ÿþ N A J W I K S Z Y I N T E R N E T O W Y Z B I Ó R Z A D A C Z M A T E M A T Y K I
P R Ó B N Y E G Z A M I N M A T U R A L N Y
Z M A T E M A T Y K I
Z E S T A W P R Z Y G O T O W A N Y P R Z E Z S E R W I S
W W W . Z A D A N I A . I N F O
P O Z I O M R O Z S Z E R Z O N Y
1 6 K W I E T N I A 2 0 1 1
C Z A S P R A C Y : 1 8 0 M I N U T
Z A D A N I E 1 ( 4 P K T . )
W y k a |, |e j e |e l i a " ( 0 , 1 ) i b > 1 t o p r a w d z i w a j e s t n i e r ó w n o [
1
l o g a b + l o g b a + 1 0 .
4
R O Z W I Z A N I E
P r z e k s z t a Bc a m y w s p o s ó b r ó w n o w a |n y d a n n i e r ó w n o [ ( k o r z y s t a m y z e w z o r u n a z m i a n
p o d s t a w y l o g a r y t m u ) .
1 l o g a a
l o g a b + · + 1 0
4 l o g a b
4 ( l o g a b ) 2 + 1 + 4 l o g a b
0
4 l o g a b
( 2 l o g a b + 1 ) 2
0 .
4 l o g a b
T e r a z w y s t a r c z y z a u w a |y , |e m i a n o w n i k j e s t u j e m n y ( b o a < 1 i b > 1 ) , a l i c z n i k j e s t
n i e u j e m n y . P o w y |s z a n i e r ó w n o [ j e s t w i c s p e Bn i o n a , a p r z e k s z t a Bc a l i [m y w s p o s ó b r ó w n o -
w a |n y , w i c w y j [c i o w a n i e r ó w n o [ t e | m u s i b y s p e Bn i o n a .
Z A D A N I E 2 ( 5 P K T . )
C i g ( a n ) , g d z i e n 1 d a n y j e s t w z o r e m r e k u r e n c y j n y m
"
a 1 = 6
"
"
a n - 2
"
( 2 + 1 ) a n + 1 =
2 - 1
a ) O b l i c z s u m 2 1 p o c z t k o w y c h w y r a z ó w t e g o c i g u .
b ) W y z n a c z w s z y s t k i e l i c z b y n a t u r a l n e n , d l a k t ó r y c h s p e Bn i o n a j e s t n i e r ó w n o [
7 a n 3 - ( n - 1 ) 2 .
M a t e r i a B p o b r a n y z s e r w i s u
1
N A J W I K S Z Y I N T E R N E T O W Y Z B I Ó R Z A D A C Z M A T E M A T Y K I
R O Z W I Z A N I E
P r z e k s z t a Bm y p o d a n y w a r u n e k r e k u r e n c y j n y
"
" "
a n - 2
( 2 + 1 ) a n + 1 = " / · ( 2 - 1 )
2 - 1
" " "
( 2 + 1 ) ( 2 - 1 ) a n + 1 = a n - 2
"
a n + 1 = a n - 2 .
" "
M a m y w i c d o c z y n i e n i a z c i g i e m a r y t m e t y c z n y m , w k t ó r y m a 1 = 6 i r = - 2 .
a ) K o r z y s t a m y z e w z o r u n a s u m p o c z t k o w y c h w y r a z ó w c i g u a r y t m e t y c z n e g o .
2 a 1 + 2 0 r
S 2 1 = · 2 1 = ( a 1 + 1 0 r ) · 2 1 =
2
" " " "
= ( 6 - 1 0 2 ) 2 1 = 2 1 6 - 2 1 0 2 .
" "
O d p o w i e d z: S 2 1 = 2 1 6 - 2 1 0 2
b ) Z e w z o r u n a n - t y w y r a z c i g u a r y t m e t y c z n e g o w i e m y , |e
" " " "
a n = 6 - ( n - 1 ) 2 = 2 ( 3 - ( n - 1 ) ) .
M u s i m y w i c r o z w i z a n i e r ó w n o [
" "
7 2 ( 3 - ( n - 1 ) ) 3 - ( n - 1 ) 2
" " " "
7 2 ( 3 - ( n - 1 ) ) ( 3 - ( n - 1 ) ) ( 3 + ( n - 1 ) )
" " "
0 ( 3 - ( n - 1 ) ) ( 3 + ( n - 1 ) - 7 2 ) / · ( - 1 )
" " "
0 ( n - ( 1 + 3 ) ) ( n - ( 7 2 - 3 + 1 ) )
" " "
n " 1 + 3 , 7 2 - 3 + 1 .
P o n i e w a |
"
1 + 3 H" 2 , 7
" "
7 2 - 3 + 1 H" 9 , 2
o t r z y m u j e m y s t d n " { 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } .
O d p o w i e d z: n " { 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 }
Z A D A N I E 3 ( 3 P K T . )
D w a o k r g i p r z e c i n a j s i w p u n k t a c h K i L . P r z e z p u n k t y K i L p o p r o w a d z o n o p r o s t e , k t ó r e
p r z e c i n a j d a n e o k r g i w p u n k t a c h A , B , C , D t a k , j a k p o k a z a n o t o n a p o n i |s z y m r y s u n k u .
W y k a |, |e A C B D .
M a t e r i a B p o b r a n y z s e r w i s u
2
N A J W I K S Z Y I N T E R N E T O W Y Z B I Ó R Z A D A C Z M A T E M A T Y K I
C
L
D
A
B
K
R O Z W I Z A N I E
D o r y s u j m y o d c i n e k K L i o z n a c z m y A = ±.
C
L
±
D
±
±
A
B
K
Z a u w a |m y , |e c z w o r o k t A K L C j e s t w p i s a n y w o k r g , w i c
K L C = 1 8 0 æ% - A = 1 8 0 æ% - ±.
Z a t e m
K L D = 1 8 0 æ% - ( 1 8 0 æ% - ±) = ±.
T e r a z k o r z y s t a m y z t e g o , |e c z w o r o k t K B D L j e s t w p i s a n y w o k r g .
K B D = 1 8 0 æ% - K L D = 1 8 0 æ% - ±.
T o z k o l e i o z n a c z a , |e p r o s t e A C i B D p r z e c i n a j p r o s t A B p o d t y m s a m y m k t e m . S w i c
r ó w n o l e g Be .
Z A D A N I E 4 ( 5 P K T . )
W y z n a c z r e s z t z d z i e l e n i a w i e l o m i a n u P ( x ) p r z e z t r ó j m i a n x 2 - 3 x - 2 8 j e [l i P ( 7 ) = 2 4 i
P ( - 4 ) = - 3 1 .
M a t e r i a B p o b r a n y z s e r w i s u
3
N A J W I K S Z Y I N T E R N E T O W Y Z B I Ó R Z A D A C Z M A T E M A T Y K I
R O Z W I Z A N I E
R o z Bó |m y t r ó j m i a n x 2 - 3 x - 2 8 n a c z y n n i k i .
x 2 - 3 x - 2 8 = 0
" = 9 + 1 1 2 = 1 2 1 = 1 1 2
3 - 1 1 3 + 1 1
x = = - 4 (" x = = 7
2 2
x 2 - 3 x - 2 8 = ( x + 4 ) ( x - 7 ) .
R e s z t a R ( x ) z d z i e l e n i a w i e l o m i a n u P ( x ) p r z e z t e n t r ó j m i a n b d z i e w i e l o m i a n e m l i n i o w y m
( b o r e s z t a z a w s z e m a s t o p i e D m n i e j s z y o d s t o p n i a w i e l o m i a n u , p r z e z k t ó r y d z i e l i m y ) t a k i m ,
|e
P ( x ) = ( x + 4 ) ( x - 7 ) Q ( x ) + R ( x ) = ( x + 4 ) ( x - 7 ) Q ( x ) + a x + b .
W s p ó Bc z y n n i k i a i b w y l i c z a m y p o d s t a w i a j c w t e j r ó w n o [c i x = - 4 i x = 7 .
- 3 1 = P ( - 4 ) = - 4 a + b
2 4 = 7 a + b
O d e j m u j e m y o d d r u g i e g o r ó w n a n i a p i e r w s z e ( |e b y z r e d u k o w a b ) i m a m y
5 5 = 1 1 a Ð!Ò! a = 5 .
Z a t e m b = 2 4 - 7 a = - 1 1 .
O d p o w i e d z: 5 x - 1 1
Z A D A N I E 5 ( 5 P K T . )
P r o s t a o r ó w n a n i u x + 2 y = 5 z a w i e r a p r z e k t n B D r o m b u A B C D , k t ó r e g o b o k m a d Bu g o [
5 . W y z n a c z w s p ó Br z d n e w i e r z c h o Bk ó w r o m b u j e |e l i A = ( 5 , 1 ) .
R O Z W I Z A N I E
R o z p o c z y n a m y o d s z k i c o w e g o r y s u n k u .
y
+ 5
B
A
+ 1
S
- 1 + 1 + 5 + 1 0 x
C
- 1
D
- 5
M a t e r i a B p o b r a n y z s e r w i s u
4
N A J W I K S Z Y I N T E R N E T O W Y Z B I Ó R Z A D A C Z M A T E M A T Y K I
A b y w y z n a c z y w s p ó Br z d n e w i e r z c h o Bk ó w B i D s z u k a m y p u n k t ó w w s p ó l n y c h p o d a -
n e j p r o s t e j i o k r g u o [r o d k u A i p r o m i e n i u 5 , c z y l i o k r g u o r ó w n a n i u
( x - 5 ) 2 + ( y - 1 ) 2 = 2 5 .
P o d s t a w i a m y w t y m r ó w n a n i u x = 5 - 2 y .
( 5 - 2 y - 5 ) 2 + ( y - 1 ) 2 = 2 5
4 y 2 + y 2 - 2 y + 1 = 2 5
5 y 2 - 2 y - 2 4 = 0
" = 4 + 4 8 0 = 4 8 4 = 2 2
2 - 2 2 2 + 2 2
y = = - 2 (" y = = 2 , 4 .
1 0 1 0
S t d o d p o w i e d n i o x = 5 - 2 y = 9 i x = 5 - 2 y = 0 , 2 . Z a t e m B = ( 0 , 2 ; 2 , 4 ) i D = ( 9 ; - 2 ) .
W s p ó Br z d n e w i e r z c h o Bk a C o b l i c z y m y k o r z y s t a j c z t e g o , |e p r z e k t n e r o m b u d z i e l s i n a
p o Bo w y . P u n k t S p r z e c i c i a s i p r z e k t n y c h m a w s p ó Br z d n e
B + D 0 , 2 + 9 2 , 4 - 2
S = = , = ( 4 , 6 ; 0 , 2 ) .
2 2 2
Z d r u g i e j s t r o n y p u n k t S t o t a k |e [r o d e k o d c i n k a A C , w i c
A + C 5 + x c 1 + y c
S = ( 4 , 6 ; 0 , 2 ) = = ,
2 2 2
5 + x c = 9 , 2
1 + y c = 0 , 4
x c = 4 , 2
y c = - 0 , 6 .
Z a t e m C = ( 4 , 2 ; - 0 , 6 ) .
O d p o w i e d z: A = ( 5 ; 1 ) , B = ( 0 , 2 ; 2 , 4 ) , C = ( 4 , 2 ; - 0 , 6 ) , D = ( 9 ; - 2 )
Z A D A N I E 6 ( 6 P K T . )
D l a j a k i c h w a r t o [c i p a r a m e t r u m r ó w n a n i e x 2 + ( 2 m - 1 ) x - 6 m + 3 = 0 m a d w a r ó |n e
p i e r w i a s t k i x 1 < x 2 s p e Bn i a j c e n i e r ó w n o [ x 1 x 2 > x 2 - x 1 .
R O Z W I Z A N I E
S p r a w d zm y n a j p i e r w k i e d y r ó w n a n i e m a d w a r ó |n e r o z w i z a n i a .
0 < " = ( 2 m - 1 ) 2 + 4 ( 6 m - 3 ) = ( 2 m - 1 ) 2 + 1 2 ( 2 m - 1 ) =
= ( 2 m - 1 ) ( 2 m - 1 + 1 2 ) = ( 2 m - 1 ) ( 2 m + 1 1 ) =
1 1 1
= 4 m - m +
2 2
1 1 1
m " - ", - *" , + " .
2 2
M a t e r i a B p o b r a n y z s e r w i s u
5
N A J W I K S Z Y I N T E R N E T O W Y Z B I Ó R Z A D A C Z M A T E M A T Y K I
S p o s ó b I
P o p a t r z m y t e r a z n a d a n n i e r ó w n o [: x 1 x 2 > x 2 - x 1 . N i e r ó w n o [ t a n i e j e s t s y m e t r y c z n a
z e w z g l d u n a x 1 i x 2 , w i c n i e m o |e m y b e z p o [r e d n i o z a s t o s o w a w z o r ó w V i è t e a , a l e b -
d z i e m y m o g l i t o z r o b i g d y p o d n i e s i e m y n i e r ó w n o [ d o k w a d r a t u . A b y t o z r o b i m u s i m y
j e d n a k w i e d z i e , |e o b i e s t r o n y n i e r ó w n o [c i s d o d a t n i e . P r a w a s t r o n a j e s t d o d a t n i a z z a -
Bo |e n i a , w i c j e |e l i l e w a s t r o n a j e s t u j e m n a t o n i e r ó w n o [ j e s t s p r z e c z n a . N a m o c y w z o r ó w
V i è t e a m u s i w i c b y s p e Bn i o n y w a r u n e k
0 < x 1 x 2 = - 6 m + 3
6 m < 3
1
m < .
2
P r z y t y m z a Bo |e n i u m o |e m y p o d n i e [ n i e r ó w n o [ s t r o n a m i d o k w a d r a t u .
( x 1 x 2 ) 2 > ( x 2 - x 1 ) 2 = ( x 1 + x 2 ) 2 - 4 x 1 x 2
( - 6 m + 3 ) 2 > ( - ( 2 m - 1 ) ) 2 - 4 ( - 6 m + 3 )
9 ( 2 m - 1 ) 2 > ( 2 m - 1 ) 2 + 1 2 ( 2 m - 1 )
8 ( 2 m - 1 ) 2 - 1 2 ( 2 m - 1 ) > 0 / : 4
2 ( 2 m - 1 ) 2 - 3 ( 2 m - 1 ) > 0 / : 4
( 2 m - 1 ) ( 2 ( 2 m - 1 ) - 3 ) > 0
( 2 m - 1 ) ( 4 m - 5 ) > 0
1 5
m " - ", *" , + " .
2 4
W p o Bc z e n i u z p o p r z e d n i m i o g r a n i c z e n i a m i o t r z y m u j e m y w i c m " - ", - 1 1 .
2
S p o s ó b I I
S k o r o x 1 < x 2 t o
" "
"
- b + " - b - "
x 2 - x 1 = - = ".
2 2
N a m o c y w z o r ó w V i è t e a m o |e m y w i c d a n n i e r ó w n o [ z a p i s a w p o s t a c i
"
- 6 m + 3 > ".
J e |e l i l e w a s t r o n a j e s t u j e m n a t o n i e r ó w n o [ j e s t s p r z e c z n a , w i c z a Bó |m y , |e
1
- 6 m + 3 > 0 Ð!Ò! m < .
2
P r z y t y m z a Bo |e n i u m a m y
( - 6 m + 3 ) 2 > " = ( 2 m - 1 ) 2 - 4 ( - 6 m + 3 )
9 ( 2 m - 1 ) 2 > ( 2 m - 1 ) 2 + 1 2 ( 2 m - 1 )
8 ( 2 m - 1 ) 2 - 1 2 ( 2 m - 1 ) > 0 .
D a l e j l i c z y m y j a k w I s p o s o b i e .
O d p o w i e d z: m " - ", - 1 1
2
M a t e r i a B p o b r a n y z s e r w i s u
6
N A J W I K S Z Y I N T E R N E T O W Y Z B I Ó R Z A D A C Z M A T E M A T Y K I
Z A D A N I E 7 ( 6 P K T . )
W t r a p e z p r o s t o k t n y A B C D w p i s a n o o k r g , p r z y c z y m p u n k t S j e s t [r o d k i e m t e g o o k r g u ,
a p u n k t T j e s t p u n k t e m s t y c z n o [c i o k r g u w p i s a n e g o z d Bu |s z y m r a m i e n i e m B C . O b l i c z
"
p o l e t e g o t r a p e z u , j e [l i | S C | = 1 0 i | B T | = 8 5 .
D C
T
S
A B
R O Z W I Z A N I E
D o r y s u j m y o d c i n k i Bc z c e p u n k t S z p u n k t a m i s t y c z n o [c i z p o d s t a w a m i t r a p e z u , o r a z o d -
c i n e k S B .
D C
²
²
T
1 0
r
r
S
8 5
r
±
±
A B
Z a u w a |m y , |e t r ó j k t y p r o s t o k t n e , k t ó r y c h j e d e n b o k j e s t p r o m i e n i e m o k r g u w p i s a n e -
g o , a p r z e c i w p r o s t o k t n j e s t S B , s p r z y s t a j c e . Z a t e m p r o s t a S B j e s t d w u s i e c z n k t a A B C .
O z n a c z m y k t y n a j a k i e d z i e l i o n a k t A B C p r z e z ±. P o d o b n i e n i e c h S C B = S C D = ². Z
r ó w n o l e g Bo [c i p r o s t y c h A B i C D m a m y
2 ± + 2 ² = 1 8 0 æ%
± + ² = 9 0 æ%.
O z n a c z a t o , |e t r ó j k t S B C j e s t p r o s t o k t n y . P r o s t o k t n y j e s t t e | t r ó j k t T S C i j e s t o n p o d o b n y
d o t r ó j k t a S B C . J e |e l i o z n a c z y m y C T = x t o z t e g o p o d o b i e Ds t w a m a m y
C T S C
=
S C B C
x 1 0
= "
1 0
x
"+ 8 5
x 2 + 8 5 x = 1 0 0
"
x 2 + 8 5 x - 1 0 0 = 0
"
" = 3 2 0 + 4 0 0 = 7 2 0 = ( 1 2 5 ) 2
" " " "
"
- 8 5 - 1 2 5 - 8 5 + 1 2 5
x = < 0 (" x = = 2 5 .
2 2
M a t e r i a B p o b r a n y z s e r w i s u
7
N A J W I K S Z Y I N T E R N E T O W Y Z B I Ó R Z A D A C Z M A T E M A T Y K I
" " "
Z a t e m B C = 8 5 + 2 5 = 1 0 5 i n a m o c y t w i e r d z e n i a P i t a g o r a s a
" " "
r = S T = S C 2 - T C 2 = 1 0 0 - 2 0 = 8 0 = 4 5 .
T o o z n a c z a , |e w i e m y j a k a j e s t d Bu g o [ w y s o k o [c i t r a p e z u
"
h = A D = 2 r = 8 5 .
T e r a z k o r z y s t a m y z t e g o , |e w c z w o r o k c i e o p i s a n y m n a o k r g u s u m y d Bu g o [c i p r z e c i w l e -
g By c h b o k ó w s r ó w n e . Z a t e m
" " "
A B + C D = A D + B C = 8 5 + 1 0 5 = 1 8 5 .
Z a t e m p o l e j e s t r ó w n e
" "
A B + C D
P = · h = 9 5 · 8 5 = 3 6 0 .
2
O d p o w i e d z: 3 6 0
Z A D A N I E 8 ( 4 P K T . )
D l a j a k i c h l i c z b n a t u r a l n y c h n , l i c z b a n 2 + 1 2 n + 1 7 j e s t k w a d r a t e m l i c z b y n a t u r a l n e j ?
R O Z W I Z A N I E
Z a u w a |m y , |e
n 2 + 1 2 n + 1 7 = ( n + 6 ) 2 - 1 9 .
T o o z n a c z a , |e j e |e l i l i c z b a t a j e s t k w a d r a t e m l i c z b y n a t u r a l n e j , t o m a k s y m a l n i e m o |e t o b y
k w a d r a t l i c z b y ( n + 5 ) . Z d r u g i e j s t r o n y ,
( n + 4 ) 2 = n 2 + 8 n + 1 6 < n 2 + 1 2 n + 1 7 ,
w i c d a n a l i c z b a n i e m o |e b y k w a d r a t e m l i c z b y m n i e j s z e j n i | ( n + 5 ) . Z a t e m j e d y n a m o |-
l i w o [ t o r ó w n o [
n 2 + 1 2 n + 1 7 = ( n + 5 ) 2
n 2 + 1 2 n + 1 7 = n 2 + 1 0 n + 2 5
2 n = 8
n = 4 .
O d p o w i e d z: n = 4
Z A D A N I E 9 ( 6 P K T . )
P o d s t a w o s t r o s Bu p a A B C D S j e s t c z w o r o k t w y p u k By A B C D , w k t ó r y m | A B | = 7 , | A D | =
"
4 3 6
5 o r a z c o s D A B = . K a |d a z k r a w d z i b o c z n y c h o s t r o s Bu p a m a d Bu g o [ . O b l i c z w y -
5 2
s o k o [ o s t r o s Bu p a .
M a t e r i a B p o b r a n y z s e r w i s u
8
N A J W I K S Z Y I N T E R N E T O W Y Z B I Ó R Z A D A C Z M A T E M A T Y K I
R O Z W I Z A N I E
R o z p o c z y n a m y o d s z k i c o w e g o r y s u n k u .
S
D
C
h
±
D
C
A
R
5
R
O
R
R
A
B
7
B
Z a u w a |m y , |e j e |e l i S O j e s t w y s o k o [c i o s t r o s Bu p a t o k a |d y z t r ó j k t ó w S O A , S O B , S O C
i S O D j e s t p r o s t o k t n y i k a |d e d w a z n i c h m a j t s a m d Bu g o [ p r z e c i w p r o s t o k t n e j o r a z
j e d n e j z p r z y p r o s t o k t n y c h ( d o k Ba d n i e : S O ) . T o o z n a c z a , |e t r ó j k t y t e s p r z y s t a j c e , w i c
A O = B O = C O = D O .
T o z k o l e i o z n a c z a , |e n a c z w o r o k c i e A B C D m o |n a o p i s a o k r g i p u n k t O j e s t [r o d k i e m
t e g o o k r g u . W t a k i m r a z i e d o o b l i c z e n i a w y s o k o [c i ( n p . z t r ó j k t a S O A ) b r a k u j e n a m d Bu -
g o [c i p r o m i e n i a o k r g u o p i s a n e g o n a c z w o r o k c i e A B C D .
Z a u w a |m y , |e o k r g o p i s a n y n a c z w o r o k c i e A B C D j e s t t e | o k r g i e m o p i s a n y m n a t r ó j -
k c i e A B D , w i c j e g o p r o m i e D m o |e m y w y l i c z y s t o s u j c t w i e r d z e n i e s i n u s ó w w t y m t r ó j -
k c i e . T a k s i s z c z [l i w i e s k Ba d a , |e m a m y n a w e t p o d a n y c o s A , w i c d o p e Bn i s z c z [c i a
b r a k u j e n a m d Bu g o [c i p r z e k t n e j B D . T d Bu g o [ m o |e m y j e d n a k w y l i c z y s t o s u j c t w i e r -
d z e n i e c o s i n u s ó w .
W s z y s t k o w i e m y , w i c l i c z y m y n a p o c z t e k d Bu g o [ p r z e k t n e j B D .
B D 2 = A B 2 + A D 2 - 2 A B · A D c o s A
4
B D 2 = 4 9 + 2 5 - 2 · 7 · 5 · = 4 9 + 2 5 - 5 6 = 1 8
5
"
B D = 3 2 .
T e r a z o b l i c z a m y s i n A
1 6 3
s i n A = 1 - c o s 2 A = 1 - =
2 5 5
( s i n u s j e s t d o d a t n i d l a k t ó w w y p u k By c h ) . T e r a z p i s z e m y t w i e r d z e n i e s i n u s ó w w t r ó j k c i e
A B D .
B D
= 2 R
s i n A
" "
B D 3 2 5 2
R = = = .
3
2 s i n A 2
2 ·
5
M a t e r i a B p o b r a n y z s e r w i s u
9
N A J W I K S Z Y I N T E R N E T O W Y Z B I Ó R Z A D A C Z M A T E M A T Y K I
T e r a z p i s z e m y t w i e r d z e n i e P i t a g o r a s a w t r ó j k c i e S O A .
" "
2 2
3 6 5 2
h = S O = A S 2 - A O 2 = - =
2 2
" " "
1 1
= ( 3 6 ) 2 - ( 5 2 ) 2 = 5 4 - 5 0 = 1 .
2 2
O d p o w i e d z: h = 1
Z A D A N I E 1 0 ( 6 P K T . )
I l e j e s t l i c z b d z i e w i c i o c y f r o w y c h , w k t ó r y c h s u m a k a |d y c h t r z e c h k o l e j n y c h c y f r j e s t r ó w n a
1 0 ?
R O Z W I Z A N I E
P o w i e d z m y , |e k o l e j n e c z t e r y c y f r y l i c z b y , o j a k i e j m o w a w t r e [c i z a d a n i a t o a , b , c , d . W
t a k i m r a z i e m u s i m y m i e
a + b + c = 1 0 = b + c + d Ò! a = d .
W t a k i m r a z i e c y f r y t a k i e j l i c z b y m u s z s i c y k l i c z n i e p o w t a r z a - c y f r y 1 , 4 i 7 m u s z b y
i d e n t y c z n e , p o d o b n i e d l a c y f r o n u m e r a c h 2 , 5 , 8 i 3 , 6 , 9 . T o o z n a c z a , |e l i c z b a m u s i m i e p o -
s t a
a b c a b c a b c .
Z a u w a |m y , |e w l i c z b i e t e j p o s t a c i s u m a d o w o l n y c h t r z e c h k o l e j n y c h c y f r j e s t r ó w n a a +
b + c , w i c w y s t a r c z y z a g w a r a n t o w a , a b y a + b + c = 1 0 , a w t e d y a u t o m a t y c z n i e l i c z b a t a
b d z i e s p e Bn i a w a r u n k i z a d a n i a .
P o l i c z m y n a i l e s p o s o b ó w m o |n a w y b r a c y f r y a = 0 , b , c , t a k a b y a + b + c = 1 0 .
O c z y w i [c i e t y l k o j e d n a s p o [r ó d c y f r a , b , c m o |e b y r ó w n a z e r o i n i e m o |e t o b y a .
P o l i c z m y i l e j e s t m o |l i w o [c i z j e d n y m z e r e m . L i c z b a m o |e m y w y b r a n a 9 s p o s o b ó w ,
d r u g n i e z e r o w l i c z b m a m y j u | w y z n a c z o n j e d n o z n a c z n i e ( b o s u m a m a b y r ó w n a 1 0 ) ,
a l e m u s i m y j e s z c z e u s t a l i , c z y j e s t t o b , c z y c . J e s t w i c
9 · 2 = 1 8
t a k i c h l i c z b .
D a l e j z a Bó |m y j u |, |e m a m y t y l k o n i e z e r o w e c y f r y .
P o l i c z m y t e r a z i l e j e s t m o |l i w o [c i z d w o m a r ó w n y m i c y f r a m i ( n i e m o g b y t r z y r ó w n e
c y f r y ) . S 4 s p o s o b y r o z p i s a n i a 1 0 - k i w t e n s p o s ó b :
1 0 = 1 + 1 + 8
1 0 = 2 + 2 + 6
1 0 = 3 + 3 + 4
1 0 = 4 + 4 + 2
M a t e r i a B p o b r a n y z s e r w i s u
1 0
N A J W I K S Z Y I N T E R N E T O W Y Z B I Ó R Z A D A C Z M A T E M A T Y K I
i k a |d y z t y c h r o z k Ba d ó w d a j e 3 m o |l i w e t r ó j k i l i c z b ( a , b , c ) w y s t a r c z y b o w i e m u s t a l i ,
k t ó r e d w i e z l i c z b a , b , c m a j b y r ó w n e i w t e d y t r z e c i a l i c z b a j e s t j u | j e d n o z n a c z n i e w y z n a -
c z o n a . J e s t w i c
3 · 4 = 1 2
u k Ba d ó w z d w o m a r ó w n y m i c y f r a m i .
P o z o s t a Bo p o l i c z y l i c z b t r ó j e k ( a , b , c ) , w k t ó r y c h |a d n e d w i e c y f r y n i e s r ó w n e . M o -
|e m y 1 0 r o z p i s a w t e n s p o s ó b n a 4 s p o s o b y
1 0 = 7 + 2 + 1
1 0 = 6 + 3 + 1
1 0 = 5 + 4 + 1
1 0 = 5 + 3 + 2
i k a |d y z t y c h r o z k Ba d ó w d a j e 3 ! = 6 m o |l i w y c h t r ó j e k l i c z b ( a , b , c ) . S w i c
4 · 6 = 2 4
l i c z b y t e j p o s t a c i .
W s u m i e s w i c
1 8 + 1 2 + 2 4 = 5 4
l i c z b y s p e Bn i a j c e w a r u n k i z a d a n i a .
O d p o w i e d z: 5 4
M a t e r i a B p o b r a n y z s e r w i s u
1 1
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