Stan nieustalony w dwójniku szeregowym RLC
Wiele obwodów występujących w praktyce przedstawiamy za pomocą schematu
zastępczego, zawierającego trzy elementy, tzn. rezystor, cewkę i kondensator. Otrzymujemy
więc obwód szeregowy RLC. Omówmy zjawiska fizyczne występujące w dwójniku
szeregowym RLC Po włączeniu napięcia stałego do obwodu jak na rysunku.
L
C
R
UL
U
R
U
C
U
Zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa, w każdej chwili t>0 jest spełniony dla tego obwodu bilans napięć
u = uR + uC + uL
di
Podstawiamy do równania uR = Ri oraz
uL = L
dt
Po podstawieniu mamy
di
u = Ri + L + uc
dt
Powyższe równanie zawiera dwie niewiadome: prąd i oraz napięcie u. Jedną z tych niewiadomych można
wyeliminować, np. wyrażając prąd zależnością
duC
i = iC = C
dt
i wstawiając do równania mamy
2
duC d uC
u = RC + LC + uC
2
dt dt
Podzielimy obie strony równania przez LC, w rezultacie czego otrzymamy
2
u d uC R duC 1
= + + uC
2
LC dt L dt LC
Równanie jest równaniem różniczkowym niejednorodnym drugiego rzędu o stałych współczynnikach.
Uwaga: symbole ą, � obowiązują dla wszystkich przypadków i nie zmieniają się.
1
Napięcie wymuszone na kondensatorze , stanowiące całkę szczególną równania różniczkowego
niejednorodnego, ma kształt jak wymuszenie, jest zatem stałe i wynosi U.
Z kolei napięcie swobodne na kondensatorze jest całką ogólną równania różniczkowego jednorodnego rzędu 2
2
d uC duC 1
R
0 = + + uC
dt L dt LC
Równaniu temu odpowiada równanie charakterystyczne
R 1
s2 + s + = 0
L LC
Obliczamy pierwiastki tego równania kwadratowego
2
R R 1
�# ś#
s1,2 = - ą
ś# ź# - = -ą ą �
2L 2L LC
�# #
2
2 R 1 1
�# ś#
2
gdzie ą = � =
ś# ź# - = ą -
RL 2L LC LC
�# #
wyznaczamy s1 = -ą + � oraz s2 = -ą - �
Zakładamy , że parametry L i C są stałe a rezystancję R można tak dobrać aby wyróżnik równania
kwadratowego był dodatni, ujemny lub równy 0.
Przypadek nr 1
L
Dla wielkość � jest liczbą rzeczywistą i oba pierwiastki są rzeczywiste i ujemne.
R > 2
C
Fizycznie odpowiada temu ładowanie kondensatora ze z
ródła prądu stałego poprzez rezystancję R i
indukcyjność L, mające charakter aperiodyczny czyli nieokresowy.
Szukamy jak pamiętamy napięcia na kondensatorze Warunki początkowe są zerowe
Z teorii równań różniczkowych wiemy że:
1 2
uC = A1es t + A2es t (1)
Stałe A1 i A2 wyznaczamy z warunków początkowych ; dla t=0 uC(0)=-U
Więc A1+A2=-U (2)
Oraz prąd i(0)=0, stąd po zróżniczkowaniu obu stron równania (1) w chwili t=0
otrzymujemy
s1A1+s2A2=0 (3)
Z układu równań (2) i (3) wyznaczamy stałe A1 i A2
US1
Us2
A2 = -
A1 =
s1 - s2
s1 - s2
2
Wstawiając wyliczone stałe do równania (1) oraz sumując z napięciem wymuszonym U
otrzymujemy całkowite napięcie na kondensatorze
U
1 2
uC = U + (s2es t - s1es t )
s1 - s2
co również można zapisać jako
U
1 2
uC = U + (s2es t - s1es t )
�
Interesuje nas też przebieg prądu
Można sobie wyliczyć , że
1
s1s2 =
LC
duC
i = C
dt
U U 1
1 2 1 2
i = C (s2s1es t - s1s2es t ) = (es t - es t ) bowiem s1s2 =
� �L LC
Obliczenia można zilustrować
Prąd w obwodzie początkowo zwiększa się, osiąga wartość maksymalną, a potem w miarę upływu czasu maleje
do zera. Napięcie na kondensatorze początkowo narasta łagodnie, potem prędkość narastania napięcia zwiększa
się.
W miarę upływu czasu napięcie na kondensatorze osiąga wartość usta1oną równą U.
Przypadek nr 2
L
Dla
R = 2
C
wielkość � jest równa 0 i oba pierwiastki równania charakterystycznego są sobie równe i tworzą jeden
pierwiastek podwójny s = -ą , rzeczywisty i ujemny.
3
Fizycznie odpowiada temu ładowanie kondensatora ze z
ródła prądu stałego poprzez rezystancję R
i indukcyjność L, mające charakter aperiodyczny krytyczny zwany również nieokresowym krytycznym.
Prąd wyliczony w przypadku nr 1 można zapisać
U U U sh�t
-ąt
1 2 1 2
i = C (s2s1es t - s1s2es t ) = (es t - es t ) = te
� �L L �t
Przypadek ten traktujemy jako graniczny przy � dążącym do 0
shx
lim = 1
t0
x
I otrzymujemy
U
-ąt
i = te
L
Przebieg prądu jest niemal taki sam jak w przypadku nr 1
Przypadek nr 3
L
Dla
R < 2
C
wielkość � jest liczbą urojoną. Wprowadzamy oznaczenie � = j� która spełnia równanie
1
2 2
ą +� =
LC
Oba pierwiastki równania charakterystycznego są zespolone sprzężone
s1 = -ą + j� ą2 = -ą - j�
Fizycznie odpowiada temu ładowanie kondensatora ze z
ródła prądu stałego poprzez rezystancję R
i indukcyjność L , że przebiegi napięcia na kondensatorze i prądu w funkcji czasu są oscylacyjne tłumione, w
szczególności sinusoidalnie tłumione. Zasadniczą rolę w tym przypadku odgrywają parametry L, C
i dominującym zjawiskiem jest wymiana energii pomiędzy cewką a kondensatorem.
Za punkt wyjścia przyjmujemy równanie jak w przypadku nr 1 prąd
U U U
1 2 1 2
i = C (s2s1es t - s1s2es t ) = (es t - es t ) = e-ąt sh(�t)
� �L �L
Podstawiamy � = j� i otrzymujemy (analiza funkcji zespolonych )
U U 1
j�t
i = e-ąt sh( jwt) = e-ąt (e - e- j�t ) =
j�L j�L 2
U 1 U
e-ąt (cos�t + j sin�t - cos�t + j sin�t) = e-ąt sin(�t)
j�L 2 �L
4
Jak widać ze wzoru prąd jest funkcją czasu sinusoidalnie tłumioną, dążącą do 0 przy czasie dążącym do
nieskończoności.
Bez wgłębiania się w obliczenia (są dość zawiłe) otrzymujemy
di U
uL = L = - e-ąt sin(�t - �0 )
dt
� LC
U
uR = Ri = 2ąe-ąt sin(�t)
�
U
uC = U - uC - uL = U - e-ąt sin(�t + �0 )
� LC
Pulsacja drgań jest określona wzorem
2
1 1 R
�# ś#
2
� = - -ą = - ś# ź#
LC LC 2L
�# #
Wynika z niego wprost , że pulsacja zależy wyłącznie od parametrów R, L, C obwodu drgającego. Przy danych
parametrach L,C i regulowanej rezystancji R , pulsacja maleje przy wzrastającej rezystancji ;inaczej mówiąc
proces zamiany energii magnetycznej cewki w energię elektryczną kondensatora i odwrotnie staje się
wolniejszy. Z chwilą gdy rezystancja osiągnie wartość krytyczną (przypadek nr 2) ustaje wymieniony wyżej
proces zamiany energii i ładowanie kondensatora staje się aperiodycznie krytyczne.
Na rysunku przedstawione są przebiegi prądu i napięcia na kondensatorze w funkcji czasu
Z wykresów można zauważyć , że ekstremum danej krzywej nie pokrywa się z punktem styczności krzywej do
obwiedni, natomiast chwila odpowiadająca ekstremum jest wcześniejsza niż chwila odpowiadająca punktowi
styczności. W konkluzji można stwierdzić , że w sinusoidzie tłumionej wykładniczo nie następuje równomierne
tłumienie rzędnych sinusoidy, lecz rozsuwają się ekstrema krzywych i punkty styczności, co pociąga za sobą
skrócenie czasu trwania ćwierćfal nieparzystych i wydłużenie czasu trwania ćwierćfal parzystych.
5
i(t)
Iloraz
= eąT nazywamy dekrementem tłumienia. Nie jest on funkcją czasu, lecz poprzez
i(t + T )
wielkości ą oraz okres T zależy od parametrów R, L, C.
Logarytm naturalny tego stosunku nazywamy logarytmicznym dekrementem tłumienia. Również ta wielkość
stanowi miarę tłumienia krzywej
2Ą ĄR ĄR
ąT = ą = =
2
� �L
L R
�# ś#
- ś# ź#
C 2
�# #
Przy powolnym tłumieniu dekrement tłumienia jest nieco większy od 1 , a logarytmicznym dekrementem
tłumienia dodatni i bliski 0. Przy szybkim tłumieniu (R duże) dekrement tłumienia jest znacznie większy od 1
i np. dla ąT = 1wynosi 2,71 a logarytmiczny dekrementem tłumienia jest równy 1.
Rozpatrywany obwód często nazywa się obwodem drgającym tłumiącym. Wielkość ą nazywa się stałą
tłumienia a � pulsacją drgań własnych lub swobodnych.
Obliczenia do sprawozdania
Dane: C , L , E z poprzednich ćwiczeń RL i RC lub odczytane z elementów np. C
1 Wyznaczamy okres T z otrzymanego wykresu
2 Wyznaczamy pulsację
2Ą 1
� = H"
0
T
LC
3 Mając pojemność C oraz wyliczoną pulsację wyliczamy indukcyjność (1)
1
LH" =
2
� C
0
4 Wyznaczamy dwie kolejne amplitudy UC1 i UC2 przebiegu napięcia na kondensatorze (uzyskanego z karty
pomiarowej umieszczonej w komputerze) i wyznaczamy współczynnik tłumienia ze wzoru:
�# - E
1 UC1 ś#
ś# ź#
ą = lnś#
ź#
T - E
�#UC 2 #
5 Wyznaczamy rezystancje obwodu , którą stanowi rezystancja cewki R=RL
R
ą = �! R = 2ąLH" = 482,7&!
2LH"
6 Wyliczamy indukcyjność cewki i sprawdzamy czy jest ona równa indukcyjności (1)
1 1
2
� = -ą �! L =
0
2 2
LC (�0 + ą )C
6
7 Wyliczamy oporność krytyczną
L
Rkryt = 2 = 2069,8&!
C
8 Wyznaczenie graficzne np. 3 stałych czasowych dla kolejnych np. 3 amplitud z wykresu i sprawdzenie czy
T3=3T1 (patrz tekst pod wykresem).
7