1673068243

ZBIGNIEW BLOCKI

(ozn. u_x = du/dx, u_y = du/dy). Zauważmy, że każda funkcja C-różniczkowalna jest M-różniczkowalna, przy czym

a_( Re /'(zo) -Im f'(z₀) A \Jm/'(z₀) Ref(zo) ) '

Przykład. Funkcja f(z) — z, z € C, jest M-różniczkowalna w każdym punkcie (jest nawet M-liniowa), ale nigdzie nie jest C-różniczkowalna: zauważmy, że dla t € M mamy

ź-ź₀ _ ( 1,    jeżeli z — z₀+t,

z — zq    1 —1, jeżeli z — zq + it,

czyli odpowiednia granica nie istnieje.

Załóżmy, że / = u + iv jest M-różniczkowalna w zq. Oznaczając f_x = u_x+ iv_x, f_y = ^uy + iv_y mamy

/W = f(zo) + fx(zo)(z - Zo) + fy(z₀)(y - y₀) + o(\z - z₀|).

Ponieważ

z — z ^; 2 i ’

(2.3)

otrzymamy

UM ~ ify(zo) .

Zr (Zj) j + ify(Zp) _f

f(z) = f(zo) +    —₂ " ~ (z - zo) + —-⁸-ⁱ(^Z - ^Zo) + o(\z - Zol).

Dla funkcji M-różniczkowalnej definiujemy pochodne formalne

df, _n =±(df__idf\

(2.4)

dz^{K Iz>}' 2\dx dyj’

df, _ ¹ (df , .df di'    2\dx⁺ dy

Wykład 2, 5.03.2007

Pochodne cząstkowe djdz i djdz prowadzić możemy również przy pomocy formy df: mamy

f_xdx + fydy = df = f_zdz + f_zdz = f_z{dx + idy) + f_z{dx — idy),

a stąd (2.5)

r /* = /* + h,

skąd łatwo dostaniemy (2.4).