1862543792

1 Przedmioty obowiązkowe | ST-AM | ANALIZA MATEMATYCZNA^-]

Cele przedmiotu: Pogłębienie podstawowych wiadomości z analizy mateinatyczej w celu stworzenia podstaw do studiowania takich działów jak: teoria dystrybucji, analiza funkcjonalna, układy dynamiczne, procesy stochastyczne, równania różniczkowe cząstkowe, równania stochastyczne, rachunek wariacyjny.

Zawartość programowa:

1.    Funkcje ciągłe w przestrzeniach metrycznych (4 godziny). Aproksymacja funkcji ciągłych. Twierdzenie Stone’a-Weierstrassa.

2.    Miara (6 godzin). Miara zewnętrzna. Konstrukcja miary za pomocą miary zewnętrznej. Miara Lebesgue’a, podstawowe własności miary Lebesgue’a. Miary zupełne. Miary regularne.

3.    Definicja całki typu Lebesgue’a (6 godzin). Podstawowe własności. Całka Riemanna a całka Lebesgue’a. Przejście do granicy pod znakiem całki.

3.    Produkty miar (4 godziny). Twierdzenie Fubiniego. Zmiana zmiennych całkowania.

4.    Miary znakozmienne (6 godzin). Zbiory dodatnie i ujemne. Miary singularne i absolutnie ciągłe. Twierdzenie Radona-Nikodyma. Przykłady zastosowań twierdzenia Radona-Nikodyma.

5.    Funkcje o wahaniu ograniczonym (4 godziny). Funkcje absolutnie ciągłe. Różniczkowalność całki. Funkcje wypukłe.

6*. Elementy rachunku wariacyjnego* (6 godzin). Przykładowe zagadnienia, funkcjonały, wariacja funkcjonału, warunek konieczny istnienia ekstremum funkcjonału, równanie Eulera-Lagrange’a, zagadnienie ze swobodnymi końcami, zagadnienie z nieruchomymi końcami, przypadki funkcjonałów szczególnej postaci, funkcjonały zależne od pochodnych wyższych rzędów, funkcjonały zależne od więcej niż jednej funkcji, minimum funkcjonału kwadratowego.

7*. Całka Riemanna-Stieltjesa* (3 godziny). Definicja całki Riemanna-Stiełtjesa. Podstawowe własności. Przykłady problemów prowadzących do całki Riemanna-Stieltjesa.

Literatura:

1.    J. Myjak, Funkcje rzeczywiste, miara, całka Lebesgue’a, Uczelniane Wydawnictwa Naukowo-Dydaktyczne, AGH, Kraków, 2006.

2.    G.A. Edgar, Measure, Topology and Practal Geometry, Springer-Verlag, New York, 1990.

3.    L.C. Evans, R.F. Gariepy, Measure Theory and Finite Properties of Functions, Studies in Advanced Mathe-matics, 1992.

Liczba godzin: 30 godzin wykładu + 15 godzin cwiczeń.

Forma zaliczenia:forma zaliczenia ćwiczeń: dwa kolokwia, forma zaliczenia wykładu: egzamin ustny.

Uwaga: Punkty 6 i 7 mogą być zrealizowane tylko w przypadku jeśli część programu zostanie przerobiona wcześniej.

ST-AF I ANALIZA FUNKCJONALNA

Cele przedmiotu: Poznanie podstawowych metod analizy w nieskończenie wymiarowych przestrzeniach funkcyjnych. Wyrobienie u studentów zdolności dostrzegania ogólnych schematów przy badaniu konkretnych zastosowań, niezbędnej przy korzystaniu ze współczesnej literatury fachowej z (wielu działów) matematyki i jej zastosowań.

Zawartość programowa:

1.    Przestrzenie Banacha - wstęp (4 godziny). Twierdzenie Banacha o odwzorowaniu zwężającym, przykłady zastosowań. Elementarne kryteria ciągłości operatorów liniowych i funkcjonałów na przestrzeni unormowanej. Szeregi wektorowe, ich związek z zupełnością przestrzeni unormowanej. Zupełność przestrzeni operatorów liniowych ograniczonych. Zastosowanie do rozwinięcia rezolwenty w szereg potęgowy. Zwartość widma.

2.    Przegląd klasycznych przestrzeni Banacha (6 godzin). Podstawowe przestrzenie ciągowe i funkcyjne. Kryteria zbieżności, zwartości i opis postaci funkcjonałów liniowych ciągłych, przykłady baz Schaudera.

3.    Geometria przestrzeni Hilberta (4 godziny). Elementarne własności metryczne. Rzut ortogonalny jako

2