1862543787

Cele przedmiotu: Celem przedmiotu jest zapoznanie studenta z podstawowymi i zaawansowanymi metodami numerycznymi rozwiązywania problemów różniczkowych dla równań zwyczajnych. Na wykładzie prezentowane są sposoby konstrukcji schematów różnicowych oraz ich własności (klasyfikacja, zbieżność, stabilność) oraz zastosowanie do różnych zagadnień różniczkowych. Na ćwiczeniach poznane schematy różnicowe wykorzystuje się do rozwiązywania konkretnych przykładów z dziedziny równań różniczkowych, ćwiczenia są także tym rodzajem zajęć, gdzie można uzupełnić i bardziej wnikliwie przedyskutować elementy przedstawione na wykładzie. Zawartość programowa:

1.    Schematy jednokrokowe dla problemów początkowych (8 godzin). Schematy jawne i niejawne, metody Eulera, Rungego-Kutty, zbieżność i stabilność metod jednokrokowych.

2.    Schematy wielokrokowe (10 godzin). Schematy Adamsa, zbieżność i stabilność schematów wielokrokowych, obszary stabilności.

3.    Metody numeryczne dla zagadnień brzegowych (8 godzin). Metoda strzałów, metoda ilorazów różnicowych oraz metody wariacyjne.

4.    Przykłady problemów różniczkowych w naukach inżynierskich i ich numeryczna realizacja (4 godziny). Literatura:

1.    A. Palczewski, Równania różniczkowe zwyczajne, WNT 1999.

2.    J.C. Butcher, Numerical methods for ordinary differential eąuations, Wiley 2003.

3.    C.H. Edwards, D.E. Penney, Differential eąuations and linear algebra, Prentice Hall 2001.

4.    D. Dubin, Numerical and analytical methods for scientists and engineers using Mathematica, Wiley 2003.

5.    E. Hairer, S. Norsett, G. Wanner, Soluing ordinary differential eąuations I, Springer, 2000.

Liczba godzin: 30 godzin wykładu + 30 godzin ćwiczeń.

Forma zaliczenia: forma zaliczenia ćwiczeń: systematyczna ocena postępów oraz kolokwium zaliczeniowe, forma zaliczenia wykładu: egzamin dwuczęściowy pisemny i ustny.

| OTIVs8-MNRC | METODY NUMERYCZNE RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH CZĄSTKOWYCH^-]

Cele przedmiotu: Przedstawienie podstawowych metod numerycznych (metoda różnicowa, metoda prostych) dla liniowych i nieliniowych równań różniczkowo-funkcyjnych cząstkowych, głównie drugiego rzędu typu parabolicznego i eliptycznego. Zaprezentowanie wraz z dowodami twierdzeń o zgodności, zbieżności i stabilności tychże metod. Wymaga to poszerzenia wiadomości z teorii: macierzy, nierówności różnicowych i różniczkowych, aproksymacji, operatorów, równań różniczkowo-funkcyjnych i analizy funkcjonalnej. Wykład łączy teorię z elementami praktycznej realizacji, chodzi o umiejętność pisania algorytmów i programów dla konkretnego równania i metody numerycznej.

Zawartość programowa:

1.    Pojęcia i twierdzenia pomocnicze (6 godzin). Macierz dodatnio określona, macierz z dominującą diagona-lią. Macierz dodatnia, macierz dodatniego typu. Macierz monotoniczna. Zasada maksimum i rozszerzona zasada maksimum dla macierzy kwadratowych. Zgodność normy wektorowej i macierzowej. Wzór Taylora z różnymi postaciami reszty. Twierdzenie o wartości średniej w przestrzeniach Banacha.

2.    Metoda różnicowa dla równania Poissona (4 godziny). Dyskretyzacja, funkcje siatkowe, aproksymacja. Schemat różnicowy. Twierdzenia o zgodności, zbieżności i stabilności skonstruowanego schematu różnicowego. Definicja nieliniowego równania eliptycznego. Metody różnicowe dla liniowych i nieliniowych równań różniczkowo-funkcyjnych typu eliptycznego z różnymi warunkami brzegowymi - informacyjnie. Metody rozwiązywania niejawnych schematów różnicowych - informacyjnie.

3.    Metody różnicowe dla liniowych i nieliniowych równań różniczkowo-funkcyjnych typu parabolicznego z różnymi warunkami brzegowymi (14 godzin). Definicja nieliniowego równania parabolicznego i funkcjonału Volterry. Dyskretyzacja, oznaczenia węzłów, funkcje siatkowe. Definicja podstawowych ilorazów różnicowych, operatora schodkowego i wielomianowego. Schematy różnicowe jawne i niejawne. Twierdzenie o słabych nierównościach różnicowych. Twierdzenia o zgodności, zbieżności i stabilności skonstruowanych schematów różnicowych. Omówienie ograniczeń na kroki siatki. Interpretacja fizyczna nieliniowych warunków brzegowych i pochodnych mieszanych. Zastosowanie do równania przewodnictwa cieplnego. Porównanie z innymi metodami numerycznymi.

4.    Metoda prostych dla liniowych równań różniczkowych typu parabolicznego (4 godziny). Dyskretyzacja, aproksymacja. Twierdzenie o oszacowaniu rozwiązania układu równań różniczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu z warunkiem początkowym. Twierdzenia o zgodności, zbieżności i stabilności metody prostych.