Matematyka 2 33

332 V Elementy rachunku />ra\uiopoJohun\iwg

Dowodzi się, że zbiór W punktów skokowych x, może być sk czony albo przeliczalny. Zatem zbiór W punktów skokowych jest post' W = {x,,x₂.....x_n| lub W = |x_lix₂,—,x_nP...}.

Mówimy, że X jest zmienną losową skokową (ZLS) j I) zbiór W jej punktów skokowych x, jest skończony albo przelicza oraz 2) suma wszystkich jej skoków p, spełnia warunek unormowania.

(3-2)

£p, =¹ •

»i«W

Jeśli punkty skokowe x, ZLS X dają się ustawić w ciąg ścit monotoniczny, to między każdymi dwoma kolejnymi punktami skokowy istnieje cały przedział bez punktów skokowych. Jest zrozumiałe, że ZLS poza punktami skokowymi może przyjmować inne wartości x ale z pr-stwem zero: P(X = x) = 0.

Jeśli X jest ZLS. to funkcję p( ) określoną na zbiorze W jej punktów skokowych x, równością

(3-3)

lub tabelą

der

p(x₍) = P(X = x_i) = p,

*	X,	^X2	....	^Xn	....
Pi	P«	?2	....	Pn	....

(3.3*)

nazywa się funkcją pr-stwa ZLS X.

Funkcję pr-stwu ZLS X można intcrpretimuć w fizyce, juko rozmies/c/cnie* (ru/kłud.) masy jednostkowej w pojedynczych, izolowanych punkUich x, osi 0*. przy czym masa m, =p(x,)- p, zostaje skoncenirowana w punkcie o odciętej x,.

Wykresem funkcji pr-stwa ZLS X jest zbiór punktów (x,.p,). gdzie x, €\V Jeśli punkty te połączyć odcinkami z ich rzutami na oś 0x, to otrzymuje się figurę nazywaną niekiedy histogramem funkcji pr-stwa.

Gdy Ae R. to na mocy definicji przyjmujemy:

(3.4)

•*^r ~

P(X eA) = Yp,

«,cA

(pr-$two przyjęcia przez ZLS X wartości ze zbioru A jest równe sumie skoków p,. odpowiadających punktom skokowym x_t, które "trafiły" do zbioru A). Widać stąd, ze funkcja pr-stwa ZLS X za pomocą wzoru (3.4) tv pełni wyznacza rozkład pr-stwa tej ZŁ.

PRZYKŁAD 3.3. ZL X z przykładu 3.1 jest ZLS a jej funkcja pr-stwa jest postaci:

^X!	^0	1	2	3
P,	1/8	3/8	3/8	1/8

Pr-stwo P(X£2) wyraża się równością postaci (3.4):

P(X£2) = 2>=i₊f₊f4

Wykres i histogram funkcji pr-stwa znajdują się na rysunku 3.1.

i,<2

	pW				Plx>)
li	•	•		i
			•	1 9			_L_
	i	2	3 \			2 3 X

Rys 3. i.

ZMIENNF. LOSOWE TYPU CIĄGŁEGO Mówimy, że X jest zmienną losową typu ciągłego albo krócej zmienną losową ciągłą (ZLC), jeśli istnieje nieujemna i całkowalna na całej osi funkcja f taka, że dla każdego przedziału < x, ,x₂ >

(3.5)    P(x,<X<x₂)= Jr(x)dx:

*1

przy tym funkcję f nazywa się gęstością prawdopodobieństwa (GP) ZL X, a jej wykres - krzywą gęstości ZL X.

Z (3.5), gdy uwzględnić interpretację geometryczną całki oznaczonej wynika, że pr-stwo przyjęcia przez ZLC wartości z pewnego przedziału utożsamiamy iliczbowo) z polem pod krzywą gęstości nad tym przedziałem (por. rys 32).