ba d 3
R o z w i z a n i e
v ( t ) = a 1 t 2 + b 1 t + c 1 ,
0 d" t d" 1 0
2
= a 2 t + b 2 t + c 2 ,
1 0 d" t d" 1 5
2
= a 3 t + b 3 t + c 3 ,
1 5 d" t d" 2 0
2
= a 4 t + b 4 t + c 4 ,
2 0 d" t d" 2 2 . 5
2
= a 5 t + b 5 t + c 5 , 2 2 . 5 d" t d" 3 0
7 2
M e t . N u m e r . w y k Ba d 3
2 4
p r e d k o s c v ( m / s )
K a |d a f u n k c j a s k l e j a n a p r z e c h o d z i p r z e z
d w a s s i e d n i e p u n k t y
2
v ( t ) = a 1 t + b 1 t + c 1 ,
0 d" t d" 1 0
1 0 0 0
8 0 0
a 1 ( 0 ) 2 + b 1 ( 0 ) + c 1 = 0
d a n e
6 0 0
a 1 ( 1 0 ) 2 + b 1 ( 1 0 ) + c 1 = 2 2 7 . 0 4
4 0 0
2 0 0
0
0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0
c z a s t ( s )
7 3
M e t . N u m e r . w y k Ba d 3
D a l s z e r w n a n i a
a 2 ( 1 0 ) 2 + b 2 ( 1 0 ) + c 2 = 2 2 7 . 0 4
t ( s ) v ( m / s )
0 0 a 2 ( 1 5 ) 2 + b 2 ( 1 5 ) + c 2 = 3 6 2 . 7 8
1 0 2 2 7 . 0 4
a 3 ( 1 5 ) 2 + b 3 ( 1 5 ) + c 3 = 3 6 2 . 7 8
1 5 3 6 2 . 7 8
a 3 ( 2 0 ) 2 + b 3 ( 2 0 ) + c 3 = 5 1 7 . 3 5
2 0 5 1 7 . 3 5
2 2 . 5 6 0 2 . 9 7 a 4 ( 2 0 ) 2 + b 4 ( 2 0 ) + c 4 = 5 1 7 . 3 5
3 0 9 0 1 . 6 7
a 4 ( 2 2 . 5 ) 2 + b 4 ( 2 2 . 5 ) + c 4 = 6 0 2 . 9 7
J e s t 1 0 r w n a D, 1 5
a 5 ( 2 2 . 5 ) 2 + b 5 ( 2 2 . 5 ) + c 5 = 6 0 2 . 9 7
p o s z u k i w a n y c h
w s p Bc z y n n i k w
a 5 ( 3 0 ) 2 + b 5 ( 3 0 ) + c 5 = 9 0 1 . 6 7
7 4
M e t . N u m e r . w y k Ba d 3
{d a n i e c i g Bo [c i p o c h o d n y c h
2
v ( t ) = a 1 t + b 1 t + c 1 , 0 d" t d" 1 0
2
= a 2 t + b 2 t + c 2 ,
1 0 d" t d" 1 5
d d
( a 1 t 2 + b 1 t + c 1 ) = ( a 2 t 2 + b 2 t + c 2 )
d t d t
t = 1 0 t = 1 0
( 2 a 1 t + b 1 ) = ( 2 a 2 t + b 2 )
t = 1 0 t = 1 0
2 a 1 ( 1 0 ) + b 1 = 2 a 2 ( 1 0 ) + b 2
2 0 a 1 + b 1 - 2 0 a 2 - b 2 = 0
7 5
M e t . N u m e r . w y k Ba d 3
2 5
p r e d k o s c v ( m / s )
{d a n i e c i g Bo [c i p o c h o d n y c h - c d
d l a t = 1 0 s 2 a 1 ( 1 0 ) + b 1 - 2 a 2 ( 1 0 ) - b 2 = 0
d l a t = 1 5 s 2 a 2 ( 1 5 ) + b 2 - 2 a 3 ( 1 5 ) - b 3 = 0
2 a 3 ( 2 0 ) + b 3 - 2 a 4 ( 2 0 ) - b 4 = 0
d l a t = 2 0 s
2 a 4 ( 2 2 . 5 ) + b 4 - 2 a 5 ( 2 2 . 5 ) - b 5 = 0
d l a t = 2 2 . 5 s
4 d o d a t k o w e r w n a n i a
o s t a t n i e r w n a n i e
a 1 = 0
7 6
M e t . N u m e r . w y k Ba d 3
O s t a t e c z n y u k Ba d 1 5 r w n a D n a 1 5 n i e w i a d o m y c h
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a 1 0
# ## # # #
#1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ##b 1 # #2 2 7 . 0 4 #
# ##c # #2 2 7 . 0 4 #
0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1
# ## # # #
0 0 0 2 2 5 1 5 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
# ##a # #3 6 2 . 7 8 #
2
# ##b 2 # #3 6 2 . 7 8 #
0 0 0 0 0 0 2 2 5 1 5 1 0 0 0 0 0 0
# ##c # #5 1 7 . 3 5 #
0 0 0 0 0 0 4 0 0 2 0 1 0 0 0 0 0 0
2
# ## # # #
0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 2 0 1 0 0 0
# ##a 3 # #5 1 7 . 3 5 #
# 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 6 . 2 5 2 2 . 5 1 0 0 0 ##b 3 # = #6 0 2 . 9 7 #
# ##c # #6 0 2 . 9 7 #
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 6 . 2 5 2 2 . 5 1
3
# ## # # #
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 0 0 3 0 1
4
# ##a # #9 0 1 . 6 7 #
2 0 1 0 ##b 4 0
# - 2 0 - 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 # # #
# ##c 4 # # #
0 0 0 3 0 1 0 - 3 0 - 1 0 0 0 0 0 0 0 0
# ##a # # #
0 0 0 0 0 0 4 0 1 0 - 4 0 - 1 0 0 0 0 0
5
# ## # # #
0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 5 1 0 - 4 5 - 1 0 0
# ##b 5 # # #
# ##c 5 # # #
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
# ## # # #
7 7
M e t . N u m e r . w y k Ba d 3
b i i
c i
a
W a r t o [c i w s p Bc z y n n i k w
i a i b i c i
1 0 2 2 . 7 0 4 0
2 0 . 8 8 8 8 4 . 9 2 8 8 8 . 8 8
3 - 0 . 1 3 5 6 3 5 . 6 6 - 1 4 1 . 6 1
4 1 . 6 0 4 8 - 3 3 . 9 5 6 5 5 4 . 5 5
5 0 . 2 0 8 8 9 2 8 . 8 6 - 1 5 2 . 1 3
P r o s z s p r a w d z i c z y p o d a n e w a r t o [c i s p r a w i d Bo w e
7 8
M e t . N u m e r . w y k Ba d 3
2 6
O s t a t e c z n e r o z w i z a n i e
0 d" t d" 1 0
v ( t ) = 2 2 . 7 0 4 t ,
1 0 d" t d" 1 5
= 0 . 8 8 8 8 t 2 + 4 . 9 2 8 t + 8 8 . 8 8 ,
2
1 5 d" t d" 2 0
= - 0 . 1 3 5 6 t + 3 5 . 6 6 t - 1 4 1 . 6 1 ,
2
2 0 d" t d" 2 2 . 5
= 1 . 6 0 4 8 t - 3 3 . 9 5 6 t + 5 5 4 . 5 5 ,
2
2 2 . 5 d" t d" 3 0
= 0 . 2 0 8 8 9 t + 2 8 . 8 6 t - 1 5 2 . 1 3 ,
7 9
M e t . N u m e r . w y k Ba d 3
P r d k o [ w o k r e [l o n y m p u n k c i e
a ) P r d k o [ w c h w i l i t = 1 6 s
v ( t ) = 2 2 . 7 0 4 t , 0 d" t d" 1 0
2
1 0 d" t d" 1 5
= 0 . 8 8 8 8 t + 4 . 9 2 8 t + 8 8 . 8 8 ,
2
= - 0 . 1 3 5 6 t + 3 5 . 6 6 t - 1 4 1 . 6 1 , 1 5 d" t d" 2 0
2
= 1 . 6 0 4 8 t - 3 3 . 9 5 6 t + 5 5 4 . 5 5 ,
2 0 d" t d" 2 2 . 5
2
= 0 . 2 0 8 8 9 t + 2 8 . 8 6 t - 1 5 2 . 1 3 ,
2 2 . 5 d" t d" 3 0
2
v ( 1 6 ) = - 0 . 1 3 5 6 ( 1 6 ) + 3 5 . 6 6 ( 1 6 ) - 1 4 1 . 6 1
= 3 9 4 . 2 4 m / s
J a k o z a d a n i e d o m o w e , p r o s z p o r w n a o b l i c z o n w a r t o [
p r d k o [c i z w a r t o [c i o t r z y m a n z a p o m o c i n t e r p o l a c j i
w i e l o m i a n o w e j
8 0
M e t . N u m e r . w y k Ba d 3
P r z y s p i e s z e n i e w o k r e [l o n y m p u n k c i e
b ) A c c e l e r a t i o n a t t = 1 6
v ( t ) = 2 2 . 7 0 4 t , 0 d" t d" 1 0
2
= 0 . 8 8 8 8 t + 4 . 9 2 8 t + 8 8 . 8 8 , 1 0 d" t d" 1 5
2
= - 0 . 1 3 5 6 t + 3 5 . 6 6 t - 1 4 1 . 6 1 ,
1 5 d" t d" 2 0
2
= 1 . 6 0 4 8 t - 3 3 . 9 5 6 t + 5 5 4 . 5 5 , 2 0 d" t d" 2 2 . 5
2
= 0 . 2 0 8 8 9 t + 2 8 . 8 6 t - 1 5 2 . 1 3 , 2 2 . 5 d" t d" 3 0
d
a ( 1 6 ) = v ( t )
t = 1 6
d t
8 1
M e t . N u m e r . w y k Ba d 3
2 7
P r z y s p i e s z e n i e w o k r e [l o n y m p u n k c i e
,
F u n k c j a k w a d r a t o w a s k l e j a n a p r a w d z i w a w p u n k c i e t = 1 6 s j e s t
d a n a j a k o
2
v ( t ) = - 0 . 1 3 5 6 t + 3 5 . 6 6 t - 1 4 1 . 6 1 , 1 5 d" t d" 2 0
d
a ( t ) = ( - 0 . 1 3 5 6 t 2 + 3 5 . 6 6 t - 1 4 1 . 6 1 )
d t
= - 0 . 2 7 1 2 t + 3 5 . 6 6 ,
a ( 1 6 ) = - 0 . 2 7 1 2 ( 1 6 ) + 3 5 . 6 6
= 3 1 . 3 2 1 m / s 2
J a k o z a d a n i e d o m o w e , p r o s z p o r w n a o b l i c z o n w a r t o [
p r z y s p i e s z e n i a z w a r t o [c i o t r z y m a n z a p o m o c i n t e r p o l a c j i
w i e l o m i a n o w e j
8 2
M e t . N u m e r . w y k Ba d 3
D r o g a z p r o f i l u p r d k o [c i
c ) Z n a l e z d r o g p r z e b y t p r z e z r a k i e t o d t = 1 1 s d o t = 1 6 s .
v ( t ) = 2 2 . 7 0 4 t ,
0 d" t d" 1 0
2
= 0 . 8 8 8 8 t + 4 . 9 2 8 t + 8 8 . 8 8 , 1 0 d" t d" 1 5
2
= - 0 . 1 3 5 6 t + 3 5 . 6 6 t - 1 4 1 . 6 1 , 1 5 d" t d" 2 0
2
2 0 d" t d" 2 2 . 5
= 1 . 6 0 4 8 t - 3 3 . 9 5 6 t + 5 5 4 . 5 5 ,
2
2 2 . 5 d" t d" 3 0
= 0 . 2 0 8 8 9 t + 2 8 . 8 6 t - 1 5 2 . 1 3 ,
1 6
S ( 1 6 ) - S ( 1 1 ) =
+"v ( t ) d t
1 1
8 3
M e t . N u m e r . w y k Ba d 3
D r o g a z p r o f i l u p r d k o [c i
2
v ( t ) = 0 . 8 8 8 8 t + 4 . 9 2 8 t + 8 8 . 8 8 , 1 0 d" t d" 1 5
2
1 5 d" t d" 2 0
= - 0 . 1 3 5 6 t + 3 5 . 6 6 t - 1 4 1 . 6 1 ,
1 6 1 5 1 6
S ( 1 6 ) - S ( 1 1 ) = = +
+"v ( t ) d t +"v ( t ) d t +"v ( t ) d t
1 5
1 1 1 1 1 5
2
=
+"( 0 . 8 8 8 8 t + 4 . 9 2 8 t + 8 8 . 8 8 ) d t
1 1
1 6
2
+
+"( - 0 . 1 3 5 6 t + 3 5 . 6 6 t - 1 4 1 . 6 1 ) d t
1 5
= 1 5 9 5 . 9 m
J a k o z a d a n i e d o m o w e , p r o s z p o r w n a o b l i c z o n w a r t o [
p r z e b y t e j o d l e g Bo [c i z w a r t o [c i o t r z y m a n z a p o m o c
i n t e r p o l a c j i w i e l o m i a n o w e j
8 4
M e t . N u m e r . w y k Ba d 3
2 8
B Bd w z o r u i n t e r p o l a c y j n e g o
( n + 1 )
s u p f ( x )
n
x "< a , b >
f ( x ) - W n ( x ) d" " ( x - x i )
"
( n + 1 ) ! i = 0
( n + 1 )
P r z y j m u j e m y o z n a c z e n i a : M = s u p f ( x )
n + 1
x "< a , b >
K r e s g r n y m o d u Bu ( n + 1 ) - s z e j p o c h o d n e j f u n k c j i f ( x ) n a p r z e d z i a l e
< a , b >
n ( x ) = ( x - x 0 ) ( x - x 1 ) . . . ( x - x n )
8 5
M e t . N u m e r . W y k Ba d 4
B Bd w z o r u i n t e r p o l a c y j n e g o
M
n + 1
f ( x ) - W n ( x ) d" " n ( x )
( n + 1 ) !
P r z y k Ba d :
O c e n i , z j a k d o k Ba d n o [c i m o |n a o b l i c z y w a r t o [ l n 1 0 0 , 5 p r z y
u |y c i u w z o r u i n t e r p o l a c y j n e g o L a g r a n g e a , j e |e l i d a n e s w a r t o [c i :
l n 1 0 0 , l n 1 0 1 , l n 1 0 2 , l n 1 0 3
6
( 4 )
f ( x ) = l n ( x ) , n = 3 , a = 1 0 0 , b = 1 0 3 , f ( x ) = -
x 4
6
( 4 )
M = s u p f ( x ) =
4
x "< 1 0 0 , 1 0 3 > 1 0 0 4
6
l n 1 0 0 , 5 - W ( 1 0 0 , 5 ) d" "0 , 5 "0 , 5 "1 , 5 " 2 , 5 H" 2 , 3 4 4 "1 0 - 9
1 0 0 4 4 !
8 6
M e t . N u m e r . W y k Ba d 4
O p t y m a l n y d o b r w z B w i n t e r p o l a c j i
M
n + 1
f ( x ) - W n ( x ) d" " n ( x )
( n + 1 ) !
W i e l k o [ b Bd u z a l e |y o d w y b o r u w z B w i n t e r p o l a c j i p o p r z e z n .
N a M n + 1 n i e m a m y w p By w u .
J a k w y b r a w z By i n t e r p o l a c j i x i , a b y : s u p n ( x )
x "< a , b >
m i a Bo j a k n a j m n i e j s z w a r t o [
Z a g a d n i e n i e z o s t a Bo s f o r m u Bo w a n e p r z e z r o s y j s k i e g o m a t e m a t y k a
P . L . C z e b y s z e w a j a k o z a g a d n i e n i e z n a j d o w a n i a w i e l o m i a n u
a l g e b r a i c z n e g o n a j l e p i e j p r z y b l i |a j c e g o z e r o n a z a d a n y m
p r z e d z i a l e .
8 7
M e t . N u m e r . W y k Ba d 4
2 9
W i e l o m i a n y C z e b y s z e w a
W i e l o m i a n y C z e b y s z e w a
T n ( x ) = c o s ( n a r c c o s x )
( p i e r w s z e g o r o d z a j u ) :
M o |n a p o k a z a , |e w i e l o m i a n T n ( x ) j e s t i d e n t y c z n y z p e w n y m
w i e l o m i a n e m a l g e b r a i c z n y m z a w |o n y m d o p r z e d z i a Bu < - 1 , 1 > .
T 0 ( x ) = 1
T 1 ( x ) = c o s ( a r c c o s x ) = x
T 2 ( x ) = c o s ( 2 a r c c o s x ) = 2 x 2 - 1
T 3 ( x ) = c o s ( 3 a r c c o s x ) = 4 x 3 - 3 x
T n ( x ) = 2 x T n - 1 ( x ) - T n - 2 ( x )
w z r r e k u r e n c y j n y
8 8
M e t . N u m e r . W y k Ba d 4
W i e l o m i a n y C z e b y s z e w a
W i e l o m i a n y C z e b y s z e w a p i e r w s z e g o r o d z a j u s r o z w i z a n i e m
r w n a n i a r |n i c z k o w e g o :
2
d T n ( x ) d T n ( x )
( 1 - x 2 ) - x + n 2 T n ( x ) = 0
d x 2 d x
D e f i n i u j e s i j e p o p r z e z w z r R o d r i g u e s a :
n
1 - x 2 d n - 1 2
n
T n ( x ) = ( - 1 ) [ ( 1 - x 2 ) ]
( 2 n - 1 ) ! ! d x n
W i e l o m i a n y C z e b y s z e w a p i e r w s z e g o r o d z a j u s o r t o g o n a l n e w
p r z e d z i a l e < - 1 , 1 > z w a g :
1
w ( x ) =
1 - x 2
8 9
M e t . N u m e r . W y k Ba d 4
O p t y m a l n y d o b r w z B w i n t e r p o l a c j i
K a |d y w i e l o m i a n C z e b y s z e w a s t o p n i a n m a n r |n y c h p i e r w i a s t k w w
p u n k t a c h :
2 m + 1
x m = c o s ( ) , m = 0 , 1 , 2 , . . . , n - 1
2 n
z a w a r t y c h m i d z y - 1 i + 1
W s p Bc z y n n i k p r z y n a j w y |s z e j p o t d z e w T n ( x ) j e s t r w n y 2 n - 1 .
S z u k a m y w i e l o m i a n u , k t r y p r z y n a j w y |s z e j p o t d z e m a
w s p Bc z y n n i k r w n y j e d n o [c i
1
T n " ( x ) = T n + 1 ( x ) = ( x - x 0 ) ( x - x 1 ) . . . ( x - x n )
+ 1
2 n
g d z i e x m ( m = 0 , 1 , 2 , & , n ) s p i e r w i a s t k a m i w i e l o m i a n u T n + 1
9 0
M e t . N u m e r . W y k Ba d 4
3 0
O p t y m a l n y d o b r w z B w i n t e r p o l a c j i
W y r a |e n i e :
s u p n ( x )
x "< a , b >
w p r z e d z i a l e < - 1 , 1 > m a n a j m n i e j s z w a r t o [ d l a w i e l o m i a n u :
1
n ( x ) = T n + 1 ( x ) = ( x - x 0 ) ( x - x 1 ) . . . ( x - x n )
2 n
1
s u p n ( x ) =
w w c z a s :
x "< - 1 , 1 > 2 n
J e |e l i w p r z e d z i a l e < - 1 , 1 > z a w z By i n t e r p o l a c j i p r z y j m i e m y z e r a
w i e l o m i a n u C z e b y s z e w a , t o
M n + 1
f ( x ) - W n ( x ) d"
2 n ( n + 1 ) !
9 1
M e t . N u m e r . W y k Ba d 4
O p t y m a l n y d o b r w z B w i n t e r p o l a c j i
W d o w o l n y m p r z e d z i a l e < a , b > o s z a c o w a n i e b Bd u w y n o s i :
M n + 1 ( b - a ) n + 1
f ( x ) - W n ( x ) d"
( n + 1 ) ! 2 2 n + 1
p r z y w y b o r z e w z B w
1 2 m + 1
#( b
x m = - a ) c o s ) + ( b + a ) #, m = 0 , 1 , 2 , . . . , n
# #
2 2 n + 2
# #
N o w e w z By x m n i e s r o z m i e s z c z o n e w r w n y c h o d s t p a c h l e c z
s z a g s z c z o n e p r z y k o Dc a c h p r z e d z i a Bu .
1
x = [ ( b - a ) z + ( b + a ) ]
2
P r o s t e t r a n s f o r m a c j e l i n i o w e s p r o w a d z a j
1
x z p r z e d z i a Bu < a , b > d o z n a l e |c e g o d o
z = ( 2 x - b - a )
< - 1 , 1 >
b - a
9 2
M e t . N u m e r . W y k Ba d 4
P o d s u m o w a n i e i n t e r p o l a c j i
P r z e c z y t a i p r z e a n a l i z o w a r o z d z i a B 1 . 2 . 8 U w a g i k o Dc o w e ,
Z . F o r t u n a , B . M a c u k o w , J . W s o w s k i , M e t o d y n u m e r y c z n e
W n i o s k i :
1 . P r z y o b l i c z a n i u w a r t o [c i w i e l o m i a n u i n t e r p o l a c y j n e g o w
j e d n y m l u b k i l k u p u n k t a c h p r o b l e m w y b o r u p o s t a c i w z o r u
i n t e r p o l a c y j n e g o n i e j e s t i s t o t n y .
2 . R o d z a j w y b r a n e g o w z o r u i r o z m i e s z c z e n i e w z B w m a w p By w
j e d y n i e n a b Bd o b l i c z e D.
3 . O c z a s o c h Bo n n o [c i o b l i c z e D d e c y d u j e l i c z b a m n o |e D i d z i e l e D.
d l a w i e l o m i a n u L a g r a n g e a s t a n o w i t o n 2 + 4 n + 2
d l a w i e l o m i a n u N e w t o n a 1 / 2 n 2 + 3 / 2 n 2
9 3
M e t . N u m e r . W y k Ba d 4
3 1
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