Matematyka 2 85

3X4 V. Elementy rachunku prawJopod(ihień\inu

TWIERDZENIE 7.3. Jeżeli (X.Y) jcsl WLC o GP f. ciągłej względem każdego z argumentów x, y oraz ye{y: f_Y(y)>0}, xe{x: f_x(x)>OJ. to warunkowe GP f_x(-|y) i f_Y(-jx) są postaci:

(7.14) f_x(x|y) = f(x.y)/f_Y(y). f_Y(y|x)= f(x,y)/f_x(x).

PRZYKŁAD 7.5. Dla WLS (X.Y) z przykładu 7.1 istnieją dwie warunkowe funkcje pr-stwa dla ZL X: P(X = x,|Y = 0), P(X = x,|Y = I) i dwie dla ZL Y: P(Y = y_j|X = 0). P(Y=y_J|X«l). Np. dla

ZL Y otrzymujemy:

P( Y = 0|X = l) = P(Y = 1|X = 1)=-

P(X = l.Y = 0) p₂i 0.2    1

p(x= i)    _P,    o.6 r

P( X = l.Y = 1) _ P22    0.4    2

P(X = 1)    p₂    0,6 3 '

y>	0	1
P(Y = yj|X = l) 1	1/3	2/3

Jest to rozkład zero-jedynkowy z parametrem p = 2/3. Informacja o tym, ż,c ZL X przyjęła wartość I zmieniła parametr rozkładu ZL Y z p = 3/5

na p = 2/3.

Analogicznie wyznacza się pozostałe warunkowe funkcje pr-stwa:

	0	1 *.	U	1
P(X = x(|Y = 0)	1/2	7j * u _x < II	■/3	2/3

yj	0	1
P(Y»y,|X«0) 1	1/2	1/2

PRZYKŁAD 7.6. Dla WLC (X.Y) z przykładu 7.4 wyznaczymy warunkowe GP fy(jy) i f_v('|x).

Warunkowa GP ZL X f_x(jy) istnieje dla tych y, dla których

brzegowa GP fy(y)>0. tj dla y€(0,V2). Niech zatem y€(0.V2). Wówczas:

W* v<x<V2 f_xuiy)=-^=-^_T-=-^_T.

MW y(2—y ) 2-y

Zatem warunkowa GP f_x(*|y) istnieje dla y€(0,V2) i wyraża się wzorami:

-*-r- dla v<x<>/2

r\(x|y) = *i2-y*    _

0 dla x<y v x£^2.

Analogicznie: warunkowa GP f_v(*|x) istnieje dla X€(U,V2) wyraża się wzorami:

f_Y(yix>=

dla

dla

0< y < x y<0 v y>x.

LINIE REGRESJI PIERWSZEGO RODZAJU Rozkładom warunkowym można przyporządkować warunkowe wartości oczekiwane E( Y|x,) I E(X|y,) w przypadku dyskretnym oraz t(Y|x) i E(X|y) w

przypadku ciągłym, określone równościami:

acf    <kt

(7.15)    r.(Y|x_t)^y_JP(Y=y_J|X=x_l). E(X|_yj)= £x,P(X= x,|Y=_yj).

y,    *.

def *.    der "

(7.16)    E(Y|x) = jyf_v(y!x)dy, E(X|y)= Jxł_x(x|y)dx

-OC    —X>

PRZYKŁAD 7.7. a) Dla WLS (X.Y) z przykładu 7 5

mamy:

E(Y|0)=0 j+l ±=l E(Y|l)=0±-n|=|.    E(X|0)=i E(X|I)=|

b) Dla WLC (X,Y) z przykładu 7.6 mamy: l

ECVlx)=Jyffdy=f^

o *    o

= ~X dla xe(0.V2),