17256

Prof. Janusz Wywiał - wykłady - Statystyka matematyczna

Wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej U_k o rozkładzie Xk określa wyrażenie E(U_k) = k, D²{U_k) = 2k . Tw.: Jeżeli liczba stopni swobody It —> ©o to dystrybuanta zmiennej losowej U_k o rozkładzie XI zmierza do dystrybuanty rozkładu normalnego N(k,2k).

W praktyce dystrybuanta zmiennej LJ _k jest dostatecznie dobrze przybliżoną dystrybuantą rozkładu normalnego, gdy 30.

Niech macierz Hstopnia n i rzędu k <, n będzie macierzą idempotentną, czyli H² = H

Tw.: Jeżeli X ~ (///„, /„), czyli X jest n-elementową próbą pochodzącą z populacji o rozkładzie normalnym

standardowym, to zmienna losowa U_k = X ■ H ■ X⁷ ma rozkład niecentralny zł(S), gdzie S = jj²H .

W szczególności, gdy /z = 0 to S = 0 i U_k ~ zl ■

Tw.: Jeżeli zmienna losowa ma nieosobliwy k-wymiarowy rozkład normalny

(czyli, y

jest macierzą

dodatnio określoną - ma dodatni wyznacznik) to zmienna losowa U_k = (X - /J) £ '( X - /i)' ma rozkład xl •

Rozkład Studenta (Goset -» pseudonim Student)

Def.: Niech zmienna losowa 2 ~ N(/z,l) i U_k ~ zl będą niezależne.

Wtedy zmienna losowa ^ ⁼    - Jk _ma niecentralny rozkład studenta t(k; ^ z k stopniami swobody

i parametrem niecentralności A = /z*.

Jeżeli A = 0 to mówimy, że T_k ma rozkład studenta (centralny).

k-2

Gdy k>2 to: £(l/J = 0.    D*’(Tj= ^k

P[Z > a) < P{T > a)

Rozkład studenta ma tłustszy ogon (skrzydło) rozkładu.

Tw.: Jeżeli liczba stopni swobody k -> «© to dystrybuanta rozkładu Studenta zmierza do dystrybuanty rozkładu normalnego standardowego 7V(0;l).

W praktyce dystrybuanta rozkładu Studenta może przybliżać dysttybuantę rozkładu normalnego przy k ^ 30. Rozkład Fischera

U k

Def.: Jeżeli zmienna losowe U, i U₂ są niezależne i U_l ~ zł(8) ' U2 ~ Xl •^t0 zmienna losowa Y = ¹ *’

U₂k_l

ma niecentralny rozkład Fischera F{k_l,k₂,S) z ki i k₇ stopniami swobody.

W szczególności, gdy S = 0 to zmienna losowa F ma centralny rozkład Fischera F(k_ltk₂) z ki i k₇ stopniami swobody.

Gdy F ~ F{k_rk₂), fc, < k₂ to..........................

Jeżeli liczba Ir, —> <» i k₂ -»<» to zmienna o rozkładzie Fischera ma rozkład normalny.

str. 2