1098873050

4. Niech e > 0. Oblicz wskaźnik uwarunkowania w normie || • ||i macierzy

M_e

e £ e 0 1 1 0 0 1

5. Zbadaj, które z wektorów: [1,1,—1]^T, [1,1,0]^T, [—1,1,0]^T, [0,-1,1]^T, [0,0,1]^T, są wektorami własnymi macierzy

A =

3

-1

0

-1

3

0

0

0 . -4

Znajdź wszystkie jej wartości własne. Czy (prosta) metoda potęgowa rozwiązywania zagadnienia własnego byłaby dla tej macierzy skuteczna?

6.    Należy znaleźć wielomian interpolacyjny Hermite’a dla trzech węzłów, za pomocą algorytmu różnic dzielonych. Ktoś utworzył i częściowo wypełnił następującą tabelkę różnic dzielonych:

0 1 1 2 1 2 1 2 2 0

Odczytaj z tabelki nałożone na wielomian warunki interpolacyjne.

Sprawdź, czy obliczone (a nie wpisane!) elementy tabelki zostały obliczone poprawnie i jeśli nie, to je skoryguj. Wypełnij tabelkę do końca, a następnie podaj współczynniki wielomianu Hermite’a w bazie Newtona związanej z tymi węzłami (z krotnościami i w kolejności z tabelki).

7.    Funkcję f(x) = sinx na odcinku [0,7x] przybliżamy interpolacyjną funkcją sklejaną pierwszego stopnia, s(x), opartą naN + 1 równoodległych węzłach (będących zarówno węzłami interpolacyjnymi, jak i węzłami funkcji sklejanej): x_k = krc/N dla k = 0,..., N. Jakie N wystarczy, aby błąd aproksymacji jednostajnej funkcji f przez s był mniejszy niż 10^-3?

8. Udowodnij, że jeśli kwadratura interpolacyjna przybliżająca całkę I(f)=j f(x)p(x)dx

z parzystą funkcją wagową p ma nieparzystą liczbę węzłów rozmieszczonych w przedziale [—a, a] symetrycznie względem zera, to rząd tej kwadratury jest większy od liczby węzłów.

Podaj (przynajmniej dwa) przykłady takich kwadratur.