Matematyka 2 63

362 V tu-menly rachunku prą » do/nnlo/nensl » a

3. Wyznaczyć wartość oczekiwaną i wariancję ZL rozważanych w zadaniach do paragrafu 3 o następujących numerach: A) 7. B) 8, 0 9, D) 10.

4 Wyznaczyć wartość oczekiwaną ZL o dwustronnym rozkładzie wykładniczym z parametrem X. Z>0. tj rozkładzie zadanym GP

postaci: f(x) = -^Xe"'⁴“ dla xeR.

5.    Wyznaczyć wartość oczekiwaną i wariancję ZL: Y - 2X -1,

U = 2X^:-3. Z = -2X^J-3. jeśli: EX = I, VarX = 2, EX^< = 16.

6.    Wyznaczyć wartość oczekiwaną i wariancję ZL: U=2X-3Y. Z=Y^:-X^:. jeśli ZL X, Y są niezależne oraz EX=2. VarX = 3. EX⁴ = 69, EY—I. VarY =2, F.Y⁴ = I4.

7.    Zbiory (EX. VarX, F(2), F(3)}. {1/3.1/2,-3, 5| są identyczne. Wyznaczyć wartości liczbowe elementów pierwszego zbioru.

8.    Wyznaczyć kwantyle x_łl25, x_UJ, x_a7< ZL z zadania 7 w paragrafie 3.

9 Wyznaczyć kwantyle x₀₂₅,x_OJ,x₀₇₅ ZL z zadania 4 przyjmując

k = \

10.    Wykazać, że kwantyl jest miarą położenia (jeśli Y = X + c. to

y_p = x_p+c).

11.    Wykazać prawdziwość własności V5 wariancji sformułowanej w twierdzeniu 4.2.

Odpowied;!.

I u| rX = ó.3. VarX~X.(łl. b) n\' = 4.5. VarX-39.4S; c)TY = 3/2. VarY-3/4; d) ŁX-X7/7. VarX = 96/49; cl h.\ = 9^3/20. VarX = 27/400.

2.    a) Q-|(ll),(I0).(0l).(0.0)|, gdzie (, = 1 lub O siosuwmc do lego, esy /uj-iym

(j— 1,21 razem zrealizowało się zdarzenie Aczy A*. X(ltl-2. X(l0)=X(0ł)~0, X|00l=-2; b)ZLSX maskoki pj -1/16. p> = 6/16. p,-9/16 odpowiednia w punktach skokowych X, = 2. -0. x₃ = 2. c) HX-1. VarX^ 3/2

3.    A) EX-t, VarX-1/6; R) EX=i-2. VarX-4(x-3).

O    EX = 5/4. VarX -153/240 » 0.64 .

b| KX=ł, VarX =3/5 • c) hX^X/5. VarX = 8/75; dl EX. VarX nte istnieją.. cl EX = 2. VarX me isłnicjc..

O nx = 7/3.. Var.x - 34/45: g) EX = 1/2.. VarX= 1/4 ;

h)    EX«(e²+ l)/4. VarX = (-9c⁴ *32c³ -IKc² + 7)/304 ;

i) EX = 0. VarX = 1/6;    j) EX = 1/12. VarX = 59/144 * 0.41;

M EX - 13/12. VarX = 59/144 *0,41:

1) EX =5/24, VarX =979/2X80*0.34. ł) hX=0. V'arX = 2.

U) a) EX. VarX mc istnieją; b) EX, VarX nie istnieją: c) EX = 1/12. VorX =59/144 * 0.41 .

0) HX. VarX nic istnieją,

c) EX = 0. VarX = l;    O KX = 0. VarX = a^J/2 .

4.    HX=0. 5. E> =1. VarV = 8. KU = 3. VarU = 28. E7.= -9. VarZ = 2K

b.    HU = 7. Varl' = 30: E7. = -4. VarZ - 25.

7.    F(2)= 1/3. F(3)= 1/2. EX = -3. VarX = 5

8    *0.2? ^ l/V2 * 0.71. *₀₃ = I. x₀.₇, = 2 - yfl/2 * 1.29

^g    *oJ5 = — In2 * -0.69, x₀_₅ = 0. x_07ł = ln2*0.69

5. NIEKTÓRE SKOKOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA.

W tym i następnym paragrafie omówimy niektóre. najczęściej występujące rozkłady pr-stwa ZL. Rozpoczynamy od ZLS.

Zmienna o rozkładzie jednopunktowym.

Mówimy, że ZLS X ma rozkład jednopunktowy. jeżeli ma ona tylko jeden punkt skokowy x,. Zatem jej funkcja pr-stwa p( ) i dystrybuanta F są postaci:

*1 1	*1	X U (-®.X,>	(x,.oo)
Pt*.) 1	1	F(x) 1 0	l

Wartość oczekiwana i wariancja lej zmieńmy losowej wyrażają w< wzorami (por własności E1 ; Vlj:

EX=X„ VarX=0.