1105140245

1 Rachunek Zdań

Reductio ad absurdum, which Euclid loved so much, is one of a mathematician’s finest weapons. It is a far finer gambit than any chess gambit: a chess player may offer the sacrifice of a pawn or even a piece, but a mathematician offers the gamę.

G. H. Hardy

Rachunek Zdań jest działem logiki matematycznej badającym związki pomiędzy zdaniami utworzonymi ze zmiennych zdaniowych za pomocą spójników logicznych. W klasycznym rachunku zdań - a takim właśnie rachunkiem zdań zajmować się będziemy podczas tego wykładu - przyjmuje się, że każdemu zdaniu można przypisać jedną z dwóch wartości logicznych - prawdę lub fałsz. W rozważaniach naszych treść zdań nie będzie miała żadnego znaczenia. Ważna będzie tylko ich wartość logiczna.

1.1 Zdania i Waluacje

Symbole Po,Pi,P2, ■ • ■ nazywać będziemy zmiennymi zdaniowymi. Symbole T i J_ są stałymi; symbol T nazywamy zdaniem zawsze prawdziwe zaś _L nazywamy zdaniem zawsze fałszywym. Oprócz zmiennych zdaniowych rozważać będziemy spójniki logiczne: A, V,    —>, oraz f-k Spójnik A nazywamy koniunkcją, V nazywamy

alternatywą, -> nazywamy negacją bądź zaprzeczeniem. Kolejne dwa spójniki logiczne nazywamy implikacją i równoważnością. Do konstrukcji języka Rachunku Zdań potrzebujemy jeszcze dwóch symboli. Są nimi nawiasy. Pierwszy z nich, „(”, nazywamy nawiasem otwierającym zaś drugi, „)”, nawiasem zamykającym.

Określimy teraz pojęcie zdania Rachunku Zdań. Posłużymy się w tym celu tak zwaną techniką rekurencyjną.

Definicja 1.1 (Zdania)

1.    Zmienne zdaniowe oraz stale T i L są zdaniami.

2.    Jeśli wyrażenia <p i ip są zdaniami, to również zdaniami są następujące wyrażenia: (<p A ip), (<p V1p), (ip if>), {ip ** ip) i -iip.

3.    Dowolne wyrażenie jest zdaniem, jeśli może zostać zbudowane ze zmiennych zdaniowych w wyniku zastosowania pewnej skończonej liczby reguł z punktu (2).

1