w i c z e n i e 6 3
W y z n a c z a n i e w s p Bc z y n n i k a s p r |y s t o [c i
s p r |y n i i c h u k Ba d w
6 3 . 1 . Z a s a d a w i c z e n i a
W w i c z e n i u o k r e [l a s i w s p Bc z y n n i k s p r |y s t o [c i p o j e d y n c z y c h s p r |y n i i c h
u k Ba d w , m i e r z c w y d Bu |e n i e s p r |y n p o d w p By w e m z n a n e g o o b c i |e n i a o r a z o k r e s
d r g a D o b c i |o n y c h s p r |y n .
6 3 . 2 . W i a d o m o [c i t e o r e t y c z n e
P o d w p By w e m d z i a Ba j c y c h s i B z e w n t r z n y c h k a |d e c i a Bo s t a Be o d k s z t a Bc a s i , z m i e -
n i a j c s w o j o b j t o [ i k s z t a Bt . W c z a s i e , g d y c i a Bo j e s t o d k s z t a Bc o n e , s i By z e w n t r z n e
s r w n o w a |o n e s i Ba m i r e a k c j i s p r |y s t y c h c i a Ba , k t r e d | d o p r z y w r c e n i a j e g o
p i e r w o t n e j p o s t a c i .
P r z y j m i e m y d a l e j , |e r o z w a |a n e c i a Bo m a s t a By p r z e k r j p o p r z e c z n y ( n p . p r t , d r u t ,
s p r |y n a ) , a z e w n t r z n a s i Ba F j e s t s k i e r o w a n a w z d Bu | p o d Bu |n e j o s i c i a Ba , p o w o d u j c
j e g o w y d Bu |e n i e l u b s k r c e n i e o w a r t o [ x . Z a c h o d z i w w c z a s z w i z e k :
F = k x , ( 6 3 . 1 )
g d z i e w s p Bc z y n n i k k , m a j c y w y m i a r [ k ] = N / m , n a z y w a s i w s p Bc z y n n i k i e m s p r -
|y s t o [c i c i a Ba . J e g o w a r t o [ l i c z b o w a j e s t r w n a w a r t o [c i s i By , p o w o d u j c e j w y d Bu |e n i e
l u b s k r c e n i e c i a Ba o j e d n o s t k d Bu g o [c i . Z a l e |n o [ ( 6 3 . 1 ) s t o s u j e s i j e d y n i e d l a o g r a n i -
c z o n e g o z a k r e s u d z i a Ba j c y c h s i B, n i e p r z e k r a c z a j c y c h t z w . g r a n i c y p r o p o r c j o n a l n o [c i .
W p r z y p a d k u s p r |y n y j e j w s p Bc z y n n i k s p r |y s t o [c i w y r a |a s i w z o r e m :
G r 4
k = ( 6 3 . 2 )
4 N R 3
( n p . [ 1 ] ) , g d z i e r j e s t p r o m i e n i e m d r u t u s p r |y n y , N l i c z b j e j z w o j w , R p r o -
m i e n i e m s p r |y n y , n a t o m i a s t G t z w . m o d u Be m s z t y w n o [c i ( l u b m o d u Be m K i r c h -
h o f f a ) m a t e r i a Bu s p r |y n y o w y m i a r z e [ G ] = N / m 2 . M o d u B s z t y w n o [c i j e s t j e d n y m
z p o d s t a w o w y c h p a r a m e t r w c h a r a k t e r y z u j c y c h w Ba s n o [c i s p r |y s t e d a n e g o m a t e -
r i a Bu , n i e z a l e |n y m o d r o z m i a r w i k s z t a Bt u c i a Ba .
2 w i c z e n i e 6 3
R y s u n e k 6 3 . 1 . a ) S p r |y n a b e z o b c i |e n i a , b ) o b c i |o n a s p r |y n a w p o Bo |e n i u r w n o w a g i ,
c ) o b c i |o n a s p r |y n a w y c h y l o n a z p o Bo |e n i a r w n o w a g i
W s p Bc z y n n i k s p r |y s t o [c i k s p r |y n m o |n a Ba t w o w y z n a c z y d o [w i a d c z a l n i e . G d y
n a k o Dc u s p r |y n y z a w i e s i m y c i a Bo o z n a n e j m a s i e m ( r y s . 6 3 . 1 ) , z o s t a n i e o n a r o z c i -
g n i t a p o d w p By w e m c i |a r u c i a Ba
Q = m g ( 6 3 . 3 )
( g p r z y s p i e s z e n i e z i e m s k i e ) o d Bu g o [ x 0 . K Ba d c w e w z o r z e ( 6 3 . 1 ) F = Q i x = x 0 ,
o t r z y m u j e m y w z r , p o z w a l a j c y o b l i c z y w s p Bc z y n n i k s p r |y s t o [c i :
m g
k = . ( 6 3 . 4 )
x 0
G d y n a s t p n i e w y c h y l i m y c i a Bo w k i e r u n k u p i o n o w y m z p o Bo |e n i a r w n o w a g i i p u -
[c i m y s w o b o d n i e ( r y s . 6 3 . 1 ) , z a c z n i e o n o w y k o n y w a d r g a n i a p o d w p By w e m s i By r e a k c j i
F s = - F o d k s z t a Bc o n e j s p r |y n y . Z g o d n i e z e w z o r e m ( 6 3 . 1 ) s i Ba r e a k c j i j e s t r w n a :
F s = - k x , ( 6 3 . 5 )
p r z y c z y m z n a k - w s k a z u j e , |e j e s t o n a s k i e r o w a n a p r z e c i w n i e d o k i e r u n k u w y c h y -
l e n i a c i a Ba . W i a d o m o , |e r u c h c i a Ba n a s k u t e k d z i a Ba n i a s i By o k r e [l o n e j w z o r e m ( 6 3 . 5 )
j e s t r u c h e m h a r m o n i c z n y m p r o s t y m , p r z y c z y m o k r e s d r g a D c i a Ba w y n o s i :
m
T = 2 . ( 6 3 . 6 )
k
W s p Bc z y n n i k s p r |y s t o [c i m o |n a w i c o b l i c z y z e w z o r u :
4 2 m
k = . ( 6 3 . 7 )
2
T
P o w y |s z e w z o r y s t o s u j s i p r z y z a Bo |e n i u , |e m o |n a z a n i e d b a s i B o p o r u p o w i e t r z a ,
j a k r w n i e | m a s s p r |y n y w p o r w n a n i u z m a s c i a Ba .
W y z n a c z a n i e w s p Bc z y n n i k a s p r |y s t o [c i s p r |y n i i c h u k Ba d w 3
R y s u n e k 6 3 . 2 . P o Bc z e n i e s p r |y n : a ) r w n o l e g Be , b ) s z e r e g o w e
S p r |y n y m o |n a Bc z y z e s o b r w n o l e g l e l u b s z e r e g o w o ( r y s . 6 3 . 2 ) . W y p a d -
k o w y w s p Bc z y n n i k s p r |y s t o [c i k p o Bc z o n y c h s p r |y n j e s t z d e f i n i o w a n y z a l e |n o [c i
( 6 3 . 1 ) , w k t r e j F i x o z n a c z a j s i B p r z y Bo |o n d o u k Ba d u s p r |y n i j e g o w y d Bu |e n i e .
W p r z y p a d k u p o Bc z e n i a r w n o l e g Be g o d w c h s p r |y n o w s p Bc z y n n i k a c h s p r |y -
s t o [c i k 1 i k 2 d z i a Ba j c a n a n i e s i Ba j e s t s u m s i B F 1 i F 2 , d z i a Ba j c y c h n a p o s z c z e g l n e
s p r |y n y , a i c h w y d Bu |e n i a s j e d n a k o w e . Z a c h o d z w i c z a l e |n o [c i :
F 1 = k 1 x , F 2 = k 2 x , F = F 1 + F 2 , ( 6 3 . 8 )
z k t r y c h , u w z g l d n i a j c z a l e |n o [ ( 6 3 . 1 ) , o t r z y m u j e s i z w i z e k :
k = k 1 + k 2 . ( 6 3 . 9 )
D l a s z e r e g o w e g o p o Bc z e n i a s p r |y n d z i a Ba j c e n a n i e s i By s , p r z y p o m i n i c i u
c i |a r u s p r |y n , j e d n a k o w e , n a t o m i a s t i c h Bc z n e w y d Bu |e n i e j e s t s u m w y d Bu |e D x 1
i x 2 o b u s p r |y n . M a m y w i c z a l e |n o [c i :
F = k 1 x 1 , F = k 2 x 2 , x = x 1 + x 2 , ( 6 3 . 1 0 )
z k t r y c h , p o u w z g l d n i e n i u z a l e |n o [c i ( 6 3 . 1 ) , w y n i k a z w i z e k :
1 1 1
= + . ( 6 3 . 1 1 )
k k 1 k 2
6 3 . 3 . A p a r a t u r a p o m i a r o w a
W s k Ba d u |y w a n e g o w w i c z e n i u z e s t a w u p o m i a r o w e g o ( r y s . 6 3 . 3 ) w c h o d z : s p r -
|y n y , c i |a r k i i s t a t y w , n a k t r y m z a w i e s z a s i s p r |y n y . D o p o m i a r u w y d Bu |e n i a
s p r |y n s Bu |y p i o n o w a p o d z i a Bk a z d w i e m a p r z e s u w a n y m i w s k a z w k a m i . M a s c i |a r -
k w w y z n a c z a s i p r z y p o m o c y w a g i , a o k r e s d r g a D o b c i |o n y c h s p r |y n m i e r z y s i
s t o p e r e m .
4 w i c z e n i e 6 3
R y s u n e k 6 3 . 3 . Z e s t a w d o p o m i a r u w s p Bc z y n n i k a s p r |y s t o [c i s p r |y n . 1 s p r |y n y , 2
c i |a r k i , 3 s t a t y w , 4 p o d z i a Bk a , 5 w a g a , 6 s t o p e r
6 3 . 4 . Z a d a n i a
1 . W y z n a c z y w s p Bc z y n n i k s p r |y s t o [c i w y b r a n e j s p r |y n y : a ) b a d a j c j e j w y d Bu -
|e n i e p o d w p By w e m z a w i e s z o n e g o c i |a r u , o r a z b ) m i e r z c o k r e s d r g a D o b c i |o n e j
s p r |y n y . O b l i c z y m o d u B s z t y w n o [c i m a t e r i a Bu s p r |y n y .
2 . W y z n a c z y o b y d w i e m a m e t o d a m i w s p Bc z y n n i k s p r |y s t o [c i u k Ba d u d w c h s p r -
|y n , p o Bc z o n y c h a ) r w n o l e g l e , b ) s z e r e g o w o .
6 3 . 5 . P r z e b i e g p o m i a r w i o p r a c o w a n i e w y n i k w
a d 1 . D o d o l n e g o k o Dc a z a w i e s z o n e j n a s t a t y w i e s p r |y n y z a c z e p i a k o l e j n e c i |a r k i ,
m i e r z c z a k a |d y m r a z e m i c h Bc z n m a s m o r a z w y d Bu |e n i e x 0 s p r |y n y . Z a p i s a
w t a b e l c e w a r t o [c i m i x 0 i s p o r z d z i w y k r e s z a l e |n o [c i x 0 m . Z g o d n i e z e w z o -
r e m ( 6 3 . 4 ) , z a l e |n o [ t a p o w i n n a p r z e d s t a w i a w p r z y b l i |e n i u l i n i p r o s t , o k r e [l o n
o g l n y m r w n a n i e m :
Y = A X + B , ( 6 3 . 1 2 )
W y z n a c z a n i e w s p Bc z y n n i k a s p r |y s t o [c i s p r |y n i i c h u k Ba d w 5
g d z i e X = m , Y = x 0 , A = g / k i B = 0 . J e |e l i o s t a t n i e p u n k t y n a w y k r e s i e , o d p o w i a -
d a j c e n a j w i k s z y m m a s o m m , o d c h y l a j s i o d z a l e |n o [c i p r o s t o l i n i o w e j , [w i a d c z y
t o o p r z e k r o c z e n i u g r a n i c y p r o p o r c j o n a l n o [c i d l a d a n e j s p r |y n y . W y n i k i t y c h p o -
m i a r w n a l e |y w d a l s z y c h o b l i c z e n i a c h p o m i n . W a r t o [c i p a r a m e t r w A i B p r o s t e j
i n i e p e w n o [c i S A i S B p a r a m e t r w w y z n a c z y m e t o d r e g r e s j i l i n i o w e j , a p r o k s y m u j c
d o [w i a d c z a l n z a l e |n o [ x 0 m f u n k c j ( 6 3 . 1 2 ) . N a r y s o w a t p r o s t n a w y k r e s i e .
O b l i c z y w s p Bc z y n n i k s p r |y s t o [c i b a d a n e j s p r |y n y i j e g o n i e p e w n o [ z e w z o r w :
k = g / A , ( 6 3 . 1 3 )
S k = g S A / A 2 . ( 6 3 . 1 4 )
Z a w a r t o [ p r z y s p i e s z e n i a z i e m s k i e g o p r z y j g = 9 , 8 1 5 m / s 2 .
W d a l s z y m c i g u t e j c z [c i w i c z e n i a z a w i e s z a n a d o l n y m k o Dc u s p r |y n y k o l e j n e
c i |a r k i i w p r a w i a u k Ba d w d r g a n i a w k i e r u n k u p i o n o w y m . M i e r z y k a |d o r a z o w o
Bc z n m a s m c i |a r k w o r a z c z a s t o k r e [l o n e j l i c z b y n p e Bn y c h d r g a D ( n p . n = 2 0 )
i o b l i c z a o k r e s T = t / n d r g a D c i |a r k w . D l a u Ba t w i e n i a p o m i a r w n a l e |y d o b i e r a
s t o s u n k o w o d u |e m a s y c i |a r k w , a b y o k r e s d r g a D u k Ba d u b y B m o |l i w i e d Bu g i . Z a p i -
2 2
s y w a w t a b e l c e w a r t o [c i m , t , T i T . W y n i k i p o m i a r w p r z e d s t a w i n a w y k r e s i e T
m . J a k w y n i k a z e w z o r u ( 6 3 . 1 0 ) , w y k r e s p o w i n i e n b y w p r z y b l i |e n i u p r o s t o l i n i o w y ,
a w s p Bc z y n n i k k i e r u n k o w y p r o s t e j p o w i n i e n w y n o s i A = 4 2 / k . W y z n a c z y w a r t o [c i
p a r a m e t r w A i B p r o s t e j ( 6 3 . 1 5 ) i i c h n i e p e w n o [c i S A i S B m e t o d r e g r e s j i l i n i o w e j
i n a r y s o w a p r o s t n a w y k r e s i e . W s p Bc z y n n i k s p r |y s t o [c i i j e g o n i e p e w n o [ o b l i c z y
z e w z o r w :
k = 4 2 / A , ( 6 3 . 1 5 )
S k = 4 2 S A / A 2 . ( 6 3 . 1 6 )
K o Dc z c p i e r w s z c z [ w i c z e n i a , o k r e [l i w a r t o [c i m o d u Bu s z t y w n o [c i G m a -
t e r i a Bu s p r |y n y . W t y m c e l u z m i e r z y [r e d n i c d = 2 r d r u t u s p r |y n y i [r e d n i c
D = 2 R s p r |y n y , o d p o w i e d n i o z a p o m o c [r u b y m i k r o m e t r y c z n e j i s u w m i a r k i i o b l i -
c z y p r o m i e n i e r i R . P o l i c z y i l o [ N z w o j w s p r |y n y . W a r t o [c i G i i c h m a k s y m a l n e
n i e p e w n o [c i "G o b l i c z y z p r z e k s z t a Bc o n e g o w z o r u ( 6 3 . 2 ) :
4 N R 3 k
G = ( 6 3 . 1 7 )
r 4
i z e w z o r u :
"N 3 "R 4 "r "k
| "G | = G + + + . ( 6 3 . 1 8 )
N R r k
Z a n i e p e w n o [ "N p r z y j u Ba m e k l i c z b y z w o j w , n i e p e w n o [c i "R i "r o c e n i n a
p o d s t a w i e d o k Ba d n o [c i [r u b y m i k r o m e t r y c z n e j i s u w m i a r k i , a z a n i e p e w n o [ w s p B-
c z y n n i k a s p r |y s t o [c i p r z y j | "k | = 3 S k .
a d 2 . Z m i e r z y w s p Bc z y n n i k i s p r |y s t o [c i k 1 i k 2 d w c h w y b r a n y c h s p r |y n , o r a z
w y p a d k o w e w s p Bc z y n n i k i s p r |y s t o [c i k u k Ba d u t y c h s p r |y n , p o Bc z o n y c h r w n o l e g l e
i s z e r e g o w o , w p o d o b n y s p o s b j a k w p u n k c i e 1 . W c e l u s k r c e n i a c z a s u p o m i a r w
m o |n a j e p r z e p r o w a d z i t y l k o d l a j e d n e j m a s y m c i |a r k w . S t o s u j c m e t o d o b c i -
|a n i a s p r |y n y , n a l e |y w w c z a s o b l i c z a w s p Bc z y n n i k i s p r |y s t o [c i z e w z o r u ( 6 3 . 4 ) ,
6 w i c z e n i e 6 3
a p r z y z a s t o s o w a n i u m e t o d y d r g a D h a r m o n i c z n y c h z e w z o r u ( 6 3 . 7 ) . M a k s y m a l n a
n i e p e w n o [ w s p Bc z y n n i k w s p r |y s t o [c i , w y z n a c z o n y c h p i e r w s z o r a z d r u g m e t o d ,
w y n o s i o d p o w i e d n i o :
"m "x 0
| "k | = k + ( 6 3 . 1 9 )
m x 0
o r a z :
"m 2 "T
| "k | = k + . ( 6 3 . 2 0 )
m T
N i e p e w n o [c i "m i "x 0 o c e n i z d o k Ba d n o [c i p r z y r z d w p o m i a r o w y c h . N i e p e w n o [
o k r e s u d r g a D o b l i c z y z e w z o r u "T = "t / n , p r z y j m u j c z a "t u Ba m e k s e k u n d y .
N a z a k o Dc z e n i e d r u g i e j c z [c i w i c z e n i a o b l i c z y w a r t o [c i w s p Bc z y n n i k w k p o -
Bc z o n y c h r w n o l e g l e i s z e r e g o w o s p r |y n z e w z o r w ( 6 3 . 9 ) i ( 6 3 . 1 1 ) , n a p o d s t a w i e
z m i e r z o n y c h w a r t o [c i w s p Bc z y n n i k w k 1 i k 2 p o s z c z e g l n y c h s p r |y n . M a k s y m a l n a
n i e p e w n o [ w s p Bc z y n n i k a k d l a p o Bc z e n i a r w n o l e g Be g o s p r |y n j e s t r w n a :
| "k | = | "k 1 | + | "k 2 | , ( 6 3 . 2 1 )
a d l a p o Bc z e n i a s z e r e g o w e g o r w n a :
"k 1 "k 2
| "k | = k 2 + . ( 6 3 . 2 2 )
2 2
k 1 k 2
W d y s k u s j i o t r z y m a n y c h w y n i k w s p r a w d z i , c z y r |n i c e m i d z y w a r t o [c i a m i
w s p Bc z y n n i k w k o r a z G , w y z n a c z o n y c h m e t o d a m i o b c i |e n i a s p r |y n y i d r g a D h a r -
m o n i c z n y c h , o r a z r |n i c e m i d z y w a r t o [c i a m i w s p Bc z y n n i k a k u k Ba d w s p r |y n , o k r e -
[l o n y c h d o [w i a d c z a l n i e i o b l i c z o n y c h z e w z o r w ( 6 3 . 9 ) i ( 6 3 . 1 1 ) , m i e s z c z s i w g r a -
n i c a c h o s z a c o w a n y c h n i e p e w n o [c i p o m i a r o w y c h .
6 3 . 6 . W y m a g a n e w i a d o m o [c i
1 . P r o s t e o d k s z t a Bc e n i a s p r |y s t e g o m a t e r i a Bu r o z c i g a n i e i [c i s k a n i e , o d k s z t a Bc e -
n i e o b j t o [c i o w e i p o s t a c i o w e , o r a z c h a r a k t e r y z u j c e j e w s p Bc z y n n i k i .
2 . W i e l k o [c i o p i s u j c e r u c h h a r m o n i c z n y p r o s t y .
3 . W y p r o w a d z e n i e w z o r u ( 6 3 . 6 ) n a o k r e s d r g a D c i a Ba w r u c h u h a r m o n i c z n y m p r o s t y m .
6 3 . 7 . L i t e r a t u r a
[ 1 ] H . S z y d Bo w s k i P r a c o w n i a f i z y c z n a , W y d a w n i c t w o N a u k o w e P W N , W a r s z a w a
1 9 9 9 .
[ 2 ] D . H a l l i d a y , R . R e s n i c k , J . W a l k e r P o d s t a w y f i z y k i , t . 1 , W y d a w n i c t w o N a u k o w e
P W N , W a r s z a w a 2 0 0 5 .
[ 3 ] C z . B o b r o w s k i F i z y k a k r t k i k u r s , W y d a w n i c t w a N a u k o w o - T e c h n i c z n e , W a r -
s z a w a 2 0 0 5 .
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