Stan nieustalony w dwójniku szeregowym RC
Włączenie napięcia stałego w obwodzie RC
Załóżmy, ze do gałęzi zawierającej połączone szeregowo elementy R i C, w chwili t=0
doprowadzono napięcie stale. Odpowiada to zamknięciu w chwili t=0 wyłącznika
w obwodzie przedstawionym na rysunku poniżej
w i
R
C
U
Przyjmujemy, że stan początkowy obwodu jest zerowy, tzn. w chwili t = 0
napięcie na pojemności uc=0 a zatem z elementem pojemnościowym C nie jest związana
żadna energia..
Po zamknięciu wyłącznika W w obwodzie powstaje stan nieustalony. Wyznaczmy przebieg
napięcia uc w funkcji czasu. Napięcie to zmienia się od zera do wartości ustalonej uCu= U.
Oznacza to, że z biegiem czasu napięcie na kondensatorze osiągnie wartość napięcia z
ródła.
Zjawisko zachodzące w rozpatrywanym obwodzie nazywamy ładowaniem kondensatora
przez rezystor ze z
ródła napięcia stałego. Zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa, bilans
napięć w obwodzie przedstawionym na schemacie ma postać
U=Ri+uc
Prąd ładowania kondensatora
dq duc (1)
i = = C
dt dt
gdyż dq = Cdu (q = Cu). A
adunek elementarny jest proporcjonalny do napięcia
elementarnego. W wyniku podstawienia zależności (1) do równania, otrzymamy
duc
U = RC + uc
dt
Równanie to przekształćmy do postaci o zmiennych rozdzielonych tak,
duc 1
= - dt
uc -U RC
że po jednej stronie mamy napięcie uc a po drugiej czas.
1
duc 1
Aby wyznaczyć napięcie uc całkujemy obie strony równania
= - dt
uc -U RC
i otrzymujemy
1
ln(uc -U ) = - t + const
RC
1
- t
RC
Stąd wyznaczamy uc -U = Ae
przy czym A jest stalą całkowania.
Stałą całkowania A wyznaczymy z warunku początkowego, korzystając z drugiego prawa
komutacji. Ponieważ w chwili t=0 napięcie na kondensatorze było równe zeru, tzn. w chwili
tuż po zamknięciu wyłącznika W napięcie to nadal jest równe zeru. W tym przypadku mamy
dla t=0 uc=0. Podstawiając te warunki do
1
- t
RC
uc -U = Ae
Otrzymujemy A = -U
Ostatecznie dla dowolnej chwili t>0 mamy:
1 1
- t - t
RC RC
lub
uc -U = -Ue uc = U -Ue
co i tak prowadzi do ostatecznej postaci
1
�# - t ś#
ś#1- RC ź#
uc = U e
ś# ź#
�# #
Przez analogię do obwodu z indukcyjnością wprowadzamy pojęcie stałej czasowej obwodu
z pojemnością, przy czym dla obwodu z pojemnością stała czasowa wynosi � = RC
Po wprowadzeniu stałej czasowej, równanie opisujące napięcie na kondensatorze możemy
napisać w postaci
t
�# - ś#
�
ś# ź#
uc = Uś#1- e
ź#
�# #
Pierwsza składowa prawej strony równania jest składową ustaloną napięcia na
kondensatorze, a druga  składową przejściową (zmienną) napięcia.
Składowa przejściowa ma w chwili t= 0 wartość - U i w miarę upływu czasu asymptotycznie
dąży do zera.
Na rysunku a) przedstawiono przebiegi w funkcji czasu składowej ustalonej Ucu , składowej
zmiennej up i napięcia wypadkowego uc na kondensatorze.
2
a) przebieg czasowy napięcia na pojemności
b) przebieg prądu ładowania kondensatora przez rezystancję ze z
ródła napięcia stałego
c) napięcie na rezystancji
Napięcie ładowania kondensatora asymptotycznie dąży do wartości napięcia ustalonego U i
jego przebieg ma charakter krzywej wykładniczej.
W celu wyznaczenia przebiegu prądu ładowania kondensatora skorzystamy ze wzoru
1 t
- t -
du 1 U
RC �
i = C = C �"U e = e
dt RC R
U
Prąd ładowania kondensatora ma w chwili t=0 największą wartość, wynoszącą
R
Rezystor o rezystancji R ogranicza więc prąd w pierwszej chwili. Mogłoby się wydawać, że
gdyby tego rezystora nie było w obwodzie, to w pierwszej chwili po komutacji popłynąłby
prąd o wartości nieskończenie dużej. W obwodzie rzeczywistym (a taki badamy) nie mógłby
popłynąć taki prąd, gdyż przewody łączące mają pewną rezystancję. Gdyby nawet pominąć
rezystancję przewodów, to mogłaby ,,o sobie znać indukcyjność szczątkowa obwodu
,,spowalniając narastanie prądu. Te zastrzeżenia mają charakter czysto teoretyczny  prąd
nie będzie miał nieskończenie dużej wartości, jednak w praktyce należy liczyć się
z wystąpieniem prądu o bardzo dużej wartości, choć krótko trwającego. Prąd taki może
spowodować np. uszkodzenie z
ródła energii lub elementów półprzewodnikowych. W miarę
upływu czasu prąd wykładniczo maleje do zera i w stanie ustalonym po naładowaniu
kondensatora, nie płynie .
3
Po wyznaczeniu prądu możemy obliczyć napięcie na rezystancji
t t
�#U - ś# -
� �
ź#
uR = Ri = Rś# e = Ue
ś# ź#
R
�# #
Napięcie uR ma wartość największą wynoszącą U w chwili t=0 i w miarę upływu czasu
wykładniczo maleje do zera rysunek c).
Stała czasowa obwodu RC jest równa iloczynowi rezystancji i pojemności kondensatora.
Im większa jest zatem wartość rezystancji R w obwodzie ładowania i im większa jest
wartość pojemności C ładowanego kondensatora, tym wolniej przebiega ładowanie.
Wskazówki do sprawozdania
1. Odczytanie napięcia Umax z wykresu otrzymanego z komputera dla obwodu RC przy
zerowych warunkach początkowych. Jest to napięcie dla stanu ustalonego.
2. Wyznaczenie wartości napięcia E baterii (na ekranie monitora).
3. Wyznaczenie wartości napięcia dla t = � oraz dla t = 2� .
U� = 0,6321U U2� = 0,8646Umax
max
4. Odczytanie z dekady R (wartość poda prowadzący ćwiczenie).
T
5. Wyznaczenie wartości pojemności kondensatora C =
R
6. Graficzne wyznaczenie wartości stałej czasowej � z wykresu.
7 Graficzne wyznaczenie wartości napięcia dla t = � i t = 2� oraz porównanie z wyliczonymi
wartościami.
8. Porównanie wartości rzeczywistej kondensatora z wyznaczoną z pomiarów.
9. Wyznaczanie graficzne wartości stałych czasowych (tak jak w obwodzie RL rysowanie
stycznych do wykresów w odpowiednich punktach) i porównanie ich wartości (czy są
jednakowe?)
4
Dodatek: (w zależności od decyzji prowadzącego ćwiczenie)
Zwarcie obwodu RC przy warunku początkowym niezerowym
Załóżmy, że nasz dwójnik szeregowy RC jest włączony na napięcie stałe jak na rysunku. Na
początku wyłącznik W znajduje się w położeniu 1.
1
R
w
2
C
U
W obwodzie nie płynie żaden prąd, gdyż kondensator stanowi przerwę dla prądu stałego.
Napięcie na kondensatorze jest równe napięciu z
ródła, tzn. wynosi U. W pewnej chwili, którą
przyjmiemy za zerową (t = 0), wyłącznik przełączamy z pozycji 1 w pozycję 2. W rezultacie
przeprowadzenia tej czynności obwód RC zostaje zwarty i jednocześnie odłączony od z
ródła
zasilania. W obwodzie powstaje stan nieustalony. Zgodnie z drugim prawem komutacji
w chwili tuż po zmianie położenia przełącznika, napięcie na kondensatorze zachowuje swoją
wartość, tzn. jest równe U, a energia zawarta w polu elektrycznym kondensatora wynosi
2
CU
E =
2
W stanie nieustalonym w miarę upływu czasu zasób energii w polu e1ektrycznym zmniejsza
się, a na rezystorze R wydziela się ciepło. Rozpatrywane zwarcie dwójnika RC odpowiada
wyładowaniu kondensatora o pojemności C przez rezystor o rezystancji R. Bilans napięć
w obwodzie zwartym ma postać
0 = Ri + uC
Prąd wyładowania kondensatora ma taki sam charakter jak prąd ładowania i jest określony
duC
i = C
wzorem
dt
Po podstawieniu za prąd powyższej wielkości do równania bilansu napięć mamy
duC
0 = RC + uC
dt
Równanie to przedstawiamy w postaci
duC
RC = -uC
dt
i przystępujemy do standardowej operacji rozdzielania zmiennych, po wykonaniu której
otrzymujemy
duC 1
= - dt
uC RC
5
Obustronnie całkując otrzymujemy
1
ln uc = - t + const
RC
a po kolejnym przekształceniu
1
- t
RC
uC = Ae
gdzie A jest stałą całkowania, którą jak zwykle wyznaczamy z warunku początkowego,
korzystając z drugiego prawa komutacji.
W chwili t=0 napięcie na kondensatorze było równe U, zatem gdy t=0, uc=U
Podstawimy te warunki do równania
1
- t
RC
uC = Ae
i otrzymamy stałą całkowani A=U.
1
- t
RC
Ostatecznie dla dowolnej chwili t> 0 dostajemy
uC = Ue
a po podstawieniu stałej czasowej � = RC, przebieg napięcia ma postać
1
- t
�
uC =Ue
tt
- -
duC 1 U
�# ś#
� �
i = C = CU �" - e = - e
Prąd wyładowania kondensatora
ś# ź#
dt RC R
�# #
t
-
a napięcie na rezystancji
�
uR = Ri = -Ue
Uzyskane wyniki analityczne można zilustrować na wykresach
6
Z rysunku a) wynika, ze napięcie na kondensatorze ma w chwili t =0 wartość U
i w miarę upływu czasu, zgodnie z przebiegiem krzywej wykładniczej, asymptotycznie
maleje do zera.
U
Z rysunku b) wynika, że prąd wyładowania kondensatora ma wartość największą równą -
R
w chwili t=0, potem wykładniczo maleje do zera. Znak minus przy prądzie wynika stąd, że
zwrot prądu wyładowania kondensatora jest przeciwny do zwrotu prądu ładowania. Napięcie
na rezystorze ma taki sam przebieg jak napięcie na kondensatorze, z tym że napięcia te różnią
się znakiem; wobec tego suma tych napięć jest w każdej chwili równa zeru.
7