2192973024

W naturalny sposób każdej liczbie zespolonej jest więc przypisany punkt na płaszczyźnie, oraz odwrotnie, każdemu punktowi płaszczyzny jest przypisana pewna liczba zespolona.

Liczbie zespolonej 2 równej parze (a, 6) odpowiada na płaszczyźnie punkt o współrzędnych (a, b).

Twierdzenie 1 Zbiór C wraz z działaniami określonymi powyżej spełnia następujące warunki:

Przemienność Łączność działań

Rozdzielność mnożenia względem dodawania.

Para (0,0) jest, jak łatwo zauważyć, elementem zerowym, natomiast para (1,0) jest jedynką w zbiorze C.

Elementem przeciwnym do pary (a, 6) jest para (—a, —b), gdyż

(—a, —b) + (a, b) = (—a + a, — b + b) = (0,0).

Jeśli para (a, b) jest różna od zera, czyli różna od pary (0,0), to a ^ 0 lub b ^ 0, więc a² + b² > 0.

Z równości

(

a

—b    —b , a

r+ b--irT

^b ' a² + 6² ’ ° ' a² + 6^{2 +} b ' a² + b²

a —b

wynika, że para

a² + b² ’ a² + b²

jest elementem odwrotnym do pary

Warunki powyższe pozwalają stwierdzić, że (C, +, •) tworzy ciało.

3