O B W O D Y I S Y G N A AY 2 W y k Ba d 1 5 : S t a n y n i e u s t a l o n e w o b w o d a c h S L S
1 5 . S T A N Y N I E U S T A L O N E W O B W O D A C H S L S
1 5 . 1 . W P R O W A D Z E N I E
R o z p a t r z m y u k Ba d S L S , n a k t r y d z i a Ba m y z d e t e r m i n o w a n y m w y m u -
s z e n i e m x ( t ) o k r e [l o n y m d l a t "( - ", + ") .
J e [l i i n t e r e s u j e n a s f u n k c j a o k r e [l o n e j w i e l k o [c i f i z y c z n e j w t y m
u k Ba d z i e , t o m o |e m y n a z y w a j o d p o w i e d z i r ( t ) u k Ba d u n a i s t n i e j c e
w y m u s z e n i e x ( t ) r y s . 1 5 . 1 .
x ( t ) r ( t )
u k Ba d
S L S
R y s . 1 5 . 1 .
D o t y c h c z a s r o z p a t r y w a l i [m y o b w o d y w s t a n i e u s t a l o n y m - c o
o z n a c z a Bo , |e m o m e n t w Bc z e n i a zr d Ba w y m u s z a j c e g o d o o b w o d u b y B
n i e s k o Dc z e n i e o d l e g By o d m o m e n t u o b s e r w a c j i . W w c z a s w s z y s t k i e n a -
p i c i a i p r d y w y s t p u j c e w o b w o d z i e m i a By t e n s a m c h a r a k t e r , c o w y -
m u s z e n i e - r y s . 1 5 . 2 .
x ( t )
r ( t )
t
t o b s
x ( t )
r ( t )
t
t o b s
R y s . 1 5 . 2 .
d r i n |. M a r e k S z u l i m
1 / 4 1
e - m a i l : m s z u l i m @ w a t . e d u . p l
O B W O D Y I S Y G N A AY 2 W y k Ba d 1 5 : S t a n y n i e u s t a l o n e w o b w o d a c h S L S
J e [l i w j a k i m [ m o m e n c i e c z a s u ( t k ) n a s t p i
d o w o l n a z m i a n a w a r u n k w p r a c y u k Ba d u
z m i a n a s y g n a Bu w y m u s z a j c e g o ( n p . z m i a n a
p a r a m e t r w s y g n a Bu , w t y m t a k |e z a Bc z e n i a
l u b w y Bc z e n i a )
K O M U T A C J A
z m i a n a s t r u k t u r y o b w o d u ( n p . o d Bc z e n i e e l e -
m e n t u , d o Bc z e n i e e l e m e n t u d o d a t k o w e g o )
z m i a n a p a r a m e t r w o b w o d u
t o n o w e w a r u n k i w y m u s z a j o c z y w i [c i e i n n f u n k c j o d p o w i e d z i u k Ba d u ,
c z y l i i n n y s t a n u s t a l o n y .
P r z e j [c i e o d j e d n e g o s t a n u u s t a l o n e g o d o d r u g i e g o - p r z e j [c i e z a p o -
c z t k o w a n e w c h w i l i k o m u t a c j i ( t k ) - t r w a p e w i e n o k r e [l o n y c z a s , k t r y
n a z y w a m y c z a s e m t r w a n i a s t a n u n i e u s t a l o n e g o ( t ") a s t a n u k Ba d u , w k t -
r y m z n a j d u j e s i o n w p r z e d z i a l e c z a s u [ t k , t "] , n a z y w a m y S T A N E M
N I E U S T A L O N Y M ( o d p o w i e d z m a c h a r a k t e r r |n y o d w y m u s z e n i a )
r y s . 1 5 . 3 .
r ( t )
t
t k = 0 t
s t a n
I s t a n I I s t a n
n i e u s t a l o n y
u s t a l o n y u s t a l o n y
r ( t )
t k s t a n t
t
I I s t a n
I s t a n
n i e u s t a l o n y
u s t a l o n y
u s t a l o n y
R y s . 1 5 . 3 .
P r z y j m u j e m y z a Bo |e n i e , |e c z a s t r w a n i a k o m u t a c j i j e s t r w n y z e r u , t z n .
w s z y s t k i e z m i a n y o d b y w a j s i b e z z w Bo c z n i e .
d r i n |. M a r e k S z u l i m
2 / 4 1
e - m a i l : m s z u l i m @ w a t . e d u . p l
0
0
0
0
O B W O D Y I S Y G N A AY 2 W y k Ba d 1 5 : S t a n y n i e u s t a l o n e w o b w o d a c h S L S
1 5 . 2 . P R A W A K O M U T A C J I , W A R U N K I P O C Z T K O W E
K o m u t a c j a m o |e b y p r z y c z y n w y s t p o w a n i a s k o k o w y c h z m i a n
p r d w i n a p i w o b w o d z i e . I s t n i e j j e d n a k o g r a n i c z e n i a , k t r y m p o d l e g a
k a |d y o b w d . W y n i k a j o n e z f a k t u , i | w r e a l n y c h o b w o d a c h m o c c h w i -
l o w a n i e m o |e b y n i e s k o Dc z e n i e w i e l k a
d W ( t )
p ( t ) = < " ( 1 5 . 1 )
d t
c o o z n a c z a c i g Bo [ f u n k c j i e n e r g i i c i g Bo [ t a m u s i w y s t p o w a r w -
n i e | w c h w i l i k o m u t a c j i .
N a p o d s t a w i e z a s a d y c i g Bo [c i e n e r g i i w o b w o d z i e o r a z p a m i t a j c ,
|e w a r t o [ e n e r g i i n a g r o m a d z o n e j
w p o l u m a g n e t y c z n y m c e w k i o i n - w p o l u e l e k t r y c z n y m k o n d e n s a t o r a
d u k c y j n o [c i L , p r z e z k t r p r z e - o p o j e m n o [c i C , n a Ba d o w a n e g o d o
p By w a p r d i L w y n o s i ( 2 . 8 ) n a p i c i a u C w y n o s i ( 2 . 5 )
1 1
W L ( t ) = L i L 2 ( t ) W C ( t ) = C u C 2 ( t )
2 2
M o |e m y s f o r m u Bo w a d w a p r a w a k o m u t a c j i :
P i e r w s z e p r a w o k o m u t a c j i D r u g i e p r a w o k o m u t a c j i
P r d p By n c y p r z e z c e w k n i e m o - N a p i c i e n a k o n d e n s a t o r z e n i e m o -
|e u l e c s k o k o w e j z m i a n i e , c o |e z m i e n i s i s k o k o w o , c o o z n a -
o z n a c z a , |e p r d c e w k i w c h w i l i c z a , |e n a p i c i e n a k o n d e n s a t o r z e
t u | p o k o m u t a c j i r w n a s i p r d o - w c h w i l i t u | p o k o m u t a c j i j e s t r w -
w i t u | p r z e d k o m u t a c j n e n a p i c i u t u | p r z e d k o m u t a c j
i L ( 0 + ) = i L ( 0 - ) u C ( 0 + ) = u C ( 0 - )
( 1 5 . 2 ) ( 1 5 . 3 )
U W A G A : N i e m a |a d n y c h p r z e s Ba n e k w y k l u c z a j c y c h s k o k o w e z m i a n y
p o z o s t a By c h w i e l k o [c i w o b w o d z i e , t z n . : n a p i n a c e w k a c h ,
p r d w k o n d e n s a t o r w l u b t e | p r d w i n a p i r e z y s t o r w .
d r i n |. M a r e k S z u l i m
3 / 4 1
e - m a i l : m s z u l i m @ w a t . e d u . p l
O B W O D Y I S Y G N A AY 2 W y k Ba d 1 5 : S t a n y n i e u s t a l o n e w o b w o d a c h S L S
Z a k Ba d a j c , |e c h w i l k o m u t a c j i u w a |a b d z i e m y z a c h w i l p o c z t -
k o w ( t K = 0 ) a n a l i z y o b w o d u w s t a n i e n i e u s t a l o n y m , i s t o t n e j e s t w y z n a -
c z e n i e w a r u n k w p o c z t k o w y c h p r o c e s u .
W a r u n k i p o c z t k o w e s t a n o w i z b i r w a r t o [c i p r d w w i n d u k c y j -
n o [c i a c h i n a p i n a p o j e m n o [c i a c h u k Ba d u
w c h w i l i p o c z t k o w e j . W a r u n k i p o c z t k o -
w e o k r e [l a j c a Bk o w i t w a r t o [ e n e r g i i
z g r o m a d z o n e j w u k Ba d z i e w c h w i l i t K = 0 .
W y z n a c z e n i e w a r u n k w p o c z t k o w y c h w o b w o d z i e w i |e s i z :
" r o z w i z a n i e m s t a n u u s t a l o n e g o o b w o d u p r z e d k o m u t a c j ,
" o k r e [l e n i e m p o s t a c i c z a s o w e j t e g o r o z w i z a n i a n a p r d y c e w e k
i n a p i c i a k o n d e n s a t o r w ,
" w y z n a c z e n i e m r o z w i z a n i a o d p o w i a d a j c e g o c h w i l i c z a s o w e j
k o m u t a c j i .
O z n a c z a t o , i | p o d s t a w d o u s t a l e n i a w a r u n k w p o c z t k o w y c h o b w o -
d u s p r a w a k o m u t a c j i .
U W A G A : W a r u n k i p o c z t k o w e m o g b y ( i c z s t o s ) z e r o w e !
1 5 . 3 . A N A L I Z A S T A N W N I E U S T A L O N Y C H
W c e l u z b a d a n i a z m i a n w a r t o [c i d a n e j w i e l k o [c i o b w o d u ( p r d u , n a -
p i c i a ) w s t a n i e n i e u s t a l o n y m s t o s u j e s i w p r a k t y c e j e d n z d w c h m e t o d :
m e t o d k l a s y c z n b d z m e t o d o p e r a t o r o w .
W y z n a c z e n i e r o z w i z a D o b w o d w S L S w s t a n i e n i e u s t a l o n y m
M e t o d a k l a s y c z n a M e t o d a o p e r a t o r o w a
p o l e g a j c a n a b e z p o [r e d n i m r o z w i - w y k o r z y s t u j c a w Ba [c i w o [c i
z a n i u r w n a D r |n i c z k o w y c h ( z w y - p r z e k s z t a Bc e n i a L a p l a c e a .
c z a j n y c h , l i n i o w y c h o s t a By c h w s p B-
c z y n n i k a c h ) o p i s u j c y c h o b w d
d r i n |. M a r e k S z u l i m
4 / 4 1
e - m a i l : m s z u l i m @ w a t . e d u . p l
O B W O D Y I S Y G N A AY 2 W y k Ba d 1 5 : S t a n y n i e u s t a l o n e w o b w o d a c h S L S
1 5 . 4 . M E T O D A K L A S Y C Z N A
M o d e l e m m a t e m a t y c z n y m o b w o d u e l e k t r y c z n e g o k l a s y S L S , o d o -
w o l n e j k o n f i g u r a c j i , j e s t u k Ba d r w n a D r |n i c z k o w o - c a Bk o w y c h , w y n i k a -
j c y c h z p r a w K i r c h h o f f a i d e f i n i c j i e l e m e n t w R , L i C . W c e l u w y z n a -
c z e n i a p o s z u k i w a n y c h p r d w i n a p i w s z y s t k i e r w n a n i a n a l e |y s p r o -
w a d z i d o u k Ba d u r w n a D r |n i c z k o w y c h o p o s t a c i o g l n e j
d r 1 ( t ) = a 1 1 r 1 ( t ) + a 1 2 r 2 ( t ) + . . . + a 1 n r n ( t ) + f 1 ( t )
#
#
d t
d r 2 ( t ) = a 2 1 r 1 ( t ) + a 2 2 r 2 ( t ) + . . . + a 2 n r n ( t ) + f 2 ( t ) #
#
#
( 1 5 . 4 )
d t
#
#
M
d r n ( t ) = a n 1 r 1 ( t ) + a n 2 r 2 ( t ) + . . . + a n n r n ( t ) + f n ( t ) #
#
#
d t #
g d z i e : r 1 ( t ) . . . r n ( t ) z m i e n n e o z n a c z a j c e p r d y c e w e k l u b n a p i c i a k o n d e n s a t o r w
( t z w . z m i e n n e s t a n u ) ; s t a Be w s p Bc z y n n i k i a i j s t a n o w i k o m b i n a c j w a r t o [c i p a -
r a m e t r w R , L , C ; f u n k c j e c z a s u f 1 ( t ) . . . f n ( t ) z w i z a n e z w y m u s z e n i a m i x 1 ( t ) . . .
x n ( t ) ; l i c z b a r w n a D n z a l e |y o d l i c z b y r e a k t a n c j i w o b w o d z i e .
R o z w i z u j c u k Ba d r w n a D z u w a g i n a p o s z u k i w a n f u n k c j o d p o -
w i e d z i r ( t ) p r z y z n a n y m w y m u s z e n i u x ( t ) o t r z y m u j e m y r w n a n i e r |n i c z -
k o w e z w y c z a j n e , l i n i o w e o s t a By c h w s p Bc z y n n i k a c h n - t e g o r z d u o p o s t a -
c i :
n n - 1
d r ( t ) + a n - 1 d r ( t ) d r ( t )
a n + . . . + a 1 + a 0 r ( t ) = x ( t )
( 1 5 . 5 )
d t
d t n d t n - 1
R o z w i z a n i e m r w n a n i a ( 1 5 . 5 ) o k r e [l a j c y m a n a l i t y c z n p o s t a o d -
p o w i e d z i r ( t ) j e s t t a k z w a n a c a Bk a o g l n a r w n a n i a n i e j e d n o r o d n e g o
( C . O . R . N . )
r ( t ) = C . O . R . N . ( 1 5 . 6 )
T e o r i a r w n a D r |n i c z k o w y c h m w i , |e j e s t o n a s u m d w c h s k Ba d o -
w y c h : c a Bk i o g l n e j r w n a n i a j e d n o r o d n e g o ( C . O . R . J . ) i c a Bk i s z c z e g l n e j
r w n a n i a n i e j e d n o r o d n e g o ( C . S . R . N . ) . Z a t e m
d r i n |. M a r e k S z u l i m
5 / 4 1
e - m a i l : m s z u l i m @ w a t . e d u . p l
O B W O D Y I S Y G N A AY 2 W y k Ba d 1 5 : S t a n y n i e u s t a l o n e w o b w o d a c h S L S
r ( t ) = C . O . R . N . C . O . R . J . C . S . R . N .
= + ( 1 5 . 7 )
s k Ba d o w a o d p o w i e d z i s k Ba d o w a o d p o w i e d z i
n i e z a l e |n a o d w y m u s z e n i a w y w o Ba n a p r z e z w y m u s z e n i a
o z n a c z a n a r S ( t ) i n a z y w a n a o z n a c z a n a r W ( t ) i n a z y w a n a
s k Ba d o w s w o b o d n s k Ba d o w w y m u s z o n
( p r z e j [c i o w ) o d p o w i e d z i ( u s t a l o n ) o d p o w i e d z i
C z y l i :
r ( t ) r S ( t ) r W ( t )
= + ( 1 5 . 8 )
S k Ba d o w a s w o b o d n a r S ( t ) o p i s u j e p r o - S k Ba d o w a w y m u s z o n a r W ( t ) o p i s u -
c e s y z a c h o d z c e w o b w o d z i e n a s k u t e k j e s t a n u s t a l o n y w o b w o d z i e p r z y
n i e z e r o w y c h w a r u n k w p o c z t k o w y c h d z i a Ba j c y m w y m u s z e n i u , m o |e b y
p r z y b r a k u w y m u s z e D z e w n t r z n y c h . z a t e m Ba t w o w y z n a c z o n a d o w o l n z
S k Ba d o w a p r z e j [c i o w a z a l e |y j e d y n i e o d p o z n a n y c h m e t o d a n a l i z y o b w o d w .
w a r u n k w p o c z t k o w y c h , s t r u k t u r y o b -
w o d u i w a r t o [c i p a r a m e t r w t e g o o b w o -
d u . C e c h c h a r a k t e r y s t y c z n r S ( t ) j e s t j e j
l i m [ r S ( t ) ] = 0 ( 1 5 . 9 )
z a n i k a n i e z b i e g i e m c z a s u d o z e r a
t !+ "
R w n a n i e s k Ba d o w e j s w o b o d n e j r S ( t ) o t r z y m u j e s i z a k Ba d a j c w y m u -
s z e n i e x ( t ) w e w z o r z e ( 1 5 . 5 ) r w n e z e r u i z a s t p u j c z m i e n n r ( t ) p o p r z e z
j e j s k Ba d o w s w o b o d n r S ( t )
n n - 1
d r S ( t ) + a n - 1 d r S ( t ) d r S ( t )
a n + . . . + a 1 + a 0 r S ( t ) = 0
( 1 5 . 1 0 )
d t
d t n d t n - 1
R o z w i z a n i e r w n a n i a j e d n o r o d n e g o ( 1 0 . 1 0 ) u z y s k u j e s i z a p o [r e d n i c t w e m r w n a -
n i a c h a r a k t e r y s t y c z n e g o , k t r e m a p o s t a
a n s n + a n - 1 s n - 1 + . . . + a 1 s + a 0 = 0
( 1 5 . 1 1 )
j e [l i w i e l o m i a n t e n p o s i a d a t y l k o p i e r w i a s t k i p o j e d y n c z e s i ( i = 1 , 2 , . . . n ) , t o
n
s i t
r S ( t ) = A i e
( 1 5 . 1 2 )
"
i = 1
g d z i e w s p Bc z y n n i k i A i ( i = 1 , 2 , . . . n ) s s t a By m i c a Bk o w a n i a , k t r y c h w a r t o [c i w y z n a -
c z a s i w o p a r c i u o z n a j o m o [ w a r u n k w p o c z t k o w y c h .
d r i n |. M a r e k S z u l i m
6 / 4 1
e - m a i l : m s z u l i m @ w a t . e d u . p l
O B W O D Y I S Y G N A AY 2 W y k Ba d 1 5 : S t a n y n i e u s t a l o n e w o b w o d a c h S L S
P R Z Y K AA D 1 5 . 1
R o z p a t r z y m y s t a n n i e u s t a l o n y w o b w o d z i e
a )
R
s z e r e g o w y m R C p r z y z e r o w y c h w a r u n k a c h p o -
c z t k o w y c h i z a Bc z e n i u n a p i c i a s t a Be g o E w
( r y s . a ) .
C
E
Z e r o w e w a r u n k i p o c z t k o w e o z n a c z a j , |e
u C ( 0 - ) = 0 b )
R
i ( t )
P o p r z e Bc z e n i u w y Bc z n i k a w p o w s t a j e w o b w o -
d z i e s t a n n i e u s t a l o n y . S c h e m a t o b w o d u d l a s t a n u u C ( t )
C
E
n i e u s t a l o n e g o m a p o s t a p r z e d s t a w i o n n a r y s . b .
S t o s u j c p r a w o n a p i c i o w e K i r c h h o f f a d l a t e g o o b w o d u m o |e m y n a p i s a
E - R i ( t ) - u C ( t ) = 0
d u C ( t )
i u w z g l d n i a j c , |e i ( t ) = C o t r z y m u j e m y r w n a n i e r |n i c z k o w e n i e -
d t
j e d n o r o d n e o p o s t a c i [ p a t r z ( 1 5 . 5 ) ]
d u C ( t )
R C + u C ( t ) = E
d t
S t a n n i e u s t a l o n y j e s t s u p e r p o z y c j s t a n u u s t a l o n e g o i p r z e j [c i o w e g o .
u C ( t ) u C S ( t ) u C W ( t )
= +
S t a n u s t a l o n y p r z y w y m u s z e n i u s t a By m o z n a -
c )
R
c z a , |e k o n d e n s a t o r s t a n o w i p r z e r w ( r y s . c ) .
Z g o d n i e z N P K n a p i c i e u s t a l o n e k o n d e n s a -
t o r a j e s t r w n e
E
u C W ( t )
u C W ( t ) = E
S c h e m a t o b w o d u d l a s t a n u p r z e j [c i o w e g o ( p o
z w a r c i u zr d Ba n a p i c i o w e g o ) - r y s . d . d )
R
i ( t )
S
D l a t e g o o b w o d u o t r z y m u j e m y r w n a n i e r |-
n i c z k o w e j e d n o r o d n e o p o s t a c i [ p a t r z ( 1 5 . 1 0 ) ]
u C S ( t )
C
d u C S ( t )
R C + u C S ( t ) = 0
d t
d r i n |. M a r e k S z u l i m
7 / 4 1
e - m a i l : m s z u l i m @ w a t . e d u . p l
O B W O D Y I S Y G N A AY 2 W y k Ba d 1 5 : S t a n y n i e u s t a l o n e w o b w o d a c h S L S
R w n a n i e c h a r a k t e r y s t y c z n e m o |n a z a p i s a j a k o [ p a t r z ( 1 5 . 1 1 ) ]
R C s + 1 = 0
R w n a n i e t o p o s i a d a j e d e n p i e r w i a s t e k s 1 = - 1 / R C . W z w i z k u z p o w y |s z y m j e g o
r o z w i z a n i e w y n i k a j c e z e w z o r u ( 1 5 . 1 2 ) p r z y j m u j e u p r o s z c z o n p o s t a
t
-
R C
u C S ( t ) = A 1 e
W r o z w i z a n i u t y m w s p Bc z y n n i k A 1 j e s t s t a B c a Bk o w a n i a , k t r e j w a r t o [ w y z n a -
c z a m y w o p a r c i u o z n a j o m o [ w a r u n k w p o c z t k o w y c h .
R o z w i z a n i e o s t a t e c z n e , b d c e s u m s k Ba d o w e j w y m u s z o n e j i s w o b o d n e j
p r z y b i e r a p o s t a [ p a t r z ( 1 5 . 8 ) ]
t
-
R C
u C ( t ) = u C W ( t ) + u C S ( t ) = E + A 1 e
P o n i e w a | d r u g i e p r a w o k o m u t a c j i m w i , |e u C ( 0 - ) = u C ( 0 + ) s t d w o b e c
u C ( 0 - ) = 0 o t r z y m u j e m y
0 = E + A 1 o r a z A 1 = - E
C z y l i r o z w i z a n i e c z a s o w e o k r e [l a j c e p r z e b i e g n a p i c i a n a k o n d e n s a t o r z e
p r z y j m u j e p o s t a
t t
# #
-
R C #1 - R C #
u C ( t ) = E - E e = E - e
# #
# #
r ( t ) r S ( t ) r W ( t )
= +
t
-
R C
u C ( t ) E
= - E e
+
d r i n |. M a r e k S z u l i m
8 / 4 1
e - m a i l : m s z u l i m @ w a t . e d u . p l
O B W O D Y I S Y G N A AY 2 W y k Ba d 1 5 : S t a n y n i e u s t a l o n e w o b w o d a c h S L S
t
-
R C
u C ( t ) E
= - E e
+
M i a r p r d k o [c i
u C W ( t )
E
z m i a n p r z e b i e g w n i e -
u C ( t )
u s t a l o n y c h w o b w o d z i e
0 , 6 3 E
m o |e b y s t a Ba c z a s u
o b w o d u .
2 3 4 5
0
S t a Ba c z a s u o b -
t
u C S ( t ) w o d u j e s t t o c z a s , p o
- 0 , 3 7 E
k t r y m w a r t o [ b e z -
w z g l d n a s k Ba d o w e j
s w o b o d n e j o d p o w i e -
- E
d z i m a l e j e e - k r o t n i e .
S t a Ba c z a s u r o z p a t r y w a n e g o o b w o d u R C w y r a |a s i i l o c z y n e m r e z y s t a n c j i R i
p o j e m n o [c i C
= R C
Z t e o r e t y c z n e g o p u n k t u w i d z e n i a o b w d o s i g a s t a n u s t a l o n y
p o c z a s i e n i e s k o Dc z o n y m .
P r a k t y c z n i e j e d n a k s t a n u s t a l o n y n a s t p u j e w w c z a s , g d y
s k Ba d o w a s w o b o d n a j e s t d o p o m i n i c i a
w s t o p n i u z a l e |n y m o d |d a n e j d o k Ba d n o [c i ( t a b e l a 1 )
T a b l i c a 1 .
t
1 2 3 4 4 , 6 5
r S ( t )
1 0 0 %
3 6 , 8 1 3 , 5 5 1 , 8 1 0 , 7
A 1
r ( t )
0 , 6 3 2 0 , 8 6 5 0 , 9 5 0 , 9 8 2 0 , 9 9 0 , 9 9 3
r W ( t )
d r i n |. M a r e k S z u l i m
9 / 4 1
e - m a i l : m s z u l i m @ w a t . e d u . p l
O B W O D Y I S Y G N A AY 2 W y k Ba d 1 5 : S t a n y n i e u s t a l o n e w o b w o d a c h S L S
1 5 . 5 . M E T O D A O P E R A T O R O W A
B a r d z i e j e f e k t y w n m e t o d o d m e t o d y k l a s y c z n e j j e s t m e t o d a o p e r a -
t o r o w a j e j e f e k t y w n o [ p o l e g a n a a l g e b r a i z a c j i r w n a n i a r |n i c z k o -
w e g o , p r z y c z y m w a r u n k i p o c z t k o w e w c h o d z n i e j a k o a u t o m a t y c z n i e d o
z a l g e b r a i z o w a n e g o . M i m o i | j e s t t o o k r |n a d r o g a r o z w i z a n i a , w y n i k
u z y s k u j e m y z n a c z n i e s z y b c i e j n i | m e t o d b e z p o [r e d n i .
S c h e m a t d o k o n y w a n y c h o p e r a c j i
W . P .
x ( t )
O p e r a t o r o w y
O B W D
s c h e m a t z a s t p c z y
E L E K T R Y C Z N Y
W Y M U S Z E N I E
o b w o d u
L
R w n a n i e
R w n a n i e
o p e r a t o r o w e
r |n i c z k o w o - c a Bk o w e ( a l g e b r a i c z n e w d z i e d z i n i e
( w d z i e d z i n i e c z a s u ) z m i e n n e j z e s p o l o n e j s )
W . P .
r o z w i z a n i e
a l g e b r a i c z n e
W . P .
O D P O W I E D y
L - 1 O d p o w i e d z o p e r a t o r o w a
C Z A S O W A
R ( s )
r ( t )
A b y b i e g l e p o s Bu g i w a s i m e t o d o p e r a t o r o w m u s i m y p o z n a :
1 . P r z e k s z t a Bc e n i a L a p l a c e a ( t r a n s f o r m a t y s y g n a B w p r z y c z y n o w y c h )
2 . P o d s t a w o w e t w i e r d z e n i a r a c h u n k u o p e r a t o r o w e g o
3 . S c h e m a t y z a s t p c z e i p o d s t a w o w e p r a w a o b w o d w w r a -
c h u n k u o p e r a t o r o w y m
4 . M e t o d y w y z n a c z a n i a o r y g i n a Bu f u n k c j i o p e r a t o r o w e j
d r i n |. M a r e k S z u l i m
1 0 / 4 1
e - m a i l : m s z u l i m @ w a t . e d u . p l
M E T O D A
K L A S Y C Z N A
O B W O D Y I S Y G N A AY 2 W y k Ba d 1 5 : S t a n y n i e u s t a l o n e w o b w o d a c h S L S
1 5 . 5 . 1 . P R Z E K S Z T A AC E N I A L A P L A C E A
R o z p a t r y w a b d z i e m y f u n k c j f ( t ) z m i e n n e j r z e c z y w i s t e j t s p e Bn i a j -
c n a s t p u j c e w a r u n k i :
- f u n k c j a f ( t ) j e s t o k r e [l o n a d l a t > 0 i r w n a z e r u , g d y t < 0 ;
- w a r t o [ b e z w z g l d n a f u n k c j i f ( t ) n i e r o [n i e s z y b c i e j n i | f u n k c j a
w y k Ba d n i c z a , g d y t ! " ( f ( t ) d" M e b t g d z i e M > 0 o r a z b > 0 )
P r z e k s z t a Bc e n i e , k t r e p r z y p o r z d k o w u j e f u n k c j i f ( t ) z m i e n n e j
r z e c z y w i s t e j t , f u n k c j F ( s ) b d c f u n k c j z m i e n n e j z e s p o l o n e j
s = + j z a p o m o c z a l e |n o [c i
"
L [ f ( t ) ] = F ( s ) = f ( t ) e - s t d t
( 1 5 . 1 3 )
+"
0
n a z y w a m y p r o s t y m p r z e k s z t a Bc e n i e m L a p l a c e a
l u b L - t r a n s f o r m a t
F u n k c j F ( s ) z m i e n n e j z e s p o l o n e j s n a z y w a m y t r a n s f o r m a t f u n k c j i f ( t ) .
W y z n a c z e n i e f u n k c j i f ( t ) ( n a z y w a n e j o r y g i n a Be m ) o d p o w i a d a j -
c e j z n a n e j f u n k c j i F ( s ) u m o |l i w i a o d w r o t n e p r z e k s z t a Bc e n i e L a p l a c e a
n a z y w a n e t e | L - 1 - t r a n s f o r m a t
c + j "
1
- 1
f ( t ) = F ( s ) e s t d s = L [ F ( s ) ]
( 1 5 . 1 4 )
+"
2 j
c - j "
P r z e k s z t a Bc e n i a L a p l a c e a w y r a |o n e w z o r a m i ( 1 5 . 1 3 ) i ( 1 5 . 1 4 ) s
w z a j e m n i e j e d n o z n a c z n e , c z y l i
L
- 1
L { L [ f ( t ) ] } = f ( t ) d l a t > 0
f ( t ) F ( s )
( 1 5 . 1 5 )
- 1
L
d r i n |. M a r e k S z u l i m
1 1 / 4 1
e - m a i l : m s z u l i m @ w a t . e d u . p l
O B W O D Y I S Y G N A AY 2 W y k Ba d 1 5 : S t a n y n i e u s t a l o n e w o b w o d a c h S L S
T R A N S F O R M A T Y S Y G N A A W P R Z Y C Z Y N O W C H
A ) F u n k c j a j e d n o s t k o w a
f ( t )
0 d l a t < 0
#
1
f ( t ) = 1 ( t ) =
#1 d l a t > 0
# t
0
"
"
1 1 1
# #
F ( s ) = L [ 1 ( t ) ] = = e - s t d t = - e - s t = 0 - - =
# #
+"1
s s s
# #
0
0
B ) F u n k c j a w y k Ba d n i c z a
f ( t )
a < 0
- a t
f ( t ) = A e 1 ( t )
A
a > 0
t
0
" " "
- a t t
F ( s ) = L [ f ( t ) ] = A e - a t e - s t d t = A e - ( s + a ) t d t =
+" +"e e - s d t = A +"
0 0 0
"
1 A
= A e - ( s + a ) t =
s + a s + a
0
C ) F u n k c j a h a r m o n i c z n a
f ( t ) = A s i n t "1 ( t )
" "
j t - j t
e - e A
- ( s - j ) t
F ( s ) = A e - s t d t = - e - ( s + j ) t d t =
+" +"e
2 j 2 j
0 0
" "
# #
A 1 1
= # e - ( s - j ) t + e - ( s + j ) t =
#
2 j ( s - j ) ( s + j )
#- #
0 0
# #
A # 1 1 A # 1 1 #
= ( 0 - 1 ) + ( 0 - 1 ) # = # - # =
#- #
2 j s - j ( s + j ) # 2 j s - j ( s + j ) #
# # # #
A s + j - s + j A 2 j
= = = A
2 2 2
2 j 2 j
s 2 + s 2 + s 2 +
d r i n |. M a r e k S z u l i m
1 2 / 4 1
e - m a i l : m s z u l i m @ w a t . e d u . p l
O B W O D Y I S Y G N A AY 2 W y k Ba d 1 5 : S t a n y n i e u s t a l o n e w o b w o d a c h S L S
T a b l i c a 2 . T r a n s f o r m a t y L a p l a c e a w y b r a n y c h f u n k c j i
l p . l p .
f ( t ) F ( s ) f ( t ) F ( s )
s
1
1 1 1 3 - a t ) e - a t
( 1
( s + a ) 2
s
a
s i n t
2 a 1 4
2
s
s 2 +
1 s
c o s t
3 t 1 5
2
s 2 s 2 +
n !
n
t
4 1 6
e - a t s i n t
2 2
n + 1
( s 2 + ) +
s
n "N
s + a
1
- a t
5 1 7
e - a t c o s t
e
2 2
( s 2 + ) +
s + a
2 s
1
- a t
t s i n t
6 1 8
t e
2
2
( s + a ) 2
( s 2 + )
2
s 2 -
n !
n - a t
t e t c o s t
7 1 9
2
2
( s + a ) n + 1
( s 2 + )
n "N
1
1
s h t
8 e - t 2 0
2
1 + s
s 2 -
1 s
1
c h t
( 1 - e - a t )
9 2 1
2
s ( s + a )
a s 2 -
1
1 0
1 - e - t
2
s ( 1 + s ) 2 2 e - a t s h t
( s + a ) 2 -
1 s + a
e - a t - e - b t
1 1 2 3
e - a t c h t
2
( s + a ) ( s + b )
( s + a ) 2 -
b - a
s
a e - a t - b e - b t
1 2 2 4 ( t )
1
( s + a ) ( s + b )
a - b
d r i n |. M a r e k S z u l i m
1 3 / 4 1
e - m a i l : m s z u l i m @ w a t . e d u . p l
O B W O D Y I S Y G N A AY 2 W y k Ba d 1 5 : S t a n y n i e u s t a l o n e w o b w o d a c h S L S
1 5 . 5 . 2 . P O D S T A W O W E T W I E R D Z E N I A
R A C H U N K U O P E R A T O R O W E G O
A ) T w i e r d z e n i e o l i n i o w o [c i
J e |e l i f u n k c j e f 1 ( t ) i f 2 ( t ) p o s i a d a j t r a n s f o r m a t y , t z n .
L [ f 1 ( t ) ] = F 1 ( s ) i L [ f 2 ( t ) ] = F 2 ( s )
t o d l a d o w o l n y c h l i c z b a o r a z b z a c h o d z i
L [ a f 1 ( t ) + b f 2 ( t ) ] = a F 1 ( s ) + b F 2 ( s )
( 1 5 . 1 6 )
B ) T w i e r d z e n i e o t r a n s f o r m a c i e p o c h o d n e j
J e [l i f u n k c j a f ( t ) i j e j p o c h o d n a f ( t ) s L - t r a n s f o r m o w a l n e , t o t r a n s -
f o r m a t p o c h o d n e j m o |e m y w y r a z i p r z e z t r a n s f o r m a t s a m e j f u n k c j i n a -
s t p u j c o
L [ f ' ( t ) ] = s L [ f ( t ) ] - f ( 0 + ) = s F ( s ) - f ( 0 + )
( 1 5 . 1 7 )
g d z i e : f ( 0 + ) p r a w o s t r o n n a g r a n i c a f u n k c j i f ( t ) w p u n k c i e t = 0
( w a r t o [ p o c z t k o w a f u n k c j i f ( t ) )
T r a n s f o r m a t p o c h o d n e j n - t e g o r z d u f u n k c j i f ( t ) o b l i c z a m y z e w z o r u
n - 1
( n )
L [ f ( t ) ] = s n F ( s ) - ( 1 5 . 1 8 )
"s ( n - k - 1 ) f ( k ) ( 0 + )
k = 0
J e [l i w a r u n k i p o c z t k o w e s z e r o w e t o w i d a w y r a zn i e , |e
r |n i c z k o w a n i e f u n k c j i w d z i e d z i n i e c z a s u
o d p o w i a d a m n o |e n i u L - t r a n s f o r m a t y s a m e j f u n k c j i p r z e z s
w p o t d z e r w n e j r z d o w i p o c h o d n e j .
d r i n |. M a r e k S z u l i m
1 4 / 4 1
e - m a i l : m s z u l i m @ w a t . e d u . p l
O B W O D Y I S Y G N A AY 2 W y k Ba d 1 5 : S t a n y n i e u s t a l o n e w o b w o d a c h S L S
C ) T w i e r d z e n i e o t r a n s f o r m a c i e c a Bk i
J e [l i f u n k c j a f ( t ) j e s t L - t r a n s f o r m o w a l n a , t o t r a n s f o r m a t c a Bk i m o |e -
m y w y r a z i p r z e z t r a n s f o r m a t s a m e j f u n k c j i n a s t p u j c o
( - 1 )
F ( s ) f ( 0 + )
L [ +" f ( t ) ] = +
( 1 5 . 1 9 )
s s
g d z i e : f ( - 1 ) ( 0 + ) o z n a c z a w a r t o [ c a Bk i w c h w i l i t = 0 +
( m o |n a j r o z u m i e j a k o w a r t o [ p o c z t k o w - w a r u n e k p o c z t k o w y )
J e [l i w a r u n e k p o c z t k o w y j e s t z e r o w y t o
c a Bk o w a n i e f u n k c j i w d z i e d z i n i e c z a s u
o d p o w i a d a d z i e l e n i u L - t r a n s f o r m a t y f u n k c j i p o d c a Bk o w e j p r z e z s
D ) T w i e r d z e n i e o p r z e s u n i c i u w d z i e d z i n i e r z e c z y w i s t e j ( c z a s u )
J e |e l i d a n a j e s t f u n k c j a p r z y c z y n o w a f ( t ) 1 ( t ) L - t r a n s f o r m o w a l n a o
t r a n s f o r m a c i e F ( s ) , t o t r a n s f o r m a t a f u n k c j i p r z e s u n i t e j f ( t - t 0 ) 1 ( t - t 0 ) d l a t e"0
o k r e [l o n a j e s t n a s t p u j c o
- s t 0
L [ f 1 ( t - t 0 ) "1 ( t - t 0 ) ] = F ( s ) e
( 1 5 . 2 0 )
P r z y k Ba d : D a n a j e s t f u n k c j a w y m u s z e n i a n a p i c i o w e g o w p o s t a c i i m p u l s u p r o s t o -
k t n e g o . N a l e |y w y z n a c z y t r a n s f o r m a t t e j f u n k c j i
f ( t ) f ( t )
U d l a t d" 0 < t 0
#
U 1 ( t )
f ( t ) =
#
U U
0 d l a t 0 < t < 0
#
t t
0 0
i n n y o p i s
t 0
- U 1 ( t - t 0 )
f ( t ) = U "1 ( t ) - U "1 ( t - t 0 )
- U
Z g o d n i e z t w i e r d z e n i e m o l i n i o w o [c i o r a z o p r z e s u n i c i u w d z i e d z i n i e c z a s u n a p i -
s z e m y :
F ( s ) = L [ U "1 ( t ) - U "1 ( t - t 0 ) ]
U U
- s t 0
= L [ U "1 ( t ) ] - L [ U "1 ( t - t 0 ) ] = - e
s s
d r i n |. M a r e k S z u l i m
1 5 / 4 1
e - m a i l : m s z u l i m @ w a t . e d u . p l
O B W O D Y I S Y G N A AY 2 W y k Ba d 1 5 : S t a n y n i e u s t a l o n e w o b w o d a c h S L S
E ) T w i e r d z e n i e o p r z e s u n i c i u w d z i e d z i n i e z m i e n n e j z e s p o l o n e j
J e |e l i F ( s ) j e s t t r a n s f o r m a t f u n k c j i f ( t ) o r a z a j e s t d o w o l n l i c z b z e -
s p o l o n b d z r z e c z y w i s t , t o t r a n s f o r m a t a o a r g u m e n c i e p r z e s u n i t y m
s p e Bn i a n a s t p u j c z a l e |n o [
- a t
F ( s + a ) = L [ e f ( t ) ]
( 1 5 . 2 1 )
F ) T w i e r d z e n i e o t r a n s f o r m a c i e f u n k c j i o k r e s o w e j ( o o k r e s i e T )
J e |e l i f ( t ) = f ( t + k T ) , k = 1 , 2 . . . ; t o
F T ( s )
F ( s ) =
- s t
1 - e
T
- s t
g d z i e : F T ( s ) = f ( t ) e d t
+"
0
1 5 . 5 . 3 . P O D S T A W O W E P R A W A I S C H E M A T Y Z A S T P C Z E
O B W O D W W R A C H U N K U O P E R A T O R O W Y M
N a j e f e k t y w n i e j s z d r o g p o s t p o w a n i a w m e t o d z i e o p e r a t o r o w e j j e s t
o k r e [l e n i e t r a n s f o r m a t p r d w i n a p i b e z p o [r e d n i o n a p o d s t a w i e o b w o -
d u b e z k o n i e c z n o [c i u k Ba d a n i a r w n a D r |n i c z k o w o c a Bk o w y c h . A b y t o
u z y s k a n a l e |y o p r a c o w a o p e r a t o r o w y s c h e m a t z a s t p c z y d a n e g o o b -
w o d u - w t y m c e l u k a |d y e l e m e n t o b w o d u z a s t p u j e s i o d p o w i e d n i m
m o d e l e m w d z i e d z i n i e o p e r a t o r o w e j .
M o d e l e o p e r a t o r o w e i d e a l n y c h e l e m e n t w o b w o d u o k r e [l a m y n a
p o d s t a w i e :
- o p e r a t o r o w y c h z a l e |n o [c i m i d z y n a p i c i e m i p r d e m e l e m e n t u ;
- p r a w K i r c h h o f f a w p o s t a c i o p e r a t o r o w e j
d r i n |. M a r e k S z u l i m
1 6 / 4 1
e - m a i l : m s z u l i m @ w a t . e d u . p l
O B W O D Y I S Y G N A AY 2 W y k Ba d 1 5 : S t a n y n i e u s t a l o n e w o b w o d a c h S L S
I p r a w o K i r c h h o f f a
K
" i k ( t ) = 0
k
k = 1
g d z i e : i k ( t ) n a t |e n i e p r d u w k - t e j g a Bz i ; K l i c z b a g a Bz i d o Bc z o n y c h d o d a n e g o w z Ba
k w s p Bc z y n n i k o w a r t o [c i 1 l u b 1 , z a l e |n i e o d z w r o t u p r d u w z g l d e m w z Ba
P o z a s t o s o w a n i u d o p o w y |s z e g o r w n a n i a p r z e k s z t a Bc e n i a L a p l a c e a i
w y k o r z y s t a n i u t w i e r d z e n i a o l i n i o w o [c i t e g o p r z e k s z t a Bc e n i a ( 1 5 . 1 6 )
o t r z y m u j e m y
K
( 1 5 . 2 2 )
" I k ( s ) = 0
k
k = 1
R w n a n i e ( 1 5 . 2 2 ) w y r a |a I p r a w o K i r c h h o f f a w p o s t a c i o p e r a t o r o w e j
A l g e b r a i c z n a s u m a t r a n s f o r m a t p r d w w e w s z y s t k i c h g a B-
z i a c h d o Bc z o n y c h d o d a n e g o w z Ba s c h e m a t u o p e r a t o r o w e g o
j e s t r w n a z e r u
I I p r a w o K i r c h h o f f a
J
" u ( t ) = 0
j j
j = 1
g d z i e : u j ( t ) n a p i c i e n a j - t y m e l e m e n c i e o c z k a ; J l i c z b a e l e m e n t w w o c z k u
j w s p Bc z y n n i k o w a r t o [c i 1 l u b 1 , z a l e |n i e o d z w r o t u n a p i c i a w z g l d e m p r z y j -
t e g o o b i e g u p o o c z k a
P o z a s t o s o w a n i u d o w w . r w n a n i a p r z e k s z t a Bc e n i a L a p l a c e a i w y k o -
r z y s t a n i u t w i e r d z e n i a o l i n i o w o [c i o t r z y m u j e m y
J
( 1 5 . 2 3 )
" U ( s ) = 0
j j
j = 1
R w n a n i e ( 1 5 . 2 3 ) w y r a |a I I p r a w o K i r c h h o f f a w p o s t a c i o p e r a t o r o w e j
A l g e b r a i c z n a s u m a t r a n s f o r m a t n a p i n a w s z y s t k i c h e l e m e n -
t a c h w c h o d z c y c h w s k Ba d d a n e g o o c z k a s c h e m a t u o p e r a t o -
r o w e g o j e s t r w n a z e r u
d r i n |. M a r e k S z u l i m
1 7 / 4 1
e - m a i l : m s z u l i m @ w a t . e d u . p l
O B W O D Y I S Y G N A AY 2 W y k Ba d 1 5 : S t a n y n i e u s t a l o n e w o b w o d a c h S L S
O p e r a t o r o w e z a l e |n o [c i m i d z y n a p i c i e m a p r d e m i d e a l -
n y c h e l e m e n t w o b w o d u i i c h m o d e l e o p e r a t o r o w e .
R E Z Y S T O R
P r z e b i e g i e l e k t r y c z n e n a p i c i a i p r d u r e z y s t o r a o r e z y s t a n c j i R p o d l e -
g a j p r a w u O h m a
u ( t ) = R i ( t )
P o z a s t o s o w a n i u p r z e k s z t a Bc e n i a L a p l a c e a i w y k o r z y s t a n i u t w i e r d z e n i a o
l i n i o w o [c i t e g o p r z e k s z t a Bc e n i a o t r z y m u j e m y
R
I ( s )
U ( s ) = R I ( s )
( 1 5 . 2 4 )
U ( s )
W z r ( 1 5 . 2 4 ) w y r a |a p r a w o O h m a w p o s t a c i o p e r a t o r o w e j . W y n i k a
z n i e g o , |e m o d e l o p e r a t o r o w y r e z y s t o r a j e s t c h a r a k t e r y z o w a n y j e g o r e z y -
s t a n c j R .
C E W K A
O p i s w d z i e d z i n i e O p i s w d z i e d z i n i e
M o d e l o p e r a t o r o w y
c z a s u o p e r a t o r o w e j
L i ( 0 + )
s L
I ( s )
U ( s ) = s L I ( s ) - L i ( 0 + )
d i ( t )
u ( t ) = L
d t
U ( s )
( 1 5 . 2 5 )
I ( s )
U ( s ) i ( 0 + )
I ( s ) = +
1
i ( 0 + )
s L s
i ( t ) =
s L
U ( s )
+"u ( t ) d t
s
L
( 1 5 . 2 6 )
d r i n |. M a r e k S z u l i m
1 8 / 4 1
e - m a i l : m s z u l i m @ w a t . e d u . p l
O B W O D Y I S Y G N A AY 2 W y k Ba d 1 5 : S t a n y n i e u s t a l o n e w o b w o d a c h S L S
K O N D E N S A T O R
O p i s w d z i e d z i n i e O p i s w d z i e d z i n i e
M o d e l o p e r a t o r o w y
c z a s u o p e r a t o r o w e j
I ( s )
I ( s ) = s C U ( s ) - C u ( 0 + )
d u ( t )
i ( t ) = C
C u ( 0 + )
s C
U ( s )
d t
( 1 5 . 2 7 )
+
u ( 0 )
1
I ( s ) u ( 0 + )
s C s
U ( s ) = +
I ( s )
1
s C s
u ( t ) =
+"i ( t ) d t
C
U ( s )
( 1 5 . 2 8 )
I D E A L N E yR D AO N A P I C I A I P R D U
I d e a l n e zr d Ba n a p i c i a i p r d u w o b w o d z i e e l e k t r y c z n y m c h a r a k t e r y -
z u j n a p i c i e zr d Bo w e u 0 ( t ) l u b n a t |e n i e p r d u zr d Bo w e g o i Z ( t ) - w i e l k o -
[c i n i e z a l e |n e o d w a r u n k w p r a c y o d p o w i e d n i c h zr d e B. W s c h e m a c i e
o p e r a t o r o w y m o b w o d u , zr d Ba t e s c h a r a k t e r y z o w a n e t r a n s f o r m a t a m i :
n a p i c i a zr d Bo w e g o n a t |e n i a p r d u zr d Bo w e g o
U 0 ( s ) = L [ u 0 ( t ) ] ( 1 5 . 2 9 )
I Z ( s ) = L [ i Z ( t ) ] ( 1 5 . 3 0 )
L L
u 0 ( t ) U ( s ) i Z ( t ) I Z ( s )
0
d r i n |. M a r e k S z u l i m
1 9 / 4 1
e - m a i l : m s z u l i m @ w a t . e d u . p l
O B W O D Y I S Y G N A AY 2 W y k Ba d 1 5 : S t a n y n i e u s t a l o n e w o b w o d a c h S L S
P R Z Y K AA D 1 5 . 2
R o z p a t r z m y g a Bz p a s y w n z a w i e r a j c e l e m e n t y R , L , C .
i ( t ) R I ( s ) R
u ( t ) U ( s )
R R
L
s L
U ( s )
L
u ( t )
L
u ( t ) U ( s )
+
U ( s )
u ( t ) C
C
L i ( 0 )
L
+
1
u ( 0 )
C
s C
s
U ( s ) = U R ( s ) + U L ( s ) + U C ( s )
1 u C ( 0 + )
U ( s ) = R I ( s ) + s L I ( s ) - L i L ( 0 + ) + I ( s ) +
s C s
#
u C ( 0 + ) # # 1 #
U ( s ) + ( 0 + ) - = I ( s ) #R + s L +
#L i #
L
#
s s C
# #
# #
# #
u C ( 0 + ) # u C ( 0 + ) #
U ( s ) + ( 0 + ) - U ( s ) + ( 0 + ) -
#L i # #L i #
L L
s s
# # # #
I ( s ) = = =
1
Z ( s )
R + s L +
s C
#
u C ( 0 + ) #
= Y ( s ) U ( s ) + Y ( s ) #L i L ( 0 + ) -
#
s
# #
1
g d z i e : Z ( s ) = R + s L + i m p e d a n c j a o p e r a t o r o w a
s C
Y ( s ) = 1 Z ( s ) a d m i t a n c j a o p e r a t o r o w a
d r i n |. M a r e k S z u l i m
2 0 / 4 1
e - m a i l : m s z u l i m @ w a t . e d u . p l
O B W O D Y I S Y G N A AY 2 W y k Ba d 1 5 : S t a n y n i e u s t a l o n e w o b w o d a c h S L S
1 5 . 5 . 4 . M E T O D Y W Y Z N A C Z A N I A
O R Y G I N A AU F U N K C J I O P E R A T O R O W E J
W c e l u w y z n a c z e n i a f u n k c j i c z a s u n a p o d s t a w i e d a n e j t r a n s f o r m a t y
n a j c z [c i e j k o r z y s t a s i z m e t o d w y n i k a j c y c h z w Ba s n o [c i p r z e k s z t a Bc e n i a
L a p l a c e a .
M e t o d a r e s i d u w
R ( s ) r ( t )
M e t o d a t a b l i c o w a
M E T O D A R E S I D U W
F u n k c j a o p e r a t o r o w a p o s z u k i w a n e j o d p o w i e d z i R ( s ) j e s t , d l a o b w o -
d w k l a s y S L S , k o m b i n a c j l i n i o w o p e r a t o r o w e j f u n k c j i w y m u s z a j c e j
X ( s ) o r a z p a r a m e t r w o b w o d u , w y r a |o n y c h w k o n w e n c j i o p e r a t o r o w e j ( R ,
s L , 1 / s C ) a p o n a d t o c z Bo n w o p i s u j c y c h w a r u n k i p o c z t k o w e { L i L ( 0 + ) ,
u C ( 0 + ) / s } . J e [l i f u n k c j a o p e r a t o r o w a w y m u s z e n i a j e s t f u n k c j w y m i e r n
( d a j c s i w y r a z i j a k o i l o r a z w i e l o m i a n w z m i e n n e j s ) , t o i f u n k c j a o p e -
r a t o r o w a o d p o w i e d z i j e s t f u n k c j w y m i e r n .
P o w y |s z e r o z u m o w a n i e p r o w a d z i d o s t w i e r d z e n i a , |e w o g l n y m
p r z y p a d k u f u n k c j o p e r a t o r o w m o |e m y w y r a z i j a k o i l o r a z d w c h w i e -
l o m i a n w z m i e n n e j s
a n s n + a n - 1 s n - 1 + K + a 1 s + a 0 L ( s )
R ( s ) = = ( 1 5 . 3 1 )
( s )
b m s m + b m - 1 s m - 1 + K + b 1 s + b 0 M
R w n a n i e a l g e b r a i c z n e :
L ( s ) = 0 p o s i a d a p i e r w i a s t k i : s 1 0 , s 2 0 . . . s n 0 , k t r e n a z y w a m y z e r a m i R ( s )
M ( s ) = 0 p o s i a d a p i e r w i a s t k i : s 1 , s 2 . . . s m , k t r e n a z y w a m y b i e g u n a m i R ( s )
d r i n |. M a r e k S z u l i m
2 1 / 4 1
e - m a i l : m s z u l i m @ w a t . e d u . p l
O B W O D Y I S Y G N A AY 2 W y k Ba d 1 5 : S t a n y n i e u s t a l o n e w o b w o d a c h S L S
J e [l i z n a m y z e r a i b i e g u n y f u n k c j i R ( s ) , t o r w n a n i e ( 1 5 . 3 1 ) m o |e m y
p r z e d s t a w i w p o s t a c i
n
"( s - s i 0 )
a n i = 1
R ( s ) = " ( 1 5 . 3 2 )
b m m
"( s - s k )
k = 1
Z z a p i s u ( 1 5 . 3 2 ) w y n i k a j e d n o z n a c z n i e , |e z e r a i b i e g u n y f u n k c j i R ( s )
n i e m o g s i p o k r y w a . P r z y j m u j e m y p o n a d t o , |e n < m ( s t o p i e D l i c z n i k a
j e s t m n i e j s z y n i | m i a n o w n i k a ) .
P r z y s p e Bn i e n i u w w . w a r u n k w o d w r o t n e p r z e k s z t a Bc e n i e L a p l a c e a
m o |e m y p r z e d s t a w i w p o s t a c i
m
#
# #
r ( t ) = L - 1 [ R ( s ) ] = r e s [ R ( s ) e s t ] #"1 ( t )
( 1 5 . 3 3 )
# #
"
s = s k
# #
# k = 1 #
t o z n a c z y , |e o r y g i n a B p o s z u k i w a n e j f u n k c j i r ( t ) j e s t r w n y s u m i e r e s i d u -
w f u n k c j i p o d c a Bk o w e j ( 1 5 . 1 4 ) w e w s z y s t k i c h b i e g u n a c h s k o p e r a t o r o w e j
f u n k c j i o d p o w i e d z i R ( s ) .
U W A G A :
J e [l i w w y r a |e n i u ( 1 5 . 3 2 ) , w j e g o m i a n o w n i k u w y s t p i e l e -
m e n t y p o s t a c i s p l u b ( s - s k ) p - o z n a c z a t o , |e w p u n k c i e 0 l u b
s k w y s t p u j e b i e g u n p - k r o t n y .
d r i n |. M a r e k S z u l i m
2 2 / 4 1
e - m a i l : m s z u l i m @ w a t . e d u . p l
O B W O D Y I S Y G N A AY 2 W y k Ba d 1 5 : S t a n y n i e u s t a l o n e w o b w o d a c h S L S
W p r z y p a d k u b i e g u n w w i e l o k r o t n y c h ( n i e c h w p u n k c i e s = s k w y -
s t p u j e b i e g u n p - k r o t n y ) f u n k c j i R ( s ) r e s i d u u m f u n k c j i R ( s ) e s t o b l i c z y n a -
l e |y z n a s t p u j c e g o w z o r u
( p - 1 )
#
1 d
p
r e s [ R ( s ) e s t ] = l i m [ ( s - s k ) R ( s ) e s t ] #
( 1 5 . 3 4 )
# #
( p - 1 )
s !s k
s = s k ( p - 1 ) !
#d s #
P r z y k Ba d : R o z p a t r z y m y w y z n a c z e n i e L - 1 t r a n s f o r m a t y f u n k c j i
1
R ( s ) =
( s + 3 ) 2 ( s + 5 )
Z a d a n a f u n k c j a m a j e d e n b i e g u n 2 - k r o t n y s 1 = - 3 i j e d e n p o j e d y n c z y s 2 = - 5
W y k o r z y s t u j c w z r ( 1 5 . 3 3 ) , o t r z y m u j e m y
r ( t ) = r e s [ R ( s ) e s t ] + r e s [ R ( s ) e s t ]
s = s 1 s = s 2
N a s t p n i e w y k o r z y s t u j e m y z a l e |n o [ ( 1 5 . 3 4 ) i u z y s k u j e m y
1 # d
r ( t ) = l i m [ ( s + 3 ) 2 R ( s ) e s t ] # + l i m [ ( s + 5 ) R ( s ) e s t ] =
# #
s !- 3 s !- 5
( 2 - 1 ) !
#d s #
# #
# ## # #
d 1 1
#
= l i m ( s + 3 ) 2 e s t ## + l i m ( s + 5 ) e s t # =
#
# #
s !- 3
# ( s + 3 ) 2 ( s + 5 ) # ( s + 3 ) 2 ( s + 5 )
# ## s !- 5 # #
#d s
# #
# d 1 1
# ##
t
#
= l i m e s t =
#d s # s + 5 e s ## + l i m #
s !- 3
# ## s !- 5 # ( s + 3 ) 2 #
#
# #
# # # #
1 1 1
t
# #
= l i m - e s t + l i m e s t =
#t s + 5 e s
s !- 3
( s + 5 ) 2 # s !- 5 # ( s + 3 ) 2 #
# # # #
1 1 1
= t e - 3 t - e - 3 t + e - 5 t =
- 3 + 5
( - 3 + 5 ) 2 ( - 5 + 3 ) 2
1 1 1
#
= t e - 3 t - e - 3 t + e - 5 t #1 ( t )
# #
2 4 4
# #
d r i n |. M a r e k S z u l i m
2 3 / 4 1
e - m a i l : m s z u l i m @ w a t . e d u . p l
O B W O D Y I S Y G N A AY 2 W y k Ba d 1 5 : S t a n y n i e u s t a l o n e w o b w o d a c h S L S
W p r z y p a d k u b i e g u n w p o j e d y n c z y c h ( j e d n o k r o t n y c h ) f u n k c j i R ( s )
r e s i d u u m f u n k c j i R ( s ) e s t w b i e g u n i e s = s k m o |e m y w y z n a c z y z n a s t p u j -
c e g o w z o r u
r e s [ R ( s ) e s t ] = l i m [ ( s - s k ) R ( s ) e s t ]
( 1 5 . 3 5 )
s = s k s !s k
P r z y k Ba d : R o z p a t r z y m y w y z n a c z e n i e L - 1 t r a n s f o r m a t y f u n k c j i
1 0 s
R ( s ) =
( s + 1 ) ( s + 2 )
Z a d a n a f u n k c j a m a d w a b i e g u n y s 1 = - 1 i s 2 = - 2
W y k o r z y s t u j c w z r ( 1 5 . 3 3 ) o t r z y m u j e m y
r ( t ) = r e s [ R ( s ) e s t ] + r e s [ R ( s ) e s t ]
s = s 1 s = s 2
N a p o d s t a w i e w z o r u ( 1 0 . 3 5 ) u z y s k u j e m y
r ( t ) = l i m [ ( s + 1 ) R ( s ) e s t ] + l i m [ ( s + 2 ) R ( s ) e s t ] =
s !- 1 s !- 2
# 1 0 s # # 1 0 s #
= l i m ( s + 1 ) e s t # + l i m ( s + 2 ) e s t # =
# #
s !- 1 s !- 2
( s + 1 ) ( s + 2 ) ( s + 1 ) ( s + 2 )
# # # #
# 1 0 s # # 1 0 s #
= l i m e s t # + l i m e s t # =
# #
s !- 1 s !- 2
( s + 2 ) ( s + 1 )
# # # #
1 0 " ( - 1 ) 1 0 " ( - 2 )
= e - 1 t + e - 2 t =
( - 1 + 2 ) ( - 2 + 1 )
= ( - 1 0 e - t + 2 0 e - 2 t ) 1 ( t )
d r i n |. M a r e k S z u l i m
2 4 / 4 1
e - m a i l : m s z u l i m @ w a t . e d u . p l
O B W O D Y I S Y G N A AY 2 W y k Ba d 1 5 : S t a n y n i e u s t a l o n e w o b w o d a c h S L S
U W A G A :
J e [l i f u n k c j a R ( s ) m a w y Bc z n i e b i e g u n y p r o s t e i n i e p o s i a d a b i e -
g u n a w z e r z e , b a r d z o w y g o d n y m w s t o s o w a n i u p r z y o b l i c z a n i u o r y g i n a Bu
j e s t t z w . w z r H e a v i s i d e a , k t r y n o s i n a z w
I - g o t w i e r d z e n i a o r o z k Ba d z i e
m
L ( s k )
r ( t ) = e s k t "1 ( t )
( 1 5 . 3 6 )
"
M ' ( s k )
k = 1
g d z i e : L ( s k ) w a r t o [ w i e l o m i a n u L ( s ) d l a s = s k
M ( s k ) w a r t o [ p o c h o d n e j w i e l o m i a n u M ( s ) d l a s = s k
P r z y k Ba d : R o z p a t r z y m y w y z n a c z e n i e L - 1 t r a n s f o r m a t y f u n k c j i
5 s + 1 0 8
R ( s ) =
s 2 + 1 8 s + 3 2
Z a d a n a f u n k c j a p o s i a d a b i e g u n y s 1 = - 2 o r a z s 2 = - 1 6
P o c h o d n a w i e l o m i a n u m i a n o w n i k a M ( s ) = 2 s + 1 8
P o p o d s t a w i e n i u o t r z y m a n y c h w a r t o [c i d o w z o r u ( 1 5 . 3 6 ) , w y z n a c z a m y
5 ( - 2 ) + 1 0 8 5 ( - 1 6 ) + 1 0 8
r ( t ) = e - 2 t + e - 1 6 t =
2 ( - 2 ) + 1 8 2 ( - 1 6 ) + 1 8
= ( 7 e - 2 t - 2 e - 1 6 t ) 1 ( t )
d r i n |. M a r e k S z u l i m
2 5 / 4 1
e - m a i l : m s z u l i m @ w a t . e d u . p l
O B W O D Y I S Y G N A AY 2 W y k Ba d 1 5 : S t a n y n i e u s t a l o n e w o b w o d a c h S L S
J e [l i f u n k c j a R ( s ) m a w y Bc z n i e b i e g u n y p r o s t e i p o s i a d a b i e g u n
w z e r z e , t o m o |n a j p r z e d s t a w i w p o s t a c i
L ( s ) M ( s )
R ( s ) = g d z i e V ( s ) = ( 1 5 . 3 7 )
V ( s ) s
p r z y c z y m s t o p i e D w i e l o m i a n u V ( s ) w y n o s i m - 1
W w c z a s
m
L ( 0 ) L ( s k )
r ( t ) = "1 ( t ) + e s k t "1 ( t )
( 1 5 . 3 8 )
"
V ( 0 ) s k V ' ( s k )
k = 1
j e s t t o t z w . I I t w i e r d z e n i e o r o z k Ba d z i e
g d z i e : L ( 0 ) w a r t o [ w i e l o m i a n u L ( s ) d l a s = 0
V ( 0 ) w a r t o [ w i e l o m i a n u V ( s ) d l a s = 0
V ( s k ) w a r t o [ p o c h o d n e j w i e l o m i a n u V ( s ) d l a s = s k
s k ( k = 1 , 2 , . . . m - 1 ) n i e z e r o w e b i e g u n y t r a n s f o r m a t y
P r z y k Ba d : R o z p a t r z y m y w y z n a c z e n i e L - 1 t r a n s f o r m a t y f u n k c j i
2 1 0 0
R ( s ) =
s ( s 2 + 4 5 s + 2 0 0 )
P i e r w i a s t k i w i e l o m i a n u V ( s ) : s 1 = - 5 o r a z s 2 = - 4 0
P o c h o d n a w i e l o m i a n u V ( s ) = 2 s + 4 5
P o n i e w a | j e d n o c z e [n i e : L ( 0 ) = 2 1 0 0 , V ( 0 ) = 2 0 0
t o p o p o d s t a w i e n i u o b l i c z o n y c h w a r t o [c i d o w z o r u ( 1 5 . 3 8 ) w y z n a c z a m y
2 1 0 0 2 1 0 0 e - 5 t 2 1 0 0 e - 4 0 t
r ( t ) = + =
2 0 0 ( - 5 ) [ 2 ( - 5 ) + 4 5 ] + ( - 4 0 ) [ 2 ( - 4 0 ) + 4 5 ]
= ( 1 0 , 5 - 1 2 e - 5 t + 1 , 5 e - 4 0 t ) 1 ( t )
d r i n |. M a r e k S z u l i m
2 6 / 4 1
e - m a i l : m s z u l i m @ w a t . e d u . p l
O B W O D Y I S Y G N A AY 2 W y k Ba d 1 5 : S t a n y n i e u s t a l o n e w o b w o d a c h S L S
1 5 . 6 . A N A L I Z A S T A N W N I E U S T A L O N Y C H
W O B W O D A C H E L E K T R Y C Z N Y C H K L A S Y S L S
Z A AO {E N I A
P r z y j m i j m y , |e :
- d a n y j e s t o b w d e l e k t r y c z n y w d z i e d z i n i e c z a s u , t z n . z n a n a j e s t
j e g o s t r u k t u r a ( s c h e m a t o b w o d u ) o r a z w a r t o [c i p a r a m e t r w ;
- d a n e s f u n k c j e w y m u s z a j c e , n p . : u 0 K ( t ) , i Z K ( t ) , t z n . d a n y j e s t
i c h o p i s f u n k c y j n y b d z w y k r e s z m i e n n o [c i w c z a s i e ;
- d a n y j e s t j e d n o z n a c z n i e c z a s k o m u t a c j i t K , n p . : t K = 0 ;
- o p i s a n y j e s t j e d n o z n a c z n i e s t a n e n e r g e t y c z n y o b w o d u d l a t < t K
1 5 . 6 . 1 . A L G O R Y T M A N A L I Z Y
J e [l i s p e Bn i o n e s w s z y s t k i e p r z e d s t a w i o n e p o w y |e j z a Bo |e n i a , w w -
c z a s m e t o d y k a p o s t p o w a n i a w p r o c e s i e a n a l i z y s t a n u n i e u s t a l o n e g o z
w y k o r z y s t a n i e m r a c h u n k u o p e r a t o r o w e g o j e s t c i g i e m u p o r z d k o w a n y c h
n a s t p u j c y c h d z i a Ba D:
`$ U s t a l a m y w a r u n k i p o c z t k o w e ( W . P . ) w o p a r c i u o z n a j o m o [ s t a n u
o b w o d u d l a t < t K o r a z p r a w k o m u t a c j i ;
a$ W y z n a c z a m y n a p o d s t a w i e z n a j o m o [c i f u n k c j i w y m u s z a j c y c h
[ u 0 K ( t ) , i Z K ( t ) ] i c h p o s t a o p e r a t o r o w [ U 0 K ( s ) , I Z K ( s ) ] ;
b$ S p o r z d z a m y s c h e m a t o p e r a t o r o w y o b w o d u u w z g l d n i a j c W . P . ;
c$ D o k o n u j e m y a n a l i z y o b w o d u o p e r a t o r o w e g o ( d o w o l n z p o z n a n y c h
m e t o d a n a l i z y ) i w y z n a c z a m y p o s t a o p e r a t o r o w p o s z u k i w a n e j b d z
p o s z u k i w a n y c h w i e l k o [c i [ R ( s ) ] ;
d$ Z n a j d u j e m y o r y g i n a B p o s z u k i w a n e j b d z p o s z u k i w a n y c h w i e l k o [c i
[ r ( t ) ] i e w e n t u a l n i e s p o r z d z a m y w y k r e s z m i e n n o [c i t e j w i e l k o [c i .
d r i n |. M a r e k S z u l i m
2 7 / 4 1
e - m a i l : m s z u l i m @ w a t . e d u . p l
O B W O D Y I S Y G N A AY 2 W y k Ba d 1 5 : S t a n y n i e u s t a l o n e w o b w o d a c h S L S
W Y J A ZN I E N I E P O J C I A
R Z D O B W O D U
" O b w o d y S L S r z d u p i e r w s z e g o o b w o d y o p i s a n e r w n a n i a m i
r |n i c z k o w y m i r z d u p i e r w s z e g o .
O b w o d y t a k i e m a j t y l k o j e d e n e l e m e n t i n e r c y j n y .
" O b w o d y S L S w y |s z y c h r z d w o b w o d y o p i s a n e r w n a n i a m i
r |n i c z k o w y m i r z d u w y |s z e g o n i | p i e r w s z y .
O b w o d y t a k i e z a w i e r a j w i c e j n i | j e d e n e l e m e n t i n e r c y j n y .
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
R o z w a |m y s z e r e g o w y o b w d R L C , d o k t r e g o w c h w i l i t = 0 z o s t a j e d o B-
c z o n a s i Ba e l e k t r o m o t o r y c z n a e . R w n a n i e o b w o d u d l a t > 0 m a p o s t a
t
d i 1
R i + L + d t + u 0 = e
+"i
d t C
0
W i e d z c , |e
t
d u C 1
i = C o r a z u C = d t + u 0
+"i
d t C
0
o t r z y m u j e m y
2
d u C d u C
R C + L C + u C = e
d t d t
d r i n |. M a r e k S z u l i m
2 8 / 4 1
e - m a i l : m s z u l i m @ w a t . e d u . p l
O B W O D Y I S Y G N A AY 2 W y k Ba d 1 5 : S t a n y n i e u s t a l o n e w o b w o d a c h S L S
1 5 . 6 . 2 . O B W O D Y P I E R W S Z E G O R Z D U
R
R o z p a t r z y m y s t a n n i e u s t a l o - i ( t )
n y w o b w o d z i e s z e r e g o w y m R C .
W c h w i l i t = 0 o t w a r t o w y Bc z n i k
u C ( t )
U t = 0 C
W . W y z n a c z y p r z e b i e g p r d u ,
0
j e |e l i u ( t ) = U 0 = 1 0 V , R = 1 0 0 , w
C = 2 m F .
`$ U s t a l a m y w a r u n k i p o c z t k o w e ( W . P . ) w o p a r c i u o z n a j o m o [ s t a n u
o b w o d u d l a t < t K o r a z p r a w k o m u t a c j i :
u C ( 0 + ) = u C ( 0 - ) = 0
a$ W y z n a c z a m y n a p o d s t a w i e z n a j o m o [c i f u n k c j i w y m u s z a j c e j j e j p o -
s t a o p e r a t o r o w :
U 0
U ( s ) = L [ u ( t ) ] = L [ U 0 ] =
s
R
b$ S p o r z d z a m y s c h e m a t o p e r a -
I ( s )
t o r o w y o b w o d u u w z g l d n i a j c
U ( s )
R
W . P .
U ( s ) 1
U ( s )
s C
C
c$ D o k o n u j e m y a n a l i z y o b w o d u o p e r a t o r o w e g o i w y z n a c z a m y p o s t a
o p e r a t o r o w p o s z u k i w a n e j w i e l k o [c i .
U 0 U 0 0 , 1
Z g o d n i e z p r a w e m O h m a : I ( s ) = = =
# 1 # # 1 # s + 5
s # R + # R # s + #
# # # #
s C R C
# # # #
d$ Z n a j d u j e m y o r y g i n a B p o s z u k i w a n e j w i e l k o [c i .
N a p o d s t a w i e t a b e l i ( l p . 5 ) : i ( t ) = 0 , 1 e - 5 t 1 ( t )
d r i n |. M a r e k S z u l i m
2 9 / 4 1
e - m a i l : m s z u l i m @ w a t . e d u . p l
O B W O D Y I S Y G N A AY 2 W y k Ba d 1 5 : S t a n y n i e u s t a l o n e w o b w o d a c h S L S
P R Z Y K AA D 1 5 . 3 : W c h w i l i t = 0 o t w a r t o w y Bc z n i k W . N a r y s o w a p r z e -
b i e g p r d u c e w k i p r z e d i p o t e j c h w i l i . O b l i c z y p r d
w c e w c e p o 3 m s o d c h w i l i o t w a r c i a W .
t = 0
D a n e :
d l a t < 0 w u k Ba d z i e p a n o w a B s t a n
u s t a l o n y , w
i L ( t )
L = 0 , 1 H , R = 1 0 .
u ( t )
R
L
u ( t ) = 1 5 7 s i n ( 3 1 4 t + 1 2 0 o ) ,
`$ U s t a l a m y w a r u n k i p o c z t k o w e ( W . P . ) w o p a r c i u o z n a j o m o [ s t a n u
o b w o d u d l a t < t K o r a z p r a w k o m u t a c j i :
j 1 2 0
U = 1 5 7 e
m
j
U U m e U m j ( - 9 0 ) j 3 0
m
I = = = e = 5 e
m L
j 9 0
j L L
L e
d l a t < 0 i L ( t ) = 5 s i n ( 3 1 4 t + 3 0 0 )
d l a t = 0 i L ( 0 ) = 5 s i n 3 0 0 = 2 , 5
z a t e m i L ( 0 + ) = i L ( 0 - ) = 2 , 5
a$ W y z n a c z a m y n a p o d s t a w i e z n a j o m o [c i f u n k c j i w y m u s z a j c e j j e j p o -
s t a o p e r a t o r o w : B R A K
I L ( s )
b$ S p o r z d z a m y s c h e m a t o p e -
r a t o r o w y o b w o d u u w z g l d -
s L
R
n i a j c W . P .
+
L i ( 0 )
c$ D o k o n u j e m y a n a l i z y o b w o d u o p e r a t o r o w e g o i w y z n a c z a m y p o s t a
o p e r a t o r o w p o s z u k i w a n e j w i e l k o [c i .
d r i n |. M a r e k S z u l i m
3 0 / 4 1
e - m a i l : m s z u l i m @ w a t . e d u . p l
O B W O D Y I S Y G N A AY 2 W y k Ba d 1 5 : S t a n y n i e u s t a l o n e w o b w o d a c h S L S
Z g o d n i e z N P K : s L I L ( s ) + R I L ( s ) = L i ( 0 + )
I L ( s ) [ s L + R ] = L i ( 0 + )
L i ( 0 + ) 1
I L ( s ) = = L i ( 0 + ) s L 1 = L i ( 0 + )
R
s L + R + R #
L # s +
# #
L
# #
1 1
I L ( s ) = i ( 0 + ) = 2 , 5
R
s + 1 0 0
s +
L
d$ Z n a j d u j e m y o r y g i n a B p o s z u k i w a n e j w i e l k o [c i .
m
#
i L ( t ) = r e s [ I L ( s ) e s t ] #"1 ( t )
# " #
s = s k
# k = 1 #
#
t
i L ( t ) = [ ( s ] #"1 ( t ) =
#s l i m - s k ) I L ( s ) e s #
!s k
# #
# #
# 2 , 5 #
= l i m ( s + 1 0 0 ) e s t ##"1 ( t ) = { l i m [ 2 , 5 e s t ] } "1 ( t ) =
#s !- 1 0 0 #
s !- 1 0 0
( s + 1 0 0 )
# #
# #
= 2 , 5 e - 1 0 0 t 1 ( t )
C Z Y L I :
d l a t < 0 d l a t = 0 d l a t > 0
- 1 0 0 t
i L ( t ) = 5 s i n ( 3 1 4 t + 3 0 0 ) 2 , 5 i L ( t ) = 2 , 5 e
i L ( t )
2 , 5
I
m
1 , 8 5 2
t
3 m s
0
d r i n |. M a r e k S z u l i m
3 1 / 4 1
e - m a i l : m s z u l i m @ w a t . e d u . p l
O B W O D Y I S Y G N A AY 2 W y k Ba d 1 5 : S t a n y n i e u s t a l o n e w o b w o d a c h S L S
P R Z Y K AA D 1 5 . 4 : W c h w i l i t = 0 z a m k n i t o w y Bc z n i k W . W y z n a c z y
p r z e b i e g p r d u i n a p i c i a n a k o n d e n s a t o r z e .
w
e ( t )
R
i ( t )
E
e ( t ) u C ( t )
C
t
0
t 0
`$ U s t a l a m y w a r u n k i p o c z t k o w e ( W . P . ) w o p a r c i u o z n a j o m o [ s t a n u
o b w o d u d l a t < t K o r a z p r a w k o m u t a c j i :
u C ( 0 + ) = u C ( 0 - ) = 0
a$ W y z n a c z a m y n a p o d s t a w i e z n a j o m o [c i f u n k c j i w y m u s z a j c e j j e j p o -
s t a o p e r a t o r o w :
e ( t ) e ( t )
E 1 ( t )
E E
t t
0 0
t 0
- E 1 ( t - t 0 )
- E
e ( t ) = E "1 ( t ) - E "1 ( t - t 0 )
E
W i e m y , |e L [ E "1 ( t ) ] =
s
C z y l i z g o d n i e z t w i e r d z e n i e m o p r z e s u n i c i u w d z i e d z i n i e c z a s u
- s t 0
G d y L [ f ( t ) ] = F ( s ) t o L [ f ( t - t 0 ) "1 ( t - t 0 ) ] = F ( s ) e
i l i n i o w o [c i n a p i s z e m y :
E E E
- s t 0 - s t 0
E ( s ) = - e = ( 1 - e )
s s s
d r i n |. M a r e k S z u l i m
3 2 / 4 1
e - m a i l : m s z u l i m @ w a t . e d u . p l
O B W O D Y I S Y G N A AY 2 W y k Ba d 1 5 : S t a n y n i e u s t a l o n e w o b w o d a c h S L S
R
b$ S p o r z d z a m y s c h e m a t o p e r a -
I ( s )
t o r o w y o b w o d u u w z g l d n i a j c
1
W . P .
U ( s )
E ( s )
C
s C
c$ D o k o n u j e m y a n a l i z y o b w o d u o p e r a t o r o w e g o i w y z n a c z a m y p o s t a
o p e r a t o r o w p o s z u k i w a n e j w i e l k o [c i .
O p e r a t o r o w y p r d o b w o d u :
E
- s t 0
s ( 1 - e )
E ( s ) / " s s E ( s ) = s E ( s )
s
I ( s ) = = =
1 1
1 1
/ " s # #
R + s R +
R # s + R # s +
# # # #
s C C
R C R C
# # # #
# #
# #
E 1 E 1 1
- s t 0 - s t 0
= ( 1 - e ) = - e
# #
1 1 1
R R
# #
s + s + s +
R C # R C R C #
O p e r a t o r o w e n a p i c i e n a z a c i s k a c h k o n d e n s a t o r a :
# #
# #
1 1 E 1 1
- s t 0
U C ( s ) = I ( s ) = - e
# #
1 1
s C s C R
# #
s + s +
# R C R C #
# #
# #
E 1 1
- s t 0
= # - e #
R C
#s # s + 1 # s # s + 1 # #
# # # #
# #
R C R C
# # # #
# #
d r i n |. M a r e k S z u l i m
3 3 / 4 1
e - m a i l : m s z u l i m @ w a t . e d u . p l
O B W O D Y I S Y G N A AY 2 W y k Ba d 1 5 : S t a n y n i e u s t a l o n e w o b w o d a c h S L S
d$ Z n a j d u j e m y o r y g i n a B p o s z u k i w a n e j w i e l k o [c i .
# #
# #
E 1 1
- s t 0
I ( s ) = - e
# #
1 1
R
# #
s + s +
# R C R C #
1
M e t o d a P o z .
- a t
e
t a b l i c o w a 5
s + a
C z y l i :
1 1
# #
- t - ( t - t 0 )
E
R C R C
i ( t ) = e 1 ( t ) - e 1 ( t - t 0 ) #
#
R
# #
# #
1 1
- t - ( t - t 0 )
E E
R C R C
i ( t ) = e 1 ( t ) - e 1 ( t - t 0 )
R R
i ( t )
E
R
t
t 0
E
R
d r i n |. M a r e k S z u l i m
3 4 / 4 1
e - m a i l : m s z u l i m @ w a t . e d u . p l
O B W O D Y I S Y G N A AY 2 W y k Ba d 1 5 : S t a n y n i e u s t a l o n e w o b w o d a c h S L S
# #
# #
E 1 1
- s t 0
U C ( s ) = # - e #
R C
#s # s + 1 # s # s + 1 # #
# # # #
# #
R C R C
# # # #
# #
1
1
M e t o d a P o z .
( 1 - e - a t )
t a b l i c o w a 9
s ( s + a )
a
1 1
# #
# # # #
- t ( t - t 0 )
E
R C #1 - R C #1 - e - R C #1 - t 0 ) #
#
u C ( t ) = R C #1 - e ( t ) ( t
# # # #
R C
# #
# # # #
# #
1 1
# # # #
- t ( t - t 0 )
R C #1 - E #1 - e - R C #1 - t 0 )
u C ( t ) = E #1 - e ( t ) ( t
# # # #
# # # #
u C ( t )
E
t
t 0
E
d r i n |. M a r e k S z u l i m
3 5 / 4 1
e - m a i l : m s z u l i m @ w a t . e d u . p l
O B W O D Y I S Y G N A AY 2 W y k Ba d 1 5 : S t a n y n i e u s t a l o n e w o b w o d a c h S L S
1 5 . 6 . 3 . O B W O D Y D R U G I E G O R Z D U
N a j p r o s t s z y m r e p r e z e n t a n t e m t a k i c h o b w o d w j e s t o b w d s z e r e g o w y
R L C .
i ( t ) R
Z a B |m y , |e n a p i c i e d z i a Ba -
j c e n a z a c i s k a c h t a k i e g o o b w o d u
u R ( t )
j e s t w y m u s z e n i e m n a p i c i o w y m
u L ( t )
u ( t ) = U 1 ( t )
o p i s a n y m f u n k c j s t a B i p r z y c z y -
u C ( t )
n o w u ( t ) = U 1 ( t ) . P r z y j m i j m y , |e
p o s z u k u j e m y f u n k c j i p r d u i ( t ) .
`$ U s t a l a m y w a r u n k i p o c z t k o w e ( W . P . ) w o p a r c i u o z n a j o m o [ s t a n u
o b w o d u d l a t < t K o r a z p r a w k o m u t a c j i :
W a r u n k i p o c z t k o w e z u w a g i n a f a k t , |e d l a t < 0 U = 0 m o |e m y z g o d -
n i e z I i I I p r a w e m k o m u t a c j i n a p i s a
#
i L ( 0 - ) = i L ( 0 + ) = 0
#
#
#
u C ( 0 - ) = u C ( 0 + ) = 0
#
a$ W y z n a c z a m y n a p o d s t a w i e z n a j o m o [c i f u n k c j i w y m u s z a j c e j j e j p o -
s t a o p e r a t o r o w :
U 0
U ( s ) = L [ u ( t ) ] = L [ U 0 ] =
s
I ( s ) R
b$ S p o r z d z a m y s c h e m a t o p e r a t o -
U ( s )
R
r o w y o b w o d u u w z g l d n i a j c s L
U ( s ) U ( s )
L
U ( s )
W . P .
C
1
s C
d r i n |. M a r e k S z u l i m
3 6 / 4 1
e - m a i l : m s z u l i m @ w a t . e d u . p l
O B W O D Y I S Y G N A AY 2 W y k Ba d 1 5 : S t a n y n i e u s t a l o n e w o b w o d a c h S L S
c$ D o k o n u j e m y a n a l i z y o b w o d u o p e r a t o r o w e g o i w y z n a c z a m y p o s t a
o p e r a t o r o w p o s z u k i w a n e j w i e l k o [c i .
P r d w o b w o d z i e m o |e m y w y z n a c z y z g o d n i e z p r a w e m O h m a
U
U ( s ) U 1
s
I ( s ) = = = "
1 R 1
Z ( s ) L
R + s L + s 2 + s +
s C L L C
d$ Z n a j d u j e m y o r y g i n a B p o s z u k i w a n e j w i e l k o [c i .
R w n a n i e o p i s u j c e p r d w o b w o d z i e j e s t f u n k c j w y m i e r n
U L ( s )
I ( s ) = "
L M ( s )
W c e l u w y z n a c z e n i a t r a n s f o r m a t y o d w r o t n e j n a l e |y o b l i c z y p i e r -
w i a s t k i m i a n o w n i k a I ( s ) , c z y l i
R 1
M ( s ) = s 2 + s + = 0
L L C
W w y n i k u r o z w i z a n i a p o w y |s z e g o r w n a n i a o t r z y m u j e m y b i e g u n y
o p e r a t o r o w e j f u n k c j i p r d u
R
#
- +
#
L
s 1 =
#
#
2
#
R
#
- -
#
L
s 2 =
#
2 #
2
R 4
# #
g d z i e = - ( * )
# #
L L C
# #
j e s t w y r |n i k i e m M ( s )
d r i n |. M a r e k S z u l i m
3 7 / 4 1
e - m a i l : m s z u l i m @ w a t . e d u . p l
O B W O D Y I S Y G N A AY 2 W y k Ba d 1 5 : S t a n y n i e u s t a l o n e w o b w o d a c h S L S
M o |l i w e s t r z y p r z y p a d k i r o z w i z a n i a :
A ) > 0 d w a p i e r w i a s t k i r z e c z y w i s t e M ( s )
! o z n a c z a d w a b i e g u n y p o j e d y n c z e I ( s )
B ) = 0 j e d e n p i e r w i a s t e k p o d w j n y M ( s )
! o z n a c z a j e d e n b i e g u n d w u k r o t n y I ( s )
C ) < 0 d w a p i e r w i a s t k i z e s p o l o n e - s p r z |o n e M ( s )
! o z n a c z a d w a b i e g u n y z e s p o l o n e - s p r z |o n e I ( s )
Z z a l e |n o [c i ( * ) w y n i k a , |e :
#
L
> 0 g d y R > 2
#
C
#
#
L
= 0 g d y R = 2
#
C
#
#
L
< 0 g d y R < 2
#
C
#
R o z w a |y m y t e r a z m o |l i w e p r z y p a d k i r o z w i z a n i a
d r i n |. M a r e k S z u l i m
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e - m a i l : m s z u l i m @ w a t . e d u . p l
O B W O D Y I S Y G N A AY 2 W y k Ba d 1 5 : S t a n y n i e u s t a l o n e w o b w o d a c h S L S
P r z y p a d e k A - A P E R I O D Y C Z N Y
O b a b i e g u n y s r z e c z y w i s t e :
2
#
R R 1
# #
s 1 = - + - #
# #
2 L 2 L L C
# #
#
#
#
2
#
R R 1
# #
s 2 = - - - #
# #
#
2 L 2 L L C
# #
#
p r z e b i e g c z a s o w y p r d u :
U
s 1 t s 2 t
i A ( t ) = [ e - e ] =
2
R 1
# #
2 L -
# #
2 L L C
# #
R
2
# #
- t
U R 1
# #
# #
2 L
= e s h -
# #
2
# #
2 L L C
# #
R 1
# #
# #
L -
# #
2 L L C
# #
P r z y p a d e k B A P E R I O D Y C Z N Y - K R Y T Y C Z N Y
J e d e n b i e g u n d w u k r o t n y : P r z e b i e g c z a s o w y p r d u :
R
R
s 1 = s 2 = -
- t
U
2 L
2 L
i B ( t ) = t e
L
P r z y p a d e k C O C Y L A C Y J N Y
D w a b i e g u n y z e s p o l o n e - s p r z |o n e : P r z e b i e g c z a s o w y p r d u :
R
2
#
- t
R 1 R U
# #
2 L
s 1 = - + j - #
i C ( t ) = e s i n ( t )
# #
2 L L C 2 L L
# #
#
#
#
2
2
1 R
# # #
R 1 R
# #
g d z i e = -
# #
s 2 = - - j - #
# #
L C 2 L
# #
#
2 L L C 2 L
# #
#
d r i n |. M a r e k S z u l i m
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e - m a i l : m s z u l i m @ w a t . e d u . p l
O B W O D Y I S Y G N A AY 2 W y k Ba d 1 5 : S t a n y n i e u s t a l o n e w o b w o d a c h S L S
i ( t )
O s c y l a c y j n y
A p e r i o d y c z n y - k r y t y c z n y
A p e r i o d y c z n y
t
P r z e b i e g i c z a s o w e w y z n a c z o n y c h p r d w
d r i n |. M a r e k S z u l i m
4 0 / 4 1
e - m a i l : m s z u l i m @ w a t . e d u . p l
O B W O D Y I S Y G N A AY 2 W y k Ba d 1 5 : S t a n y n i e u s t a l o n e w o b w o d a c h S L S
1 5 . 6 . 4 . W N I O S K I
N a p o d s t a w i e d o t y c h c z a s o m w i o n y c h p r z y k Ba d w j e s t e [m y w s t a n i e
s f o r m u Bo w a w n i o s k i d o t y c z c e z a l e |n o [c i p o m i d z y p o Bo |e n i e m b i e g u -
n a s K o p e r a t o r o w e j f u n k c j i o d p o w i e d z i R ( s ) a j e j f u n k c j c z a s u r ( t ) .
Z a B |m y , |e w i e l o m i a n m i a n o w n i k a M ( s ) f u n k c j i o p e r a t o r o w e j R ( s )
n i e p o s i a d a p i e r w i a s t k w w i e l o k r o t n y c h a j e d y n i e p o j e d y n c z e , n p . :
F U N K C J A C Z A S U
B I E G U N
P R Z Y P O R Z D K O W A N A
B I E G U N O W I
s 1 = 0 A 1 ( t )
!
a t
s 2 = a ( a > 0 )
! A e 1 ( t )
- a t
s 3 = a ( a < 0 )
!
A e 1 ( t )
s 4 = ( a + j ) , s * = ( a - j ) , ( a > 0 )
! A e - a t s i n t 1 ( t )
4
- a t
s 5 = ( a + j ) , s * = ( a - j ) , ( a < 0 )
!
A e s i n t 1 ( t )
5
*
A s i n t 1 ( t )
s 6 = + j , s 6 = - j
!
j
f ( t )
A
f ( t )
t
t
f ( t )
s 6
s 5 A
s 4
t
s 3
s 1
s 2
f ( t )
s *
5
A
s *
4
s *
6
t
f ( t )
f ( t )
t
t
Z a l e |n o [ r ( t ) o d b i e g u n w R ( s ) n a p Ba s z c z y zn i e s
d r i n |. M a r e k S z u l i m
4 1 / 4 1
e - m a i l : m s z u l i m @ w a t . e d u . p l
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