Matematyka 2 83

382 V. Elefmut) rachunku pra\wlopwtohten.\twu

00

(7.10) f_x(x)= Jf(x,y)dy,

-T

T

fy(y)= Jf(x,y)dx

30

Powszechnie przyjęła się następująca terminologia.

1)    Funkcje pr-stwa p,=P(X = x,) dla ZL X i p =p(Y = y_|)

dla ZL Y nazywa się brzegowymi funkcjami pr-stwa WLS (X.Y), (por. tabela (7.5)),

2) GP f_x i f_v nazywa się brzegowymi GP WI.C (X,Y).

3)    Dysrrybuanty F_y i F_v odpowiednio ZL X i ZL Y nazywa się brzegowymi dystrybuantami WL (X.Y).

4)    Rozkłady pr-stwa ZL X i ZL Y wyznaczane przez brzegowe funkcje pr-stwa, brzegowe GP lub brzegowe dystrybuanty nazywa się brzegowymi rozkładami pr-stwa WL (X.Y).

PRZYKŁAD 7.3. Brzegowe funkcje pr-stwa WLS (X.Y) / przykładu 7.1 zawiera pierwszy i ostatni wiersz dla ZL X oraz pierwsza i ostatnia kolumna dla ZL Y zamieszczonej tam tabeli określającej funkcję pr-stwa WLS (X,Y):

xt	0	1	y>	0	1
p.	I 0.4	0.6	pi	0.4	0,6

ZL X i Y mają więc rozkłady zero-jedynkowe z parametrem p = 0,6.

PRZYKŁAD 7.4. Rozważamy WLC (X,Y) o GP f z przykładu 7.2. Wyznaczymy brzegowe GP f_x i f_v. Korzystamy z (7.10). Dla

y<0 v y>>/2 f_v(y) = 0. Dla 0<y<V2

■J2

y

y(2-y²).

oc    y    %.

f_v(y)= jf(x.y)dx = Jodx + J2xydx+ jodx = yx^:

-ot»    -x    y

Zatem

My)

y(2-y^:) dla 0<y<v^/2 0    dla y<0 v y>V2.

dla 0<x<V2 dla x < 0 v x>>f2.

Analogicznie znajdujemy: f_x (x ) =

ROZKŁADY WARUNKOWE Rozważmy WL (X.Y). Interesuje nas wpływ informacji o jednej z łych ZL na pr-stwa związane z drugą ZL Niech BcR oraz P(Y eB)>0 Wówczas dla zbiorów AcR, zgodnie 7 (2.1), określamy pr-stwo warunkowe

(7.11)    P(XeA|Y₆B)=^l^y^^B>.

Wzór ten określa pewien rozkład pr-stwa na prostej generowany rozkładem P wektora losowego (X.Y). Nazywamy go warunkowym rozkładem pr-stwa ZI X przy warunku, że 7.L Y przyjęła wartość y ze zbioru B.

W szczególności, gdy (X.Y) jest WLS o punktach skokowych i skokach p₁₍. A= |x,|. B= {y_tf. to otrzymujemy:

(7 12)

P(X=x,.Y = y.) p..

V\zór ten określa warunkową funkcję pr-stwa P(X = x_i|Y ^y ) 7.ŁS X przy warunku, że ZLS Y przyjęła wartość y, Analogicznie określa się warunkową funkcję pr-stwa P(Y = y_||X = x_i) 71. V przy warunku, że ZŁ X przyjęła wartość x,.

Niech teraz (X.Y) będzie VVLC o GP f. Interesuje nas pr-stwo (7.11), gdy A =(-»,x) i B={y|. czyli P(X<x|Y = y). Jednak P(Y=y) = 0, gdyż V jest 7.LC. Definicja (7.11) jest więc w tym przypadku nieprzydutna Przyjmujem> (jeśli rozważana granica istnieje):

Jcf

(7.13) P(X<x|Y = y) - limP(X<x|y<Y<y + h) =

h-.n.

= i P(X<x.y< Y<y+h)

“iwo. P(y£Y<y+h)

prz\ założeniach, źe P(y< Y <y+h)>0 oraz y€{y. f_Y(y)>0} Pr-stwo P(X<xlY = y). określone równością (7.13) nazywa się dystrybuuntą warunkową 7.L X przy warunku Y = y i oznacza F_x(.yy) lub bardziej poprawnie F_x(|y). CiP odpowiadającą dystrybuancie ł*_x( ly) nazywa się wurunkotvq GP 7L X przy warunku Y*y i oznacza F_x(*|y).