1862543800

wych poprzez maksymalizację funkcji użyteczności.

Literatura:

1.    P. Glasserman, Monte Carlo Methods in Financial Engineering, ...

2.    K. Back, A course in Demuatiue Securities; Introduction to Theory and Computation, ...

3.    D. Duffie, Dynamie Asset Pricing Theory, ...

4.    P. Bertsekas, E. Shreve, Stochastic Optimal Control: The Discrete-Time Case, ... Liczba godzin: 30 godzin wykładu + 30 godzin laboratorium komputerowego.

Forma zaliczenia: Kolokwium oraz projekt.

| FIVs8-CMRF | CIĄGŁE MODELE RYNKÓW FINANSOWYCH |

Cele przedmiotu: Udowodnienie wzoru Blacka-Scholesa poprzedzone rozwinięciem teorii analizy stochastycznej niezbędnej do budowania modeli rynków finansowych oraz udowodnieniem kluczowych twierdzeń (twierdzenia Levy’ego, Girsanowa, o reprezentacji martyngału jako całki stochastycznej, wzór Feynmana-Kaca). Zawartość programowa:

1.    Stochastyczne równania różniczkowe (6 godzin). Twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności. Równanie liniowe, wzór na rozwiązanie. Most Browna. Momenty rozwiązań. Zależność od warunków początkowych i współczynników. Układy równań. Procesy dyfuzji. Równania Kołmogorowa. Metody numeryczne rozwiązania stochastycznych równań różniczkowych.

2.    Wariacja (6 godzin). Definicja wariacji. Twierdzenie Dooba-Meyera o istnieniu kompensatora dla submar-tyngałów. Twierdzenie o postaci kompensatora. Wariacja kwadratowa procesu Wienera, całki stochastycznej.

3.    Całka stochastyczna względem martyngału (8 godzin). Procesy proste, aproksymacja. Całka prostego procesu i jej własności. Charakteryzacja całki przy użyciu wariacji. Lokalne martyngały, całka względem lokalnego martyngału. Semimartyngały. Wzór Ito. Nierówności dla momentów martyngałów (nierówność Burkholder-Davis-Gundy).

4.    Twierdzenie Girsanowa (4 godziny). Twierdzenie Levy’ego. Uogólniona reguła Bayesa. Twierdzenie Girsanowa i wniosek: zmiana dryfu w stochastycznym równaniu różniczkowym.

5.    Model Blacka-Scholesa (10 godzin). Założenia modelu. Istnienie miary martyngałowej (neutralnej względem ryzyka). Strategie samofinansujące się, WKW. Rola równań cząstkowych; wzór Feynmana-Kaca, równanie cząstkowe Blacka-Scholesa i jego rozwiązanie. Dowód wzoru Blacka-Scholesa. Analiza oryginalnych dowodów wzoru Blacka-Scholesa. Model wielowymiarowy. Uogólniena wzoru Blacka-Scholesa (współczynniki zależne od czasu) oraz warianty (opcje na futures, akcje płacące dywidendę). Zmiana numeratora dla walut. Paradoks Siegla. Wzór Garmana-Kohlagena.

6.    Twierdzenia o reprezentacji (4 godziny). Martyngał jako całka stochastyczna. Rola reprezentacji w budowie strategii replikującej. Reprezentacja przez zmianę zegara. Podstawowe twierdzenia wyceny aktywów (istnienie i jednoznaczność miary martyngałowej).

7.    Opcje zależne od trajektorii (6 godzin). Wyznaczenie rozkładu maksimum procesu Wienera z dryfem. Opcje amerykańskie. Perpetualna opcja sprzedaży, wyznaczenie jej ceny. Wybrane opcje egzotyczne (opcje azjatyckie, barierowe, lookback), ich wycena przez rozwiązanie skojarzonego równania cząstkowego.

8.    Modele stochastycznych stóp procentowych w czasie ciągłym (12 godzin). Różne opisy dynamiki stóp procentowych: równania na stopy forward, ceny obligacji, stopy zwrotu do wykupu. Podstawowe modele stóp natychmiastowych: Vasicek, Cox-Ingersol-Ross, wzory na ceny, modele uogólnione. Modele afiniczne. Model HJM (Heath-Jarrow-Morton), warunek braku arbitrażu. Twierdzenie o niezależności miary martyngałowej od momentu zapadalności. Zmiana numeratora: miary forward. Model rynkowy. Wyprowadzenie równania na stopy LIBOR. Wzór Blacka.

9.    Modele nieciągłe (4 godziny). Złożony proces Poissona. Całka stochastyczna względem procesu Poissona. Dyfuzje ze skokami. Wzór Ito. Skojarzone równania cząstkowe różniczkowo-różnicowe. Wycena instrumentów pochodnych dla walorów bazowych opisanych przez procesy ze skokami.

Literatura:

1.    S. Shreve, Stochastic Calculus for Finance II, Continuous-Time Models, Springer 2004.

2.    B. Oksendal, Stochastic Differential Eąuations, Springer 2003.

3.    T. Bjork, Arbitrage theory in continuous time, Oxford 2004.

4.    I. Karatzas, S.E. Shreve, Brownian Motion and Stochastic Calculus, Springer 1991.

9