1105139921

18 2. Wykład II, 9. X.2009

TeopeMa 4. Hau mozo imoóbt Keadpamuwan $opMa A(x,x) = ^ a,_kx,x_k ffu-

i,t=i

mi HeompuąameAbHoS, neoOioduMO u docmamoino, imoOu ece ZAaonue Mimopu ee Mampunu KOaptpuuueHmoe Obutu HeompuuameAbHu:

a()| £    (1 $ »i < »2 < — < *p $ n; P=l,2,...,n).    (40*)

HoKa3aTenbcTBo. BBefleM BcnoMoraTe.ibiiyio ipopMy A, (i, x) = i4(z, x)+eY_x> (e>0).

OweBHAHo, lim A_c(x,x) = A(x, x).

H3 HeorpHuaTCJibHocTH (popMU A(x,x) anenycT noaoJKMTeJibHan onpeflejieiiHOCTb 4>opMbi At(x,x) u, cjieflOBaTenbHO, HepaBeHCTBa (cm. cjieflcTBHC H3 TeopeMbl 3)

a.(V £ ;;; |')>o (i<ń<«»<...<«_p<n_; p=i,2,...,»).

IlepcxoaH k npeaeny npn £ -> 0, ncwiynaeM ycnoBHH (40*).

IlycTb, iiao6opoT, aaHbi ycaoBHfl (40*). H3 sthx ycaoBHR caeayeT

^A(i! ‘i i")    (l<fc<fa<...<i»S»; !> = »,2,

Ho Toraa (coniacHO TeopeMe 3) Ac(x,x) — noaowHTeabHO onpeaeaeHiian $opMa: Ac(x,x) > 0 (sj^O).

Ilepexoan K npeaeny npw e -* 0, nonywaeM otcioas A{x,x)> 0.

TeopeMa aoKa3ana.

ycaoBHH HenonojKHTPJibHocTM h oTpmiaTe.ibHofl onpeacjicimocTH (popMbi nonyia-lOTCfl COOTBeTCTBeHHO H3 HCpaBCHCTB (39) H (40), eCJIH 3TH HepaBeHCTBa npHMCHHTb k cpopMe —A(x,x).

TeopeMa 5. Hau mozo imoóbt Koadpamuiuan tpopAta A(x,x) Obua ompuuameAbuo onpedeAKHHou, itcofiioduAto u docmamoiHO, imoóbt umcau Mecmo HepaeeHcmaa

Di <0, Di> 0, D₃ < 0, .... (-1)"D„ > 0.    (39¹)

TeopeMa 6. Hmi mozo imoóbt Kaadpamuntaa tpopMa A(x,x) Obuta uenoAOxcu-mejtbHoa, neoOioduMo u docmamoino, imoóbt umcau Mecmo Hepaeencmea

(ś; J ;;; J;)»o (i«>,_P=i,2.....»).(«)

Rysunek 2.2. Dowód twierdzenia charakteryzującego macierze symetryczne nieujemnie określo-

Zbiór wszystkich takich punktów oznaczamy symbolem A^k, A^k C R^fc. Jest to tzw. sympleks standardowy w R^k [w wersji pdf Rysunek 2.3 wypada dopiero na następnej stronie]:

W Wykładzie I widzieliśmy, że zainwestowanie własnego kapitału w akcje spółek A i B, opisane (czy zakodowane) portfelem (x\, ®2)^T € A² ma stopę zwrotu (lub, krócej: taki portfel ma stopę zwrotu) X\R\ + 22Rb-² Czy analogicznie jest gdy inwestuje się kapitał w akcje k spółek? Tzn czy w dalszym ciągu ma miejsce odpowiedniość

A^k 3 x <—> zmienna losowa xiR\ + *2^2 H-----1-XkRk = x^TR    (2.1)

wiążąca dany portfel Markowitza ze zmienną losową stojącą po prawej stronie w (2.1) jako jego stopą zwrotu ?

Tak jest w istocie. Jeżeli przez L oznaczymy kapitał inwestora, wtedy Xj • L będzie kwotą przeznaczoną przez niego na zakup akcji spółki numer i. Jeśli Ci_tP0CZ i Ci k_on oznaczają notowania akcji i-tej spółki odpowiednio na początku i na końcu okresu inwestycyjnego (pamiętamy,

To w dalszym ciągu jest zmienna losowa!