1862543795

ST-TOP I TOPOLOGIA

Cele przedmiotu: Poznanie podstawowych metod i pojęć topologii. Nabycie umiejętności rozpoznawania struktur topologicznych i ich własności w obiektach matematycznych, w analizie matematycznej, geometrii różniczkowej, i innych dziedzinach matematyki, w szczególności w rozmaitościach gładkich i przestrzeniach odwzorowań. Wyrobienie u studentów zdolności dostrzegania schematów, niezbędnych przy korzystaniu z literatury specjalistycznej z wielu działów matematyki i matematyki stosowanej.

Zawartość programowa:

1.    Przestrzenie metryczne (5 godzin). Podstawowe pojęcia metryczne. Rozmaite sposoby wprowadzania topologii. Podstawowe pojęcia topologiczne (np. baza, aksjomaty przeliczalności, zbiory gęste i brzegowe, itd.). Aksjomaty oddzielania.

2.    Topologia indukowana na podprzestrzeń (6 godzin). Operacje na przestrzeniach topologicznych. Topologia początkowa i końcowa.

3.    Odwzorowania ciągłe (4 godziny). Definicje równoważne. Homeomorfizm. Topologia jako nauka o niezmiennikach homeomorfizmów, przykłady. Przedłużanie i sklejanie odwzorowań ciągłych, w tym twierdzenie Tietzego.

4.    Zwartość i spójność przestrzeni topologicznej (6 godzin). Niezmienniczość tych własności przy ciągłych suriekcjach. Własność Darboux. Twierdzenie Bolzano - Weierstrassa. Informacja o przestrzeniach parazwartych. Ciągowa zwartość i ośrodkowość przestrzeni metrycznych. Twierdzenie Tichonowa, wraz ze szkicem dowodu.

5.    Przestrzenie metryczne zupełne (3 godziny). Zwartość a zupełność. Lemat Cantora i twierdzenie Baire’a. Twierdzenie Banacha o punkcie stałym. Zastosowanie do równań różniczkowych zwyczajnych.

6.    Topologie w przestrzeni odwzorowań (3 godziny). Własności topologii zwarto - otwartej. Twierdzenie Ascoliego - Arzeli.

7.    Homotopia odwzorowań, równoważność homotopijna (3 godziny). Grupa podstawowa przestrzeni topologicznej. Pojęcie jednospójności. Grafy. Twierdzenie Kuratowskiego o grafach.

8.    Sympleksy w przestrzeni Euklidesowej (4 godziny). Twierdzenie Brouwera o punkcie stałym wraz ze szkicem dowodu. Rozmaitość różniczkowalna jako podzbiór przestrzeni Euklidesowej. Informacja o klasyfikacji rozmaitości różniczkowalnych wymiaru 1 i 2.

Literatura:

1.    R. Engelking, Topologia Ogólna, Biblioteka Matematyczna, PWN 1975.

2.    K. Kuratowski, Wstęp do Teorii Mnogości i Topologii, Biblioteka Matematyczna, PWN 1972.

3.    M.J. Greenberg, Wykłady z Topologii Algebraicznej, PWN 1980.

4.    A.H. Wallace, Differential Topology. First Steps., New York 1968 (istnieje przekład polski).

Liczba godzin: 30 godzin wykładu dla wszystkich specjalnościach + 15 godzin ćwiczeń na MliZ.

Forma zaliczenia: Egzamin pisemny na specjalnościach MOiK, MTiP i MFiU, zaliczenie na MliZ.

4