1105139924

20 2. Wykład II, 9.X.2009

(i)    Wartością oczekiwaną portfela x, oznaczaną E(x), nazywamy wartość oczekiwaną zmiennej stopy zwrotu przy inwestowaniu w ten portfel, czyli zmiennej losowej stojącej po prawej stronie w (2.1): E(x) = E(x^TR).

(ii)    Odchyleniem standardowym (względnie wariancją) portfela x, oznaczanym a(x) (a²(x)), nazywamy odchylenie standardowe (wariancję) zmiennej losowej x^R: <j(x) = a(x^R) (<r²(a:) cr²(a:^Tl?)).

Obserwacja. 2.2

(i)    E(x) = x^Tn dla x E A^k.

(ii)    <r²(a:) = x^r'£x dla x E A^k.

(iii)    Macierz E jest nieujemnie określona i <r(x) = VrEx dla x € A^k.

Dowód. (i) E(x) = E(a:^Ti?) = a;^TE(i?) = x^Tn,

(ii)    er² (a:) = a²(x^TR) = E(x^TR-E(x^TR))² = E(x^T(R~n))² = E(x^T(R-n)(x^T(R-n)f) = e(x^t(R — n)(R — fj)^Tx') = s^te((.R — fi)(R — fi)^T^x °^b=^2-1 a;^TE _x

(iii)    Dowolnie ustalamy y E R^k i rozważamy zmienną losową y\R\ + y^R2 + • • • + VkRk mezwiązaną ściśle z analizą portfelową. Powtarzając rachunki z dowodu (ii) (w którym nie wykorzystaliśmy założenia x G A^k),

0 < <r²(y^TR) = y^TSy,

zaś wzór na a(x) dla x E A^k wynika z już udowodnionej części (ii).

□

W teorii Markowitza kluczową rolę odgrywa odwzorowanie Markowitza M:

A^kBx^ M(x) =

( «■{*) \ _ /	'i
Uw; l	m^tx )

E R²(<7, E).

Często używane też jest zmodyfikowane odwzorowanie Markowitza M:

^A‘³ * ~ M - (    ) = ( %^X ) ^{6 R2}("²'

Uwaga 2.2. a) W oryginalnych pracach Markowitza (i tylko Markowitza) kolejność zmiennych jest odwrócona: E jest odkładana na osi odciętych, natomiast a (względnie cr²) - na osi rzędnych. Oczywiście sam Markowitz nie nazywał tak tych odwzorowań. Mówił on tylko o ‘attainable (E, P) combinations’ - patrz np strona 82 w [19]. Powyższe nazwy i sam symbol M wprowadził, być może nie jako jedyny na świecie, Krzyżewski w [13]. b) W późniejszej części teorii, którą poznaje się na wykładach z analizy portfelowej, odwzorowania M i IA będą miały o wiele większą dziedzinę

H = {x = («!,..., Zfc)^T G M^fc: xi +----h£fc = 1} ■    (2.2)

Będzie to więc hiperpłaszczyzna afinicznie rozpięta przez sympleks standardowy A^k (oczywiście A^k C H). Okaże się przy tym, że odwzorowania M i M idące z H zachowują swoje wzory definicyjne z podejścia Markowitza! Patrząc na to z innej strony, tylko przez jakiś czas zajmować się będziemy wyłącznie portfelami Markowitza leżącymi w sympleksach standardowych A^k i (tym samym) mającymi wszystkie współrzędne nieujemne.