1862543789

FOZIVs8-STA | STATYSTYKA MATEMATYCZNA |

| OTVs9—TS 1 TEORIA STEROWANIA |

Cele przedmiotu: Zapoznanie uczestników ze sposobami formułowania problemów sterowania w języku równań różniczkowych, teorii operatorów i analizy funkcjonalnej. Ukazanie możliwości zastosowania metod matematycznych do rozwiązywania zagadnień sterowania. Zachęcenie przyszłych matematyków stosowanych do współpracy ze środowiskiem automatyków.

Zawartość programowa:

1.    Opis dynamiki układów sterowania w formie abstrakcyjnych równań różniczkowych (4 godziny). Motywacyjne przykłady obiektów sterowania, np.: zadanie sterowania nagrzewem pręta, sterowane elektryczne linie transmisyjne, stabilizacja drgań liny trakcyjnej, wymiennik ciepła jako obiekt sterowania, sterowanie dźwigiem suwnicowym, stabilizacja temperatury rdzenia reaktora jądrowego. Formułowanie opisu dynamiki w postaci równań systemowych na bazie praw nauk przyrodniczych. Sposoby przekształcania równań dynamiki do abstrakcyjnej postaci standardowej, tzw. modelu sfaktoryzowanego.

2.    Przestrzeń stanu i operatory składowe modelu sfaktoryzowanego: operator stanu, operator sterowania i operator wyjścia (2 godziny). Relacja między ograniczonością operatora stanu, a rodzajem parametrów -skupione/rozłożone. Wpływ wyboru przestrzeni stanu i geometrycznej konfiguracji obserwacji i sterowań na ograniczoność operatorów sterowania i obserwacji.

3.    Podstawowe operatory teorii sterowania (2 godziny). Przykład motywacyjny - sterowanie prostym układem mechanicznym. Wyjaśnienie znaczenia operatora stanu początkowego w stan bieżący i operator osiągalno-ści (sterowalności) dla wyznaczenia sterowania metodą gramianu sterowalności. Operator obserwacji i operator wejście-wyjście. Przykład zastosowania gramianu obserwowalności.

4.    Operator stanu początkowego w stan bieżący i teoria półgrup silnie ciągłych na przestrzeni stanu (8 godzin). Definicja pólgrupy silnie ciągłej i jej generatora infinitezymalnego. Lemat o wykładniczym wzroście pól-grupy. Twierdzenie Phillipsa. i formuła wariacji stałych dla rozwiązań klasycznych. Twierdzenie Hille-Phillipsa-Yosidy i problem weryfikacji jego założeń. Operatory maksymalnie dysypatywne. Pólgrupa sprzężona. Operatory sektorialne i pólgrupy analityczne-twierdzenie Hille’a. Trzy rodzaje stabilności półgrup: słaba, mocna i wykładnicza. Twierdzenie Datki. Pólgrupy translacji na przestrzeniach L²(0, oo) i L²(0,1). Dyskretne operatory spektralne jako generatory półgrup (operatory o zwartej rezolwencie mające system wektorów własnych tworzących bazę Riesza przestrzeni stanu).

5.    Operator obserwowalności (6 godzin). Nieograniczone, ale dopuszczalne operatory obserwacji. Charakteryzacja dopuszczalności w terminach operatorowego równania Lapunowa. Spektralne kryterium dopuszczalności. Dopuszczalność operatorów obserwacji występujących we wcześniejszych przykładach.

6.    Operator wejście-wyjście (2 godziny). Osłabione twierdzenie Phillipsa. Rozwiązania słabe w sensie Balia. Konstrukcja operatora wejście-wyjście. Transmitancja. Przypadek transmitancji w klasie H°°(C⁺).

7.    Operator osiągalności (sterowalności) (2 godziny). Dopuszczalność czynnikowego wektora sterującego. Konstrukcja operatora osiągalności. Dualność pomiędzy układami obserwowanymi a sterowanymi. Przykłady ilustrujące: elektryczna Unia transmisyjna i średnio-kwadratowa identyfikacja parametrów w zadaniu nagrzewu pręta.

8.    Zastosowanie poznanej teorii do wybrany problemu sterowania (4 godziny). Szczegółowe omówienie jednego z następujących problemów sterowania: optymalizacja parametryczna z dyskretnym spektralnym operatorem stanu, optymalizacja parametryczna układów z opóźnieniem, problem planowania ruchu dla dźwigu suwnicowego, stabilizacja drgań Uny trakcyjnej z wykorzystaniem kolokacyjnego sprzężenia zwrotnego, stabilizacja położenia dźwigu suwnicowego z wykorzystaniem kolokacyjnego sprzężenia zwrotnego, problem LQ w przypadku ograniczonych operatorów sterowań i obserwacji wraz z przykładami zastosowań, problem LQ w przypadku nieograniczonych operatorów obserwacji wraz z przykładem, kryterium koła dla układu z ograniczonym operatorem sterowania i nieograniczonym funkcjonałem obserwacji wraz z ilustracja zastosowania do stabilizacji temperatury na wyjściu wymiennika ciepła.

Literatura:

P. Grabowski, An Introduction to Control of Distributed Parameter Systems oraz literatura tam podana, www.ia.agh.edu.pl/~pgrab/main.xml Liczba godzin: 30 godzin konwersatorium.