2212790351

dla i dostatecznie bliskich io-

Załóżmy, że posiadamy portfel obligacji zerokuponowych. Niech Cj - wypłata w chwili tj dla którejś z tych obligacji (np. wypłata wartości nominalnej w terminie wykupu), 5 - chwilowa stopa procentowa (stała dla całego portfela). Wtedy Cje~^Stj jest wartością obecną obligacji, co utożsamiamy z jej ceną. Wartość całego portfela obligacji w chwili To wynosi

• (³³)

j=i

Załóżmy, że przy pewnej stopie Jo zachodzi 4>(r₀(Jo) = D. Szukamy takiego zestawu parametrów (obligacji) Cj, aby dla dowolnego J zachodziło

$t₀(S)>D.    (34)

Jeśli taki zestaw znajdziemy, to powiemy, że portfel jest uodporniony na natychmiastową zmianę stopy J.

Twierdzenie 8. Portfel obligacji opisanych przez parametry Cj o wartości D w chwili To przy stopie Jo jest uodporniony na natychmiastową zmianę stopy procentowej wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są następujące warunki:

1.    4>t₀(Jo) = D

2.    czas trwania portfela wynosi Tq:

Y._]=itjCje ^Sołl

£j=l cje-Mt

= To .

(35)

Kontrakty forward. Niech T - czas wygaśnięcia kontraktu forward (w j. ang. maturity of contract), /(0,T) - cena forward, cena, po której mamy zawrzeć transakcję w chwili T (czyli cena dostarczenia K), St - stochastyczny proces ceny instrumentu podstawowego (np. akcji, kurs waluty).

Wypłata przy długiej pozycji z kontraktu forward:

S_t-K ,    (36)

wypłata przy krótkiej pozycji:

K-S_t ■    (37)

Wycena kontraktów forward na akcje.

f(0,T) = S₀A(0,T) .    (38)

Wartość kontraktu forward na akcje.

W chwili t = 0 wartość kontraktu dla obu stron jest zerowa: V^(0) = 0 (krótka pozycja, sprzedawca), ló(0) = 0 (długa pozycja, kupujący). Z kolei w chwili rozwiązania kontraktu t = T mamy V_S(T) = /(0,T) — St i Vi{T) = St~/(0,T). Dla dowolnego 0 < t < T

V_I(t) = (/(t,T)-/(0,T))A-¹(t,T)    .    (39)

Analogicznie

V_s(t) = (f(0,T)-f(t,T))A-\t,T)    .    (40)

5