2659242006

rowanej strukturze drzewiastej, a precyzyjniej na jej uproszczonej wersji tzn. strukturze linearnej i cechach długo- i ultradługoterminowych.

Drugi sposób różnicowania, uwzględniany w modelach, to różnicowanie strukturalne lub morfologiczne, na przykład wzrost aksonu (por. [9]) lub migracja komórek (procesy trwające rzędu tygodni). Nie musi ono się wiązać ze zmianą ekspresji genów.

2 Dotychczasowy stan wiedzy

W tym rozdziale omówimy dwa podstawowe podejścia do modelowania procesów różnicowania się komórek na poziomie populacji. Chodzi o modele dyskretne i modele ciągłe. Stanowią one punkt wyjścia niniejszej rozprawy.

2.1    Modele dyskretne

Model dyskretny zakłada, że przestrzeń stanów składa się ze skończonej liczby punktów xq < x\ < • ■ ■ < xn CE (stany dyskretne). Różnicowanie polega na przechodzeniu komórki podczas podziału albo innego procesu do kolejnego stanu. Punkty Xi mogą również opisywać wydzielone grupy stanów. Model ten, zwany również multikompartmentalnym, ma następującą postać (patrz np. [11]):

^Ui(t) = Pi{t)ui{t) + gi-i{t)ui-i{t) - gi{t)ui(t) i = 1,...,N,

gdzie Ui oznacza ilość komórek w kompartmencie odpowiadającym stanowi Xi, pi jest współczynnikiem wzrostu populacji w kompartmencie i przez podziały wewnątrz kompartmentu, zaś gi odpowiada za szybkość różnicowania. Istotą tego modelu jest to, że komórki z danego kompartmentu mogą zarówno się różnicować (przechodząc do kolejnego kompartmentu) jak i dzielić, produkując komórki tego samego typu. Warto wspomnieć, że można tak dobrać parametry gi oraz pi, by opisać różnicowanie zachodzące wyłącznie przez podział ([11]).

2.2    Modele ciągłe

Model ciągły różnicowania jest oparty na założeniu, że parametr strukturalny jest ciągły. Oznacza to, że podczas różnicowania stan komórki zmienia się w sposób ciągły, to znaczy przechodzi przez kontinuum stanów pośrednich. Prędkość tego różnicowania, tzn. funkcja g    jest dodatnia i

lipschitzowska, co oznacza, że komórka nie zatrzymuje się w różnicowaniu. Takie procesy dobrze opisuje równanie transportu (patrz np. [6]):

dtu(t, x) + d_x(g(t, x)u(t, x)) = p(t, x)u(t, x),

gdzie, podobnie jak poprzednio, p odpowiada za wzrost populacji przez podział, zaś g jest prędkością różnicowania. W pewnych sytuacjach duża część komórek może znajdować się w tym samym stanie. W tym przypadku trzeba uwzględnić koncentracje opisywane deltami Diraca. Rozwiązanie jest wtedy opisane za pomocą funkcji p(t) będącej dla każdego t miarą Radona, zaś równanie przybiera postać:

d_tp(t) + d_x(g(t, x)p(t)) = p(t, x)p(t).

(1)